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专题十三机械振动与机械波,高考物理（江苏专用）,考点一机械振动,考点清单,考向基础 一、振动及描述振动的物理量 1.机械振动:物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动称为机械振动,简称振动。 2.回复力:振动物体所受的总是指向平衡位置的力。它可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,属于效果力,在具体问题中要注意分析是什么力提供了回复力。,3.位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段,是矢量,其最大值等于振幅。 无论振子从什么位置开始振动,其位移总是以平衡位置为初位置。 4.振幅A:振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,表示振动的 强弱。 5.周期T和频率f:表示振动快慢的物理量,两者互为倒数关系,当T和f由振动系统本身决定时,则叫固有周期和固有频率。,二、简谐运动,三、简谐运动的两种基本模型,四、自由振动、受迫振动和共振的关系比较,考向一简谐运动的图像 1.简谐运动的数学表达式 x=A sin (t+) 2.根据简谐运动图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位(如图所示)。 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。,考向突破,(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向,速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定。 (4)某时刻质点的回复力、加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同,在图像上总是指向t轴。 (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 3.简谐运动的位移、速度和加速度及其变化规律 (1)位移:从平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段。位移的表示方法是以平衡位置为坐标原点,以振动物体所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某一时刻振动物体(偏离平衡位置)的位移用该时刻振动物体,所在的位置坐标来表示。振动物体通过平衡位置时,位移将改变方向。 (2)速度:描述振动物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上,速度的正负号表示振动物体运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。应明确速度和位移是彼此独立的物理量。如振动物体通过同一位置时,它的位移矢量的方向是一定的,而其速度方向却有两种可能:指向或背离平衡位置。振动物体在最大位移处速度为零,在平衡位置处速度最大,振动物体在最大位移处时,速度将改变方向。 (3)加速度:根据牛顿第二定律,做简谐运动的物体的加速度a=-x。由此可知,振动物体加速度的大小跟位移成正比且方向相反。振动物体在位移最大处加速度最大,通过平衡位置时加速度为零,此时加速度将改变方向。,(4)动能(标量):质量一定的物体,其动能的大小取决于速度的大小,这样动能随位移的变化情况可参考(2)。,(5)势能(标量):随位移增大而增大,随位移减小而减小。 4.简谐运动中路程(s)与振幅(A)的关系 (1)质点在一个周期内通过的路程是振幅的4倍。 (2)质点在半个周期内通过的路程是振幅的2倍。 (3)质点在四分之一周期内通过的路程有三种情况: 计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个平衡位置)时,s=A; 计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向平衡位置运动时,sA;,计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间且向最大位移处运动时,sA。,例1(2017江苏南京统测)如图甲所示,水平的光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动,其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知。 A.振子的振动周期等于2t1 B.在t=0时刻,振子的位置在a点 C.在t=t1时刻,振子的速度为零 D.在t=t1时刻,振子的速度最大,解析弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时,若速度相同,则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期,从振动图像可以看出振子的振动周期为2t1,选项A正确;在t=0时刻,振子的位移为零,所以振子应该在平衡位置O,选项B错误;在t=t1时刻,振子在平衡位置O,该时刻振子速度最大,选项C错误,D正确。