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第14课时三视图、表面积、体积的综合应用 1.熟悉常见几何体的三视图,能将三视图还原为几何体.2.能熟练应用常见几何体的体积、表面积公式求其体积和表面积.3.能进行简单的球的外接或内切几何体的计算.同学们,通过前面几节课的学习,我们会画一个几何体的三视图,也会画一个几何体的直观图,又学习了简单几何体和简单组合体的表面积和体积公式,那么把所有的知识串联起来呢?这节课我们就一起来探究解决它们之间的综合性问题,首先我们来巩固一下有关的知识.问题1:根据下面表格中的已知条件完成填空或绘图.几何体直观图主(正)视图左(侧)视图俯视图三棱柱长方体三棱锥圆锥圆台问题2:常见几何体的侧面积、表面积公式1.柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和,表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱的侧面积公式是S柱侧=2rl,表面积公式是S柱=2r(r+l);圆锥的侧面积公式是S锥侧=rl,表面积公式是S锥=r(r+l);圆台的侧面积公式是S台侧=(r+r)l,表面积公式是S台=(r2+r2+rl+rl).4.半径为R的球的表面积为4R2.问题3:常见几何体的体积公式1.长方体的体积公式是V=abc,正方体的体积公式是V=a3,圆柱的体积公式是V=r2h.所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为V柱=Sh,其中S为底面积,h为高.2.圆锥的体积公式是V=r2h,棱锥的体积公式是V=Sh.圆锥和棱锥的体积公式可以统一为,其中S为底面积,h为高.3.圆台的体积公式为V=(r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为V=(S+S)h,圆台和棱台的体积公式可以统一为V台=(S+S)h,其中S、S分别为上、下底的底面积,h为高.4.半径为R的球的体积为.1.一个正方体的体积是a,表面积是2a,则a等于().A.3B.6 C.27D.542.圆柱的主(正)视图是一个边长分别为2和3的矩形,则圆柱的表面积为().A.8B.C.20D.8或3.如图是某几何体的三视图,且主(正)视图、左(侧)视图、俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为.4.已知六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧棱与底面垂直,且底面为正六边形,对角面的面积为S,求六棱柱的侧面积.三视图与表面积、体积的综合应用若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.几何体侧面展开问题如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)正三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.球的外接与内切几何体已知正方体的棱长为a,求正方体的外接球的表面积和内切球的体积.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.B.3C.D.6如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=40,过A作截面AEF,则截面AEF的周长的最小值为.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为().A.a2B.2a2C.a2D.a21.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,则它的体积是().A.6B.C.2D.22.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是().A.32B.21C.43D.533.有一个几何体的三视图及其尺寸如图,则该几何体的表面积为.4.求边长为2的正方形以过对边中点所在直线为旋转轴,旋转所成几何体的表面积.(2020年重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.B.C.200D.240考题变式(我来改编):第14课时三视图、表面积、体积的综合应用 知识体系梳理问题2:1.各侧面面积各个面的面积2.展开图3.2rl2r(r+l)rlr(r+l)4.4R2问题3:1.V=abcV=a3V=r2hV柱=Sh2.V锥=Sh4.R3基础学习交流1.C设正方体的棱长为m,则m3=a,6m2=2a,解得m=3,a=27.2.D圆柱的正(主)视图是矩形,则该矩形的两边分别是底面直径和母线,所以有两种情形:一是r=1,l=3,此时表面积为S=213+212=8;二是r=,l=2,此时表面积为S=22+2()2=.3.作出该几何体的直观图,可发现是该几何体是个三棱锥,易求得底面积为2,高为2,所以体积为.4.解:设棱柱的底面边长为a,高为h.由题意可知2ah=S,故S侧=6ah=32ah=3S.重点难点探究探究一:【解析】此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得,故其体积V=345-343=24(cm3).【答案】24【小结】根据三视图正确地还原几何体是解决问题的关键,常见三视图的特征与几何体的对应关系如下:一般地,棱柱的三视图为两个平行四边形、一个多边形;棱锥的三视图为两个三角形、一个多边形;棱台的三视图为两个梯形,一个多边形;圆柱的三视图为两个矩形、一个圆;圆锥的三视图为两个三角形、一个圆;圆台的三视图为两个等腰梯形、一个圆;球的三视图为三个圆.探究二:【解析】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1B(如图).(1)矩形BB1B1B1的长为BB=6,宽为BB1=2,所以正三棱柱侧面展开图的对角线长为=2.(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,从B经过M到达C1的路线最短.所以最短路线长为BC1=2.显然RtABMRtA1C1M,所以A1M=AM,即=1.所以从B经过M到C1的最短路线长为2,此时的值为1.【小结】几何体面上线段的最值问题,一般转化为侧面展开图问题解决,处理这类问题的过程中注意体会立体问题平面化的思想.探究三:【解析】由正方体的对称性可知:正方体的外接球的半径为a,S外接球=4(a)2=2a2,内切球的半径为正方体的中心到面的距离,即r=,V内切球=()3=a3.问题求正方体的外接球半径是否正确?结论不正确,错误之处在于把正方体的面对角线当成了外接球直径,事实上外接球半径为正方体体对角线长的一半,即R=a,S外接球=4(a)2=3a2.【小结】球的外接与内切几何体常与长方体结合考查,长方体的体对角线为外接球的直径,注意内切球的直径为正方体边长的一半.球的外接与内切其他几何体问题也常转化为长方体问题解决.思维拓展应用应用一:B由题意,画出几何体的直观图(如图),利用对称性补形,可转化为高为6的半圆柱体,则所求几何体的体积为(126)=3.故选B.应用二:6沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图.则AA即为截面AEF周长的最小值,且AVA=340=120.在VAA中,由余弦定理可得AA=6,故答案为6.应用三:A如图,设O1、O2为直三棱柱两底面的中心,球心O为O1O2的中点.又直三棱柱的棱长为a,可知OO1=a,AO1=a,设该球的半径为R,则R2=OA2=O+A=,因此该直三棱柱外接球的表面积为S=4R2=4=a2,故选A.基础智能检测1.B正六棱锥的高是=2,底面面积是16=,所以体积为V=2=,故选B.2.C设圆锥的底面半径为r,则有l=2r,l=3r,=.3.24由图可知此几何体是圆锥,r=3,l=5,h=4,所以S表=32+35=24.4.解:所成的几何体是底面半径为1,母线长为2的圆柱,所以S侧=212=4,S底=12=,所以S表=S侧+2S底=6.全新视角拓展C由三视图可知该几何体是直四棱柱,底面是等腰梯形,底面面积S=(2+8)4=20,几何体的体积V=Sh=2010=200.选C.
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