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类型四 抛物线形问题例1、已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；图1Oxy（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.【答案】：（1） （2）（3）（4,8）【解析】：（1） 直线的经过点直线的经过点 （2）由可知点的坐标为 抛物线经过点、 ， 抛物线的表达式为抛物线的顶点坐标为, （3）过点作轴，垂足为点，则轴 , 直线与轴的交点为点点的坐标为,又，,轴 即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为例2、如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求的面积；备用图第2题图（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上，解得 抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （2）A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ， （3），CADAOB，OA=OC， ，即 若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似 ，且ABC为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P在第四象限由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）过P作PHOC，垂足为点H，则，当时,由得，解得， 当时,由得，解得， 综上得或例3、已知抛物线经过点、（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标（第3题图）yxABCO【答案】：（1）解得 （2） （3） 点的坐标为或【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，这个二次函数的【解析】式为（2）（,）、（，）、（,） ，（3）过点P作，垂足为H设，则（,），当APG与ABC相似时，存在以下两种可能： 则即 解得点的坐标为 则即 解得点的坐标为例4、已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH对称轴，垂足为H，若DPH与AOB相似，求点P的坐标.【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），.【解析】：（1）由题意得：得：，所以抛物线的表达式为.（2）由（1）得D（2，1），作DTy轴于点T, 则ABD的面积=.（3）令P.由DPH与AOB相似，易知AOB=PHD=90，所以或，解得：或，所以点P的坐标为（5,8），.图5例5、平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），与y轴相交于点C，顶点为P （1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，MEQ=NEB，求点Q的坐标【答案】：（1）P的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点E的坐标为（5，8）【解析】：（1）二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），解得：， 这条抛物线的表达式是.顶点P的坐标是（2，-1）（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）根据题意得： ，解得：m=2，点E的坐标为（2，2）（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F作QDMN，垂足为D， 则，,QDE=BFE=90，QED=BEF，QDEBFE，解得（不合题意，舍去），点E的坐标为（5，8）解法二：记MN与x轴相交于点F联结AE，延长AE交抛物线于点Q，AE=BE， EFAB，AEF=NEB，又AEF=MEQ，QEM=NEB，点Q是所求的点，设点Q的坐标为，作QHx轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，EFx轴，EF QH，解得（不合题意，舍去），点E的坐标为（5，8）例6、在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）抛物线（a，c是常数，a0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A对称轴上有一点M ，满足MA=MC（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM的面积； （3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，xBC第6题图Oy且AD/BC，求点D的坐标 【答案】：（1）抛物线的表达式： （2）3（3） 点D的坐标【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴，即点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）， 将C（9，-3）代入，得抛物线的表达式： （2）点M在对称轴上，可设M（4，y）又MA=MC，即 , 解得y=-3, M（4，-3）yMC/AB且MCAB, 四边形ABCM为梯形，, AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3 xO(3) 将点B（8,0）和点C（9，3）代入 可得MACB，解得由题意得，AD/BC, ，又AD过（0,0），DC=AB=8，设D(x,-3x) ,解得(不合题意，舍去)， 点D的坐标ABOCxy（第7题图）D例7、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：DAB=ACB；（3）点Q在抛物线上，且ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标【答案】：（1）顶点坐标D（1，4）（2）（3）点Q的坐标是，【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得，解得抛物线的解析式是：顶点坐标D（1，4）（2）令，则，A（3，0），CAO=OCA在中，；，是直角三角形且，又DAC和OCB都是锐角，DAC=OCB，即（3）令，且满足，,0)，4）是以AD为底的等腰三角形，即， 化简得：由，解得，点Q的坐标是，例8、如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；图8xy11O（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由 【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或【解析】：（1） 由直线经过点，可得.由抛物线的对称轴是直线，可得.（2） 直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标是，点的坐标是.抛物线的顶点是点，点的坐标是.点是轴上一点，设点的坐标是.BCG与BCD相似，又由题意知，BCG与相似有两种可能情况：如果，那么，解得，点的坐标是.如果，那么，解得，点的坐标是.综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 （3）点的坐标是或.例9、已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处（1）求这个抛物线的【解析】式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积； （3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标备用图图9 【答案】：（1）抛物线的解析式为 （2）12（3）有，），【解析】：（1）顶点C在直线上，将A（3，0）代入，得，解得，抛物线的解析式为（2）过点C作CMx轴，CNy轴，垂足分别为M、N =，C（2，），MAC=45，ODA=45，抛物线与y轴交于点B，B（0，），抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，（3）联结CE.四边形是平行四边形，点是对角线与的交点，即 .（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，设点，在中，即 ，解得 ，点同理，得点（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得 ，得点、综上所述：满足条件的点有，），例10、如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；（3）如果ABP的面积等于ABC的面积，求点P坐标(第10题图)yPOxCBA【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐标为（）(第10题图)yPOxCBA【解析】：（1）抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，） 解得： 抛物线的表达式为：y=x2-2x；（2）点P 的横坐标为m，P 的纵坐标为：m2-2m令BC与x轴交点为M，过点P作PNx轴，垂足为点NP是抛物线上位于第一象限内的一点，PN= m2-2m，ON=m，O M=1由得 BM=m-2 点C的坐标为（1，）， BC= m-2+1=m-1（3）令P(t，t2-2t) ABP的面积等于ABC的面积AC=AP过点P作PQBC交BC于点QCM=MQ=1t2-2t=1 （舍去） P的坐标为（）
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