,答案AD,例2一质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是。 A.在10 s内质点经过的路程是20 cm B.第4 s末质点的速度是零 C.在t=1 s和t=3 s两时刻,质点位移大小相等、方向相同 D.在t=2 s和t=6 s两时刻,质点速度相同,解析读图可知,该简谐运动的周期为4 s,频率为0.25 Hz,振幅为2 cm,在10 s内质点经过的路程是2.542 cm=20 cm。第4 s末的速度最大。在t= 1 s和t=3 s两时刻,质点位移大小相等、方向相反。在t=2 s和t=6 s两时刻之间相差一个周期,故速度相同,选项A、D正确。,答案AD,考向二单摆周期公式的应用 1.对单摆的理解 (1)回复力:摆球重力沿切线方向的分力,F回=-mg sin =-x=-kx,负号表 示回复力F回与位移x的方向相反。 (2)向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F向= FT-mg cos 。 两点说明: 当摆球在最高点时,F向=0,FT=mg cos 。 当摆球在最低点时,F向=,F向最大,FT=mg+m。 2.周期公式T=2的两点说明,(1)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离; (2)g为当地重力加速度。,例3如图所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在O点正下方的O点钉一个光滑钉子,使OO=,将单摆拉至A处由静止释放,小球将在A、B、C间 来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5,则此摆的周期是。,解析由AB的运动时间t1=,由BC的运动时间t2= 由对称性知此摆的周期T=2(t1+t2)=。,答案,例4如图所示为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段,小球B静止在圆弧轨道的最低点O处,另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下,经时间t与B发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时。 A.相间隔的时间为4t B.相间隔的时间为2t C.将仍在O处相碰 D.可能在O点以外的其他地方相碰,解析小球的运动可视为简谐运动。由单摆振动周期公式T=2(此 处l即为圆弧轨道半径)知,两球周期相同,碰撞后应同时回到平衡位置,即只能在平衡位置处相碰。又由振动的周期性知,两次相碰的间隔时间为2t,综上讨论可知,选项B、C正确。,答案BC,3.单摆等效问题 T=2,此式只适用于摆角很小(5)的情况。因此单摆的振动周期 在摆角很小的条件下,与单摆的振幅无关,与摆球的质量也无关。式中l为悬点到摆球重心的距离,g为重力加速度,值得注意的是等效摆长和等效重力加速度的计算。 (1)等效摆长 图中,三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m,绳长为l,球直径为d,l2、l3与天花板的夹角30。若摆球在平行纸面的平面内做小角度的左右摆动,则摆动圆弧的圆心在O1处,故等效摆长为l+, 周期,T 1=2。 若摆球在垂直纸面的平面内做小角度摆动,则摆动圆弧的圆心在O处,故等效摆长为l+l sin +,周期T2=2。,例5两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1、v2(v1v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、 A2,则() A.f1f2,A1=A2B.f1A2D.f1=f2,A1A2,解析单摆的频率由摆长决定,摆长相等,频率相等,所以A、B错误;由机械能守恒,小球在平衡位置的速度越大,其振幅越大,所以C正确,D错误。,答案C,(2)等效重力加速度 与空间位置有关的等效重力加速度:g随地球表面不同位置、不同高度而变化,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式,即g不一定等于9.8 m/s2。 与运动状态有关的等效重力加速度:单摆在平衡位置不摆动时拉力的大小与质量之比。,例6一个单摆挂在运动电梯中,发现单摆的周期变为电梯静止时周期的2倍,则电梯在这段时间内可能做运动,其加速度的大小a=。,解析电梯静止时,单摆周期为T1=2 摆长未变,而周期变化,说明电梯做加速度不为零的运动,若在这段时间内,周期稳定,则做匀变速直线运动,此时电梯中的单摆周期为T2=2 而由题意得T2=2T1 由式可解得g=。 mg-mg=ma 由式可得电梯的加速度a=,方向竖直向下。所以电梯可能是匀加 速下降或匀减速上升。,答案匀加速下降或匀减速上升,考向三对共振的理解 1.共振曲线:如图所示,横坐标为驱动力频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响,由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。 2.受迫振动中系统能量的转化:受迫振动系统机械能不守恒,系统与外界时刻进行着能量交换。