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动态电路概述及其初始条件的确定 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 二阶电路的零状态响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 一阶电路和二阶电路的冲激响应,Chapter 7 一阶电路与二阶电路（?-order circuits）,7-1 动态电路的方程及其初始条件,一、过渡过程,在电路中，由于存在储能元件，故存在过渡过程，并称此电路为动态电路。,而把某时刻t 的电容电压uC(t)和电感电流iL(t)称为该时刻电路的状态。, 概念：将电路条件的变化称为换路。它包括由于开关动作而引起电路导通或是关断，或是电路结构和参数的突然改变等。,1、换路,二、电路中初始条件的确定,若电路中有第二次换路，一般记t=t0为换路瞬间，换路前瞬间为t=t0-，换路后瞬间记为t=t0+。, 表示方法：设t=0为换路瞬间，其中t=0表示换路前瞬间；t=0+表示换路后瞬间，换路经历的时间为0到0+ 。, 换路定则,电感电压uL(0)为有限值：,电容电流 iC(0)为有限值：,若在换路瞬间：,初始值：电路中u、i 在 t = 0+时的大小。可分两类:,2、电压和电流初始值的确定, 电路中其它的电压、电流的初始值（非独立初始条件） 如：电容电流、电感电压、电阻电压和电流。可画出动态电路在t= 0+时的等效电路，由此求出各元件上的电压、电流初始值。, 电容电压和电感电流的初始值（独立初始条件），即 uC(0+) 和 iL(0+)。据换路定则，通过换路前瞬间的 uC(0) 和 iL(0)求出。,求初始值的具体步骤是：,（1）由换路前 t=0时刻的电路（一般为稳定状态） 求uC (0) 或 iL (0) ； （2）由换路定则得uC (0+) 和iL (0+) ； （3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感 用电流源替代。大小为 0+ 的值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同。 （4）由 t=0+时刻的电路求所需其他变量的 0+ 值。,动态电路中，激励除独立源外，还可以是动态元件上的初始储能 ，即uC(0+)或iL(0+)所决定 。对线性动态电路而言，其响应为二者响应之叠加。,零输入响应：电路中无独立源激励（输入信号为零），仅有动态元件初始储能的激励所产生的响应。,零状态响应：换路前电路中的储能元件均未存储能量，电路仅有外加激励所产生的响应。,7-2 一阶电路的零输入响应（Zero-input Responds）,分析：t0时，电路稳态，故uC(0)=U0 t0时，电路换路，变成RC串联电路。,由换路定则：uC(0+)= uC(0)= U0,根据KVL： uRuC = 0,又由元件VAR：uR = Ri,代入上式，有：,这是一阶齐次微分方程，其通解为：,式中p为一待求常数，通解代入方程有：,于是得其特征方程为： RCp+1=0,特征根为： p = 1/RC,方程的解为：,式中系数A需由初始条件确定：,并可求出电流：,方程的解为：,即方程的解为：,RC串联电路的时间常数,t 0 2 3 4 5 1 0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0,实际中t5 时，e-t/0，视为衰减结束。,设 RC，并称为该电路的时间常数，单位是秒S，其大小决定了指数函数衰减的快慢。见下表：,三个不同时间常数下的变化曲线：,U0,1 2 3,时间常数 的大小取决于电路的结构和参数，而与初始电压的大小无关。,结论：时间常数愈小，过渡过程愈短：反之愈长。,在整个放电过程中，电阻R上消耗的能量为：,即电容的储能全部被电阻消耗，转换为热能。,例7-4 图示电路中开关S原在位置1，且电路达稳态。t=0时开关由1合向2，试求t0时的电流i(t)。,解：首先求出：,换路后，电容经R1、R2放电：,4,R2,S,R,R1,1,2,4,+,+,-,-,2,C 1F,10V,uc,i,(t=0),2、RL串联电路,+,R,R1,Us,K(t=0),L,iL,由换路定则，iL(0+) = iL(0) = I0,分析：t0时，电路稳态，iL(0) = Us /R1=I0 t0时，电路换路，变成RL串联电路。,已知：开关K在t =0时动作，之前电路处于稳态。求: t0时，uR和 iL 的变化规律。,由KVL： uL + uR = 0,可得电路的微分方程：,由元件VAR： uR =RiL,解出特征根为： p = -R/L 则电流： iL=AeRt/L 令 =L/R, 则： iL=Aet/,由初始条件可确定 A= I0，则,其通解为： 代入方程得它的特征方程： Lp+R=0,电感电流iL和电阻电压uR的变化曲线为：,RL电路时间常数： =L/R (L-H，R-， -S) 与 RC电路中的时间常数意义相同。,注意：电感放电瞬间，两端可能会出现高压。,uV (0+)= -10000V,iL,K(t=0),L=4H,R=10,V,RV 10k,10V,t=0时, 打开开关K,发现电压表坏了，为什么？,电压表量程：50V,小结：,其解的形式为：, 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数，其中RC 电路=RC ，RL 电路=L/R ，R 是指与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。