[理学]--旋转矢量表示法 振动合成

第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法xkf 0222 xdtxd)cos(tAx谐振动谐振动22020 vxA 210,cos Ax Av0 sin0BC0 2 2123或或2/或或 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法212kEmv 212pEkx 2Ecos(t)2E sin(t)2221122EkAmA 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.xAo 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法一、旋转矢量一、旋转矢量A其模为简谐振动的振幅其模为简谐振动的振幅A A，绕绕o点逆时针转动，角速度点逆时针转动，角速度大小大小 ，为谐振动角频率。，为谐振动角频率。)cos(tAx 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法xoAcos0Ax 当当 时时0t0 x1.1.t=0时，矢量与时，矢量与x轴夹角为谐振动的初相轴夹角为谐振动的初相 ，xoAtt t)cos(tAx时时 tt时刻与时刻与x轴夹角为轴夹角为t时刻谐振动的位相时刻谐振动的位相)cos(tAx二、表示法二、表示法 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法2.矢量的矢端在矢量的矢端在x轴上投影点做谐振动轴上投影点做谐振动.3.旋转一周，投影点在旋转一周，投影点在x轴上作一次全振动，所用时间轴上作一次全振动，所用时间与谐振动的周期相同与谐振动的周期相同 。2 T)cos(tAx 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法)cos(tAx4 4.上半周上半周 v0;v0v0 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 求求：已已知知例例,021vAxAx 3 求求：已已知知例例,002vx2 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa三：速度和加速度的表示三：速度和加速度的表示 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 旋转矢量旋转一周所需的时间旋转矢量旋转一周所需的时间2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 .1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt 0 xto同步同步 2 2对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异们间步调上的差异.)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法例例1 1 计算以下情况的初相位计算以下情况的初相位(1)t=0,x=A,v=0(2)t=0,x=0,v=-A(1)t=0,x=A,v=0(2)t=0,x=0,v=-A (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0 (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0 (5)t=0,x=-A/2,v0解解 1x=Acos=A cos=1 v=-A sin =0 sin=0 =0 (2)x=Acos=0 cos=0 v=-A sin =-A sin=1 =/2 o oA Ax xoAxv=0(1)(2)第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法解解 3x=Acos=0 cos=0 v=-A sin =A sin=-1 =-/2 (4)x=Acos=A/2 cos=1/2 v=-A sin 0 =/3=-/2 =/3xoAv(3)oA/2xv(4)例例1 1 计算以下情况的初相位计算以下情况的初相位 (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0 (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0 sin0 (5)t=0,x=-A/2,v0 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法例例2 2：一物体沿一物体沿x x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m0.12m，周期，周期为为2s2s。t=0t=0时，位移为时，位移为0.06m0.06m，且向，且向x x轴正向运动。轴正向运动。1 1求物体振动方程；求物体振动方程；2 2设设t1t1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t1t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：解：1 1设物体谐振动方程为设物体谐振动方程为tAxcosmA12.01222 ST 由题意知由题意知 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法方法一用数学公式求方法一用数学公式求 cos0Ax mA12.0mx06.0021cos 30sin0Av3 mtx3cos12.0 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法方法二用旋转矢量法求方法二用旋转矢量法求 3mtx3cos12.0 x 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法mtx3cos12.020601Ax .1cos A 01 v 34321or 321 平衡位置平衡位置02 x02 v 232 65231212 )(tt2 2设设t1t1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t1t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。方法一：方法一：第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法-AAX 32 652312 )(ttsttt65656512方法二：方法二：2 2设设t1t1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t1t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。4-44-4谐振动的合成谐振动的合成Superposition of Harmonic Oscillation)引：引：-一：两个同方向同频率简谐运动的合成一：两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx1 1三角函数法三角函数法221212212cos()AAAA A11221122sinsincoscosAAarctgAAtx1x2xx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率仍为同频率 的谐振动的谐振动 cos()xAt11A1xx0Ax2x2A22 2矢量法矢量法)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(tAx证明：证明：所代表的谐所代表的谐振动就是合振动振动就是合振动Ax 矢量代表的谐振动的圆频率与振动矢量代表的谐振动的圆频率与振动 相同；相同；A21.xx 所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振幅与初相。幅与初相。A(1)(1)振幅振幅1A2AA1YXO212 a a)(coscos12 a a )cos(12 2212122cosAAAAAa221212212cos()AAAA221212212cos()AAA A与三角函数求得的振幅相同。与三角函数求得的振幅相同。221212212cos()AAAA A11221122sinsincoscosAAarctgAA与三角函数求得的初相相同。与三角函数求得的初相相同。