,例7如图所示,A球振动后,通过水平细绳迫使B、C球振动,振动达到稳定时,下列说法中正确的是(已知lA=lClB)() A.只有A、C的振动周期相等 B.C的振幅比B的振幅小 C.C的振幅比B的振幅大 D.A、B、C的振动周期相等,解析A振动后,水平细绳上驱动力的周期TA=2,迫使B、C做受迫 振动,受迫振动的频率等于A施加的驱动力的频率,所以TA=TB=TC,而TC固=2=TA,TB固=2TA,故C共振,B不共振,C的振幅比B的振幅大,所以 C、D正确。,答案CD,考点二机械波,考向基础 一、机械波 1.机械波的形成条件 (1)有发生机械振动的波源。 (2)有传播介质,如空气、水等。 2.传播特点 (1)机械波传播的只是振动的形式和能量,质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动,并不随波迁移。后一质点的振动总是落后带动它运动的前一质点的振动。 (2)介质中各质点的振幅相同,振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同。,(3)一个周期内,质点完成一次全振动,通过的路程为4A,位移为 零。 3.机械波的分类 (1)横波:质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波,有 波峰(凸部)和波谷(凹部)。 (2)纵波:质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波,有密部和疏部。 二、横波的图像波速、波长和频率的关系 1.横波的图像 (1)坐标轴:横轴表示各质点的平衡位置,纵轴表示该时刻各质点 的位移。,(2)意义:表示在波的传播方向上,某时刻各质点偏离平衡位置的 位移。 (3)图像: 2.波长、波速、频率及其关系 (1)波长 在波动中,振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。,(2)波速v: 波在介质中的传播速度,由介质本身的性质决定。 (3)频率f: 由波源决定,等于波源的振动频率。 (4)波长、波速和频率的关系: a.v=f;b.v=。 三、声波 一切振动着发声的物体都叫声源。声源的振动在介质中形成纵波。频率为20 Hz到20 000 Hz的声波能被人耳听到。频率低于20 Hz的声波称为次声波;频率高于20 000 Hz的声波称为超声波,超声波的应用十分广泛,如声呐、“B超”、探伤仪等。声波在空气中的传播速度约为340 m/s。声波具有反射、干涉、衍射等波的特有现象。,四、波的干涉和衍射 1.波的叠加:几列波相遇时,每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰,只是在重叠的区域里,任一质点的总位移等于各列波 分别引起的位移的矢量和。 2.衍射:波绕过障碍物继续传播的现象。产生明显衍射现象的条件是障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长相差不多。 3.干涉:频率相同的两列波叠加,使某些区域的振动加强,某些区域的振动减弱,并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象。产生稳定干涉现象的条件是两列波的频率相同。 说明(1)稳定干涉中,振动加强区域或振动减弱区域的空间位置是不 变的。加强区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之和;减弱区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之差。,(2)振动加强的条件是两波源到该区域中心的距离之差等于波长的整数倍;振动减弱的条件是两波源到该区域中心的距离之差等于半波长的奇数倍。 (3)加强区永远是加强区,减弱区永远是减弱区,加强区内各点的振动位移不一定都比减弱区内各点的振动位移大。 4.干涉和衍射是波所特有的现象,波还可以发生反射,如回声。 五、多普勒效应 1.条件:声源和观察者之间有相对运动。 2.现象:观察者感到频率发生变化。,3.实质:声源频率不变,观察者接收到的频率变化。,考向突破,考向一机械波的图像 1.如图所示为一横波的图像,它反映了在波传播的过程中,某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布,简谐横波的图像为正弦(或余弦)曲线。,2.根据机械波的传播规律,利用波的图像可以得出以下的判定 (1)介质中质点的振幅A和波长,以及该时刻各质点的位移和加速度的方向。 (2)根据波的传播方向确定该时刻各质点的振动方向,且能画出在t前(或后)的波形图像。 (3)根据某一质点的振动方向确定波的传播方向。,例8一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波,波速为4 m/s。某时刻波形如图所示,下列说法正确的是() A.这列波的振幅为4 cm B.这列波的周期为1 s C.此时x=4 m处质点沿y轴负方向运动 D.此时x=4 m处质点的加速度为0,解析由波动图像知,波的振幅为2 cm,A选项错误;波长=8 m,周期T= = s=2 s,B选项错误;由于波沿x轴正方向传播,由波传播方向和质点振动方 向的关系知,x=4 m处质点此时沿y轴正方向运动,C选项错误;此时x=4 m处 的质点处于平衡位置,其加速度为0,D选项正确。