, 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。, 零输入响应是初始状态的线性函数。, 在零输入条件下一阶电路响应的方程为：,7-3 一阶电路的零状态响应,零状态响应是指电路中的储能元件处于零初始状态，仅由外加激励所引起的响应。本节只讨论激励为直流电源的情况。,t0时，电容上的电压uC(0)= 0,t0时，根据KVL有：uR+ uC =Us,代入元件VAR，有:,uCh(t)方程的齐次解，形式为Ae-t/RC 又称响应的自由分量或暂态分量。,uCp(t)方程的特解，与方程右边形式相同，即常数，设为B 又称响应的强制分量或稳态分量。,uC(t) = uCh(t) + uCp(t)= Ae-t/RC + B,1、确定特解 将uCp=B 代入方程：,则B=Us ，即uCp=Us,2、确定齐次解中的常数A,则A= Us,所以t0时，电路的解为: uC(t)= Us(1et/RC ),电容充电过程中的能量关系：,电容储能：,电阻耗能：,表明：不论R、C为何值，充电过程中，电源所供给的能量一半转为电容储能，另一半消耗在电阻上。,电源提供能量：,分析：这是动态电路中具有2个时间常数的暂态计算问题。可将问题分成2个时间区间来讨论，即区间0，T 和T，。,+,uC,R1,R2,C,Is,K1,K2,例7-5 图示电路，开关K1在t =0时闭合；开关K2在t =T=R1C 时闭合，同时K1打开。已知uC(0)=0，求: t0 后的uC(t),0t T时，电路为零状态响应：,uC(0+) = uC(0)=0 uCp = R1Is,1 =R1C,tT时，电路为零输入响应，初始时刻为t =T =R1C，则初值为：,t,0,uC,响应曲线为：,二、RL并联电路,图示电路中， iL(0)= 0。 在t=0时，开关打开，分析iL、 iR的变化规律。,解：由KCL， iR + iL = Is,将 代入上式:,R,Is,L,iL,iR,则有,方程的解： iL = iLh + iLp = AeRt/L + Is,则方程的解为: iL = IseRt/L + Is = Is(1 eRt/L ),一阶电路的零状态响应，是从零初始值向稳态值变化的过程。 uC 和 iL充电过程的通用表达式为：,结论：,7-4 一阶电路的全响应 (Complete response),一个具有非零初始状态的动态电路，受到外加激励所引起的响应称为该电路的完全响应。简称全响应。,t0时，电路的微分方程为：,这也是一阶非齐次微分方程。,与零状态响应的微分方程形式一致，只是初始条件不同。因此可求出完全响应为: uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,Us,+,uC,K,R,i,+,C,uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,若将全响应uC中的各分量重新组合，即:,uC(t)= (U0 Us)e t /RC+ Us =Us(1 et/RC ) +U0 et /RC =uCe+ uCf,其中的 uCh为暂态分量， uCp 为稳态分量。,其中的uCe是零状态响应， uCf 是零输入响应。,全响应=零状态响应+零输入响应,uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us)et /RC +Us 全响应=暂态(自由)响应+稳态(强制)响应 强调的是电路响应与其工作状态之间的关系。 uC(t)= uCe+uCf =Us(1 et /RC ) +U0 et /RC 全响应=零状态响应+零输入响应 强调的是激励与响应之间的因果关系； 即线性电路的可叠加性。,总结：,一阶电路的三要素法,一阶线性电路在直流电源的激励下，其全响应的一般表达式为： f(t) = f() + f(0+) - f() e-t/ 其中： f(0+) 响应变量的初始值； f() 响应变量的稳态值； t0时，一阶电路的时间常数。,表明:只要求出以上三个数值，即可根据一般表达式直接写出该电路的全响应，而不必求解电路微分方程。此方法称“三要素”法。,初始值f(0+)的计算,(1) 先求换路前的uC(0-)、iL(0-) ，再应用换路定则。,(2) 画出换路后瞬间的等效电路，求其他的u (0+) 或i (0+),一、三要素的计算方法,稳态值f()的计算,画出换路后长时间，达到稳定状态时的等效电路。即在直流激励下，视C为开路，L为短路。,(2) 根据电路一般分析方法或定理， 求换路后其他的稳态值。,(1) 对任意RC串联电路，将C以外的电路视为有源二端网络， 求其等效电阻 R， =RC,(2) 对任意RL串联电路，将L以外的电路视为有源二端网络， 求其等效电阻 R ， = L/R,由换路后的电路结构和参数计算。同一电路中各未知量的 是一样的。,时间常数的计算,例7-6 已知：K在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求:电感电压uL(t)，并作出曲线。,二、应用举例,解：第一步:求初始值,第二步:求稳态值,第三步:求时间常数,第四步: 将三要素代入一般表达式,第五步: 画过渡过程曲线,
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