1.2 基本不等式1

12 基本不等式1定理1设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均3定理3(三个正数的算术几何平均值不等式)如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立4定理4(一般形式的算术几何平均值不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则 并且当且仅当a1a2an时，等号成立小问题大思维1在基本不等式中，为什么要求a，b(0，)?提示：对于不等式，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b(0，)2满足不等式成立的a，b，c的范围是什么？提示：a，b，c的范围为a0，b0，c0.例1已知a，b，c为正实数，且abc1求证：(ab)(bc)(ca)8.思路点拨本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对ab，bc，ca分别使用基本不等式，再把它们相乘精解详析a，b，c为正实数，ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)88abc.即(ab)(bc)(ca)8.规律总结(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式变式1已知a，b(0，)，求证：(ab)4.证明：a0，b0，ab20，当且仅当ab时取等号20，当且仅当，即ab时取等号，得(ab)224，当且仅当ab时取等号(ab)4.例2(1)已知a，b，cR，求证：a2b2c226.(2)设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3m，求证：.思路点拨本题考查平均不等式的应用解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明精解详析(1)a2b2c223926，当且仅当abc时等号成立(2)m(a1a2a3)33 99.当且仅当a1a2a3时等号成立又m0，.规律总结三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致变式2已知a，b，cR，证明(abc)227.证明：a，b，cR，abc30.(abc)29又30，(abc)23927.当且仅当abc时，等号成立(abc)227.一、选择题1设x、y为正实数，且xy(xy)1，则()Axy2(1)Bxy2(1)Cxy(1)2 Dxy(1)2解析：x0，y0，xy(xy)1xy1(xy)1(xy)2xy2(1)答案：A2已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是()AV BVCV DV解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r2h6，即2rh3，于是有Vr2h33，当且仅当rh时取等号答案：B3设x，y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz3，lg(xyz)lg 83lg 2(当且仅当xyz2时，等号成立)答案：B4设a，b，c(0，)且abc1，令x，则x的取值范围为()A. B.C1,8) D8，)解析：x8，当且仅当abc时取等号，x8.答案：D二、填空题5已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，所以2 ，即 1，解得xy3，所以其最大值为3.答案：36设a1，t0，则logat与loga的大小关系为logat_loga(填“0又 .而a1，logaloga，故填“”答案：7函数y(x0)有最大值_，此时x_.解析：x0，x20.y，当且仅当x2，即x49，x时取等号，即当x时，ymax.答案：8已知a0，b0，c0，且abc1，则abc的最大值是_解析：a，b，c(0，)，1abc3.0abc3，当且仅当abc时取等号答案：三、解答题9求函数y2x2(x0)的最小值解：由x0知2x20，0，则y2x22x233.当且仅当2x2，即x时，ymin3.10已知a，b为正实数，ab1.求证：22.证明：a0，b0，ab1.1ab2，.4. ，2.2222.22.当且仅当ab时等号成立11设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明：因为a，b，c为正实数，由算术几何平均不等式可得3，即(当且仅当abc时，等号成立)所以abcabc.而abc22(当且仅当a2b2c23时，等号成立)，所以abc2(当且仅当abc时，等号成立)