,答案D,考向二振动和波动的比较,例9介质中有一列简谐机械波传播,对于其中某个振动质点() A.它的振动速度等于波的传播速度 B.它的振动方向一定垂直于波的传播方向 C.它在一个周期内走过的路程等于一个波长 D.它的振动频率等于波源的振动频率,解析由振动和波的关系可知,质点的振动速度是质点运动的速度,而波的传播速度是指“振动”这种运动形式的传播速度,故A错;波可分为横波和纵波,在纵波中,质点的振动方向与波的传播方向在一条直线上,故B错;在一个周期内波传播的距离等于波长,而质点运动的路程等于4倍振幅,故C错;介质中所有质点的振动都是由波源的振动引起的,它们的振动频率与波源的振动频率都相同,故D正确。,答案D,考向三振动图像和波动图像的比较,例10(2015天津理综,3,6分)图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,a、b两质点的横坐标分别为xa=2 m和xb=6 m,图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确的是() A.该波沿+x方向传播,波速为1 m/s B.质点a经4 s振动的路程为4 m C.此时刻质点a的速度沿+y方向,D.质点a在t=2 s时速度为零,解析t=0时,b质点向+y方向运动,根据“下坡上”可判定波沿-x方向传播,A错误;a总是与b的振动方向相反,t=0时,a向-y方向运动,C错误;经过4 s,a回到平衡位置,路程为1 m,B错误;t=2 s时,a处于波谷,速度为零,D正确。,答案D,考向四波特有的现象 (1)波的叠加 几列波相遇时,每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰。只是在重叠的区域里,任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和。任何两列波相遇都会叠加,但只有符合条件的才能发生干涉现象。 (2)波的干涉和衍射 干涉现象和衍射现象是波的共性,任何波都能发生干涉、衍射现象。 如果两列波的频率相同,两列波的叠加会使某一些区域振动加强,另外一些区域振动减弱,并且振动加强区域和减弱区域彼此相互间隔,形成稳定的特殊图样。这种图样叫做干涉图样,这种现象叫波的干涉。,要注意获得明显干涉现象的条件:两列波频率必须相同。 当两列波重叠的某区域到两波源的路程差是半波长的偶数倍时,该区域质点的振动总是加强的;当某区域到两波源的路程差是半波长的奇数倍时,该区域质点的振动总是减弱的。这一结论应结合光的干涉进行复习。 波绕过障碍物的现象叫波的衍射。能够发生明显衍射现象的条件是障碍物的尺寸比波长小,或与波长相差不多。,例11(2014大纲全国,18,6分)两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇。下列说法正确的是() A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1-A2| B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1+A2 C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移 D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅,解析两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。,答案AD,(3)多普勒效应 由于波源和观察者之间有相对运动,使观察者感到波的频率发生变化的现象,叫做多普勒效应。 当波源与观察者有相对运动时,如果二者相互接近,观察者接收到的频率增大;如果二者远离,观察者接收到的频率减小。多普勒效应是所有波动过程共有的特征。根据声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度;根据光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度。,例12下面哪些应用是利用了多普勒效应() A.利用地球上接收到遥远天体发出的光波的频率来判断遥远天体相对于地球的运动速度 B.交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波,波被运动的汽车反射回来,根据接收到的频率发生的变化,就知道汽车的速度,以便于进行交通管理 C.铁路工人用耳朵贴在铁轨上可判断火车的运动情况 D.有经验的战士从炮弹飞行的尖叫声判断飞行炮弹是接近还是远去,解题思路根据波源和观察者之间有相对运动时,接收到的波的频率发生变化,从而分析问题的情况,属于多普勒效应的应用。,解析凡是波都能发生多普勒效应,因此利用光波的多普勒效应便可测定遥远天体相对地球运动的速度,故A选项正确。被反射的电磁波,相当于一个运动的物体发出的电磁波,其频率发生变化,由多普勒效应的计算公式可以求出运动物体的速度,故B选项正确。铁路工人根据铁轨传递的声音频率的变化判断火车的运动情况,故C选项错误。炮弹飞行,与空气摩擦产生声波,人耳接收到的频率与炮弹的相对运动方向有关,故D选项正确。