第二节正项级数及其审敛法

教学内容:正项级数的定义及其审敛方法教学重点:比较判别法及比值判敛法 教学手段：教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学难点:p-级数 的敛散性教学时数:2学时11pnn第二节 正项级数及其审敛法若级数的通项,则称为正项级数.正项级数收敛的充分必要条件是有界.1nnu0 n=1,2,nu 1nnu定理1 1nnu ns例1证明级数是收敛的.011111!2!3!nnn 122n-1211112,3,!1 21 2 22211111!2!1!1111时，11111111111234567815pppppppppnn 1111111111224444888ppppppppp 3211110111112222nppppn 是公比为的几何级数,它是收敛的,由正项级数的比值判别法知,此时是收敛的.综上:p-级数(p0)当时,发散;当p1时,收敛.譬如:级数级数,它是收敛的;级数是p=2的p-级数,它是收敛的.例3 判断级数的敛散性.1012npn112p11pnn11pnn1p 1112nppn是的211nn2111nn解 因是收敛的,故是收敛的.22211111nnnn且2111nn例4 判断级数的敛散性.111nn n2111111n nnnn n解 级数与级数具有相同的敛散性,是发散的,因此级数是发散的.11nn11nn111nn111nn n1112nnn例5 判断级数的敛散性.111 22nnn解 级数是收敛的.因此是收敛的.112nn例5 判断级数的敛散性.1112nnn定理3 (比值判别法)设 为正项级数,若,则 1nnu1limnnnuu(i)当时,级数收敛.011nnu(i)(ii)当时(或),级数发散.(iii)当时,级数的敛散性不定.(此法则失效).11nnu11nnu注当正项级数的通项中包含或时,常常用比值判别法审敛.nuna!n例6 判断的敛散性.解 通项!nnnun1!nnnn111111limlimlimlim11nnnnnnnnnnnnunenunnn 所以该级数是发散的。例7证明级数对任何x0都是收敛的证 x0，级数是正项级数。1nnxn1nnxnnnxun1111limlimlim011nnnnnnnxnuxxunn所以级数对任何x0都是收敛的。1nnxn定理4（根值判别法）设有正项级数，若，则（i）当0l1时，级数发散（iii）当 l=1时，级数可能收敛也可能发散。1nnu1nnu1nnulimnnnul1nnu例8 判断级数的敛散性。121nnnn11nlimlim12122n+2nnnnnnnun解 是收敛的注 当级数的通项中含有n次方幂时，常常考虑使用根值判别法。