直线与圆锥曲线

例1、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.解析由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0, 由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N， 方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0) , 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4, 点A到直线l的距离为d=. S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 .总结与提高直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.例2、 已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解析(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时， 设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 ()当2k2=0,即k=时，方程 有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程 有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程 无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=2 , 2(x1x2)=y1y1 , 即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.总结与提高 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题. 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“差分法”，知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.例3、如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解析利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法. (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 (x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.(3)解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得 , 得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2) 将 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0) 即k=y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m.解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为yy0=(x4)(k0) , 将代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解析得k=y0.(当k=0时也成立)(以下同解析法一).总结与提高本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 . 第三问在表达出“k=y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解析，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围.例4、(2004年北京春卷18) 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程解 （I）由点A（2，8）在抛物线上，有, 解得 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0） （II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 解得 所以点M的坐标为（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由（II）的结论得 , 解得 ,因此BC所在直线的方程为 即 .总结与提高本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.例5、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明解析（1）由题意，可设椭圆的方程为由已知得 解得. 所以椭圆的方程为，离心率（2）解由（1）可得A（3，0）设直线PQ的方程为由方程组 得依题意，得设，则 ， 由直线PQ的方程得于是 ， 由、得，从而所以直线PQ的方程为或（3）证明：由已知得方程组 注意，解得 因，故 而，所以. 总结与提高本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力例6、(2004年全国卷21)设椭圆的两个焦点是与(c0),且椭圆上存在点P,使得直线PP1与直线PF2垂直. ()求实数m的取值范围;()设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q.若求直线PF2的方程.解() 由题设有m0， .设点P的坐标为由得, 化简得 将与联立,解得 由m0. 得m1. 所以m的取值范围是m1.()准线L的方程为设点Q的坐标为则 将代入,化简得 由题设得 无解, 将代入,化简得 由题设得 解得m=2. 从而得到PF2的方程, 总结与提高本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力. 例7、(2004年湖北卷20) 直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B（）求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值若不存在，说明理由解 （）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，做，解得的取值范围为（）设A、B两点的坐标分别为、，则由得，假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FAFB得既整理得把式及代入式化简得解得或（舍去）可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点总结与提高本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力【考题出击】一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.1、平面内有一线段，其长为，动点满足，为的中点，则的最小值为（ A ） 2、抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为 （ C ） A5 B6 C8 D103、若直线与椭圆有且只有一公共点，那么 （ A ） 4、直线l是双曲线=1(a0，b0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，被直线l分成弧长为21的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ D ）A B C D5、设A为双曲线右支上一点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点 ( A )A（） B（） C（4，0） D（）6、直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是 （ A ） （，） （，）7、以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是 ( B )A不能确定 B椭圆 C双曲线 D抛物线8、抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则 ( B )A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=09、已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是 （ D ）ABC D10、已知方程，它们所表示的曲线可能是（ B ） 二、填空题（每题5分，共20分）11、双曲线的左焦点为，点为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线的斜率的范围是 12、过原点的直线l，如果它与双曲线 相交，则直线l的斜率k的取值范围是 13、 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则 14、斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，若弦长，则 三、解析答题：本大题共4小题，共40分.解析答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.16、设双曲线 (0，0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A(1)若直线FA与另一条渐近线交于B点，且线段AB被左准线平分，求离心率;(2)若直线FA与双曲线的左右支都相交，求离心率e的取值范围 17、直线y=kx1与双曲线3x2y2=1相交于两点AB，(1)当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点;(2)是否存在实数k，使AB关于直线y=2x对称?若存在，求出k;若不存在，说明理由18、(2004年上海卷20) 如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y= 5交于Q点. (1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.19、(2004年江苏卷21)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). ()求椭圆的方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.20、以定点A(2,8)和动点B为焦点的椭圆经过点P（4,0）、Q(2,0).(1)求动点B的轨迹方程；(2)是否存在实数k，使直线y=kx+2与上述B点轨迹的交点，恰好关于直线l:y=2x对称？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.