,答案ABD,方法1简谐运动的研究方法 一、简谐运动的判定方法 在简谐运动中,回复力的特点是回复力大小和位移大小成正 比,方向与位移的方向相反,即满足公式F=-kx。所以对简谐 运动的判定,首先要确定运动物体的平衡位置,其次在物体离 平衡位置为x处分析出回复力,再根据简谐运动中回复力的特 点进行判定。,方法技巧,例1如图所示,竖直悬挂的轻质弹簧的劲度系数为k,下端挂一质量为m的小球,小球静止时弹簧伸长x0,若将小球从静止位置再向下拉一小段距离x后放手,小球的运动是否属于简谐运动?,解题思路对小球受力分析,求出振动方向上小球受的合力与小球相对平衡位置的位移关系。,解析小球在竖直方向上振动时,除受到弹力作用外还受重力的作用,设向下为正方向,取小球静止时的位置为平衡位置,此时小球所受到的合力为零,即: mg-kx0=0 若小球向下偏离平衡位置x,则小球所受到的合力为:,F=mg-k(x0+x) 由和式可以解得:F=-kx 即小球在振动中所受到的合力大小与其相对平衡位置的位移大小成正比,而方向相反。所以悬挂在弹簧下端的小球所做的运动是简谐运动。,答案小球的运动属于简谐运动。 说明判断某振动是否属于简谐运动,关键在于受力分析,找出回复力的来源,然后取平衡位置为坐标原点,沿振动方向建立x轴,并规定正方向,得出回复力的表达式,再对照回复力公式F=-kx做出判断。在判断时要注意,回复力是指振动物体在振动方向上受到的合力。,二、简谐运动的分析方法 1.对称法 (1)远离平衡位置的过程:由F=-kx=ma可知,x增大,F增大,a增大,但a与v反向,故v减小,动能减小。 (2)靠近平衡位置的过程:由F=-kx=ma可知,x减小,F减小,a减小,但a与v同向,故v增大,动能增大。,(3)经过同一位置时,位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同,但速度、动量不一定相同,因为方向可能相反。,例2一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。 若从其经过O点开始计时,经过3 s质点第一次经过 M点(如图所示);再继续运动,又经过2 s它第二次经过M点;则该质点第三次经过M点还需要的时间是() A.8 sB.4 sC.14 sD. s,解析设图中a、b两点为质点振动过程两边的最大位移处,若开始计时时,质点从O点向右运动,OM过程历时 3 s,MbM运动过程历时2 s,显然,=4 s,T=16 s。质点第三次经过M点还需要的时间t3=T-2 s=(16- 2) s=14 s,故选项C正确。,若开始计时时,质点从O点向左运动,OaOM运动过程历时3 s,MbM运动过程历时2 s,显然,+=4 s,T= s。质点第三次经过M点还 需要的时间t3=T-2 s=s= s,故选项D正确。 综上所述,该题的答案是C、D。,答案CD,2.图像法 (1)确定振动物体在任一时刻的位移。如图,对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm。 (2)确定振动的振幅。图像中最大位移的大小等于振幅,如图所示,振动的 振幅是10 cm。 (3)确定振动的周期和频率。振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。,由图可知,OD、AE、BF对应的时间间隔都等于振动周期,T=0.2 s,频率f= =5 Hz。 (4)确定各时刻质点的振动方向。例如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向正方向运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动。 (5)比较各时刻质点加速度的大小和方向。例如在图中t1时刻质点位移x1 为正,则加速度a1为负,t2时刻质点位移x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1| |x2|,所以|a1|a2|。,例3一弹簧振子做简谐运动,周期为T,则() A.若t时刻和(t+t)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同,则t一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+t)时刻振子运动的速度大小相等、方向相反,则t一定等于的整数倍 C.若t=T,则在t时刻和(t+t)时刻振子运动的加速度一定相等 D.若t=,则在t时刻和(t+t)时刻弹簧的长度一定相等,解析此题若用图像法来解决将更直观、方便。设弹簧振子的振动图像如图所示。B、C两点的位移大小相等、方向相同,但B、C两点的时间间隔tnT(n=1,2,3),A错误;B、C两点的速度大小相等、方向相反,但t(n=1,2,3),B错误;简谐运动具有周期性,时间间隔t=T的 两个时刻,振子运动情况完全相同,C正确;A、C两点的时间间隔t=,A 点与C点位移大小相等、方向相反,若在A点弹簧是伸长的,则在C点弹簧是压缩的,所以在A、C两点弹簧的形变量大小相同,而弹簧的长度不相等,D错误。,答案C,3.振动图像与其他力学综合应用 振动图像可与运动学、动力学等相综合,求解这部分问题时应注意到物体运动的时间与振动周期之间的关系,运动学与动力学相联系的“桥梁”加速度与其他物理量间的关系。在充分挖掘题目的隐含条件的基础上,建立相应的物理模型,做出正确解答。