结论：结论：所代表的谐振动就是合振动所代表的谐振动就是合振动Ax利用矢量求合振动只要利用平行四边形法那利用矢量求合振动只要利用平行四边形法那么求出各谐振动的合振动矢量即可。么求出各谐振动的合振动矢量即可。(2)(2)位相位相22sinA1A2AA1 2YXO22cos A11cos A11sinA2 22112211coscossinsin AAAAtg 2211coscos AA 邻邻边边2211sinsin AA 对对边边xxtooA21AAA max1A2AT1 1 相位差相位差212k),2 1 0(，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论合振幅最大合振幅最大xxtoo21AAA)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2 相位差相位差)12(12k),1 0(，k合振幅最小合振幅最小3 3）一般情况一般情况2121AAAAA)cos(212212221AAAAA11A1xx0Ax2x2A2二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐振动的叠加的两个谐振动的叠加:一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂性的情况较复杂性的情况tx1x2x12xxx叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大的两个谐振动的叠加的两个谐振动的叠加1111cos()xAt2222cos()xAt假设有：假设有：12设设12但：但：为简单：为简单：12AAA令，12先用函数曲线叠加：先用函数曲线叠加：声音时大时小声音时大时小-“-“拍现象拍现象 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍.定量分析：定量分析：11cos()xAt22cos()xAt12xxx12cos()cos()AtAt用和差化积公式：用和差化积公式：12122cos()cos()22xAtt随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化很快可看随时间变化很快可看作谐振动的局部。作谐振动的局部。振动的圆频率振动的圆频率1211222212()2cos()2A tAt合振动的振幅合振动的振幅假设振幅变化的周期为假设振幅变化的周期为T T拍拍122,T拍1212()22tTt拍12121/2T拍12()2cos()2A tAt 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫叫拍拍。拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2)(21振动频率振动频率拍现象的应用：拍现象的应用：1 1较正乐器较正乐器2 2测量超声波频率测量超声波频率3 3接收等幅电报接收等幅电报tx1x2x12xxxtx2x1x12xxx拍现象是两个频率较高但相差不多的两个谐振动拍现象是两个频率较高但相差不多的两个谐振动的叠加。假设相差甚远，叠加后已完全不是一个的叠加。假设相差甚远，叠加后已完全不是一个谐振动。谐振动。注意注意tx1x2x12xxx012()coscos2f taatat12sinsin 2btbt傅里叶定理：傅里叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同的谐振动的合成。即周期各种频率不同的谐振动的合成。即周期T=2/的的周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：三：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成三：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao 椭圆方程椭圆方程 讨论讨论yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图3 3）2121222212AyAx1cos()2xAt2cosyAtxy1A2Ao简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差四四：两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图例例1 1 两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲线如图，两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲线如图，求求1 1分别求出两个谐振动方程；分别求出两个谐振动方程；2 2合振动方程。合振动方程。0m/cxs/t2.0-5-5-2.5解解 ：cmAA5)1(21 sT4 12122 sT 0,2,010110 vAxt123 0,2,020220 vAxt 322)322cos(51 tx)322cos(52 txcmAAAAA534cos55255)cos(222212212221 ）（10arctancoscossinsinarctan22112211AAAAcmtx)2cos(5 )cos(tAx练习十练习十 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 角频率角频率振幅振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx一一 阻尼振动阻尼振动)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力阻尼力mk0mC 2固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数XoFfm 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）过阻尼过阻尼220 a a）欠阻尼欠阻尼220 c c）临界阻尼临界阻尼tAeTabctAetcos 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 二二 受迫振动受迫振动系统在周期性外力持续作用下的振动系统在周期性外力持续作用下的振动 t tx x稳定后，系统的运动是谐振动稳定后，系统的运动是谐振动 且其周期为外力的振动周期，且其周期为外力的振动周期，振幅与外力频率有关。振幅与外力频率有关。第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 三三 共振共振tfxtxtxp2022cosdd2ddPAo共振频率共振频率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0220r2共振频率共振频率220r2fA共振振幅共振振幅 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 共振现象的应用：共振现象的应用：天坛的回音壁天坛的回音壁黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 随后在大风中因产生随后在大风中因产生共振而断塌共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动大桥在大风中产生振动 发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。备或建筑。第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 二二 掌握描述简谐运动的各个物理量特别掌握描述简谐运动的各个物理量特别是相位的物理意义及各量间的关系是相位的物理意义及各量间的关系.三三 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动的振动方程示法，并会用于简谐运动的振动方程.一一 掌握简谐运动的三个特征方程，依此会判掌握简谐运动的三个特征方程，依此会判断、证明物体的振动是否简谐振动断、证明物体的振动是否简谐振动.重点和难点重点和难点 四四 会计算会计算同方向、同频率简谐运动的合成规同方向、同频率简谐运动的合成规律，掌握它们的合成加强和减弱的条件，了解拍和律，掌握它们的合成加强和减弱的条件，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点相互垂直简谐运动合成的特点.五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律件及规律.