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第三章 一阶微分方程解的 存在唯一性定理,Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE,2020/7/22,1,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/, 解对初值的连续性, 解对初值的可微性,本节要求: 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理; 2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,3,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件,,是初值问题,的唯一解,则在此表达式中, 与 可以调换其相对位置,即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,4,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3.2解对初值的连续依赖性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件,,是初值问题,的解,它于区间 有定义 ,那么,对任意给定的 ,必存在正数, 使得当,时,方程满足条件 的解,在区间,也有定义,并且,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,5,常微分方程-重庆科技学院-李可人,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 内连续,且关于 y 满足,利普希兹条件(利普希兹常数为L),则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义,令,不妨设,因此,有,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,6,常微分方程-重庆科技学院-李可人,则,于是,因此,在区间 a,b 上 为减函数,有,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,7,常微分方程-重庆科技学院-李可人,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程,令,注意到,因此,两边取平方根,得,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,8,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值的连续依赖性定理的证明,(一)构造满足利普希茨条件的有界闭区域,因为,积分曲线段,是 x y 平面上一个有界闭集,又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径, 表示 f(x,y) 于 内的相应的利普希茨常数。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,9,常微分方程-重庆科技学院-李可人,令,则有,且 的边界与S的距离 。对预先给定的,若取,则以S上每一点为中心,以 为半径的圆的全体,连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ,且 f (x,y),在D上关于 y 满足利普希茨条件,利普希茨常数为L。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,10,常微分方程-重庆科技学院-李可人,(二)解对初值的连续依赖性,断言,必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域,且 f (x,y)在其内关于 y 满足利普希茨条件,由延拓性定理知,解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这时必然有,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,11,常微分方程-重庆科技学院-李可人,因为否则设 则由引理,由 的连续性,对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,12,常微分方程-重庆科技学院-李可人,于是,对一切 成立,特别地有,即点,均落在D的内部,而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾,因此,解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,13,常微分方程-重庆科技学院-李可人,在不等式,中,,将区间c,d换为a,b ,可知 ,当,时,有,定理得证。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,14,常微分方程-重庆科技学院-李可人,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件,则方程,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,15,常微分方程-重庆科技学院-李可人,1. 含参数的一阶方程表示,2. 一致利普希兹条件,设函数,一致地关于 y 满足局部利普希兹 (Lipschitz)条件,,为中心的球 ,使得对任何,其中L 是与 无关的正数。,在 内连续,且在 内,即对 内的每一点 都存在以,成立不等式,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,16,常微分方程-重庆科技学院-李可人,由解的存在唯一性定理,对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设 于域 内连续,且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件,,是方程 通过点 的解,在区间,那么,对任意给定的 ,必存在正数,时,方程满足条件 的解,在区间,也有定义,并且,有定义,其中,使得当,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,18,常微分方程-重庆科技学院-李可人,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设 于域 内连续,且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件,则方程,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,19,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3.3解对初值的可微性定理,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。,若函数 f (x,y) 以及 都在区域 G 内连续,则方程,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,20,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,21,常微分方程-重庆科技学院-李可人,证明,由,在区域 G 内连续,推知 f (x,y)在,G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此,解对初值的连续性定理成立,即,下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数,在它的存在范围内关于 是连续的。,存在且连续。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,22,常微分方程-重庆科技学院-李可人,设由初值,为足够小的正数)所确定的方程的解分别为,即,于是,其中,先证,存在且连续。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,23,常微分方程-重庆科技学院-李可人,注意到 及,的连续性,有,其中 具有性质,类似地,其中 与 具有相同的性质,因此对,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,24,常微分方程-重庆科技学院-李可人,即,是初值问题,的解,在这里 被视为参数。,显然,当 时上述初值问题仍然有解。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,25,常微分方程-重庆科技学院-李可人,根据解对初值和参数的连续性定理,知,是,的连续函数。从而存在,而,是初值问题,的解。,且,,显然,的连续函数。,它是,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,26,常微分方程-重庆科技学院-李可人,再证,存在且连续。,为初值,设,所确定的方程的解。,类似地可推证,是初值问题,的解。因而,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,27,常微分方程-重庆科技学院-李可人,其中 具有性质,故有,至于 的存在及连续性,只需注意到,显然它是,的连续函数。,是方程的解,因而,由 及 的连续性即直接推的结论。,证毕。,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,28,常微分方程-重庆科技学院-李可人,课堂练习,1 设 是初值问题,的解,试证明,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,29,常微分方程-重庆科技学院-李可人,2 已知方程,试求,3.3 Continuity & differentiability,2020/7/22,30,常微分方程-重庆科技学院-李可人,按照公式,一般有,由于,,因此,我们有,时有,2020/7/22,31,常微分方程-重庆科技学院-李可人,
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