,例4公路上匀速行驶的货车受一振动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动,周期为T。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,t=0时,其振动图像如图所示,则() A.t=时,货物对车厢底板的压力最大,B.t=时,货物对车厢底板的压力最小 C.t=T时,货物对车厢底板的压力最大 D.t=T时,货物对车厢底板的压力最小,解析取车上货物为研究对象,现货物在竖直方向做简谐运动,当货物运动到最低点时,受到竖直向下的重力和竖直向上的车厢底板对货物的支持力,根据牛顿第二定律,得FN-mg=ma,FN=mg+ma,由简谐运动特点可知,货物运动到最低点和最高点加速度大小最大,则货物在最低点时车厢底板对货物的支持力最大,由牛顿第三定律可得,货物对车厢底板的压力最大,选项C正确。同理,当货物运动到最高点时,货物对车厢底板的压力最小。选项A、B、D错误。,答案C,三、已知振幅A和周期T,求振动质点的位移和路程的方法 求振动质点在t时间内的路程和位移,由于涉及质点的初始状态,用正弦函数求解较复杂,但t若为半周期的整数倍,则容易求。 在半个周期内质点的路程为2A,若t=n(n=1,2,3,),则路程s=2An。 当质点的初始位移(相对平衡位置)为x0时,经的奇数倍时x1=-x0,经的 偶数倍时,x2=x0。,例5某波源S发出一列简谐横波,波源S的振动图像如图所示。在波的传播方向上有A、B两点,它们到S的距离分别为45 m和55 m。测得A、B两点开始振动的时间间隔为1.0 s。由此可知 波长=m; 当B点离开平衡位置的位移为+6 cm时,A点离开平衡位置的位移是cm。,解析由波源S的振动图像可知波的周期T=2.0 s,振幅为A=6 cm,由A、B两点开始振动的时间间隔t=1.0 s,两点间的距离xAB=55 m-45 m=10 m,可求出波速为v=10 m/s,由v=可得=vT=102.0 m=20 m。 由波的图像知A点离开平衡位置的位移是-6 cm。,答案20-6,方法2判断波的传播方向和质点振动方向的方法 1.带动法,根据波的形成,利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理,在被判定振动方向的点P附近(不超过)图像上靠近波源一方找另一 点P,若P在P上方,则P带动P向上运动,如图所示;若P在P的下方,则P带,动P向下运动。 2.微平移法(波形移动法) 作出经微小时间t后的波形,就知道了各质点经过t时间达到 的位置。,例6简谐横波在某时刻的波形图像如图所示,由此图可知() A.若质点a向下运动,则波是从左向右传播的 B.若质点b向上运动,则波是从左向右传播的 C.若波从右向左传播,则质点c向下运动 D.若波从右向左传播,则质点d向上运动,解析用“波形移动法”来分析:设这列波是从左向右传播的,则在相邻的一小段时间内,这列波的形状向右平移一小段距离,如图虚线所示。因此所有的质点从原来在实线的位置沿y轴方向运动到虚线的位置,即a质点向上运动,b质点也向上运动,由此可知选项A、B中B是正确的。类似地可以判定选项D是正确的,C错误。,答案BD,3.同侧法 所谓同侧法,就是质点的振动方向和波的传播方向必定在波形曲线的同侧。除了波峰和波谷,图像上的其他点都可以使用这种方法判断振动方向(或波的传播方向),如图。,例7如图所示为一横波在某一时刻的波形图,已知F质点此时的运动方向如图所示,则() A.波向右传播 B.质点H的运动方向与质点F的运动方向相同 C.质点C比质点B先回到平衡位置 D.质点C在此时的加速度为零,解析由于F质点向下运动,由“同侧法”知,此波从右向左传播,选项A错误。在此时刻质点H的运动方向应向上,选项B错误。由于质点C此时在最大位移处,后回到平衡位置,而质点B此刻运动方向向上,到最大 位移处后,再用的时间才回到平衡位置,选项C正确。质点C此时在最 大位移处,它的加速度最大,选项D错误。,答案C,4.上下坡法 逆着波速向前看,“波峰、波谷紧相连”,“上坡”质点向上跳,“下坡”质点向下钻。 反过来若知波上的一点P的振动方向,也可判定波的传播方向。,说明上述几种方法均是并列关系,不要求每种方法都掌握,同学们可根据自己对各种方法的理解情况,在其中选择一个适合自己的方法。,例8如图所示,一列简谐横波沿x轴传播,实线为t1=0时的波形图,此时P质点向y轴负方向运动,虚线为t2=0.01 s 时的波形图。已知周期T0.01 s。 波沿x轴(填“正”或“负”)方向传播。 求波速。,解析根据“上下坡法”判断,波向x轴正方向传播。 由题图知,=8 m 由题意知t2-t1=T v= 联立式,代入数据解得 v=100 m/s,答案正100 m/s,方法3波动问题的多解性分析技巧 波的传播过程中时间上的周期性、空间上的周期性以及传播方向上的双向性是导致“波动问题多解性”的主要原因。若题目加设一定的条件,可使无限系列解转化为有限解或唯一解。具体表现有: 1.波的传播方向不确定,必有两种可能解; 2.波形移动的距离x与波长的关系不确定,必有系列解,若x与有一定的约束关系,可使系列解转化为有限解或唯一解; 3.波形变化的时间t与周期T的关系不确定,必有系列解,若t与T有一定的约束关系,可使系列解转化为有限解或唯一解; 4.两质点间的波形不确定形成多解,例如一列简谐横波沿水平直线方向向右传播,M、N为介质中相距为x的两质点,M在左,N在右,t时刻,M、N,两质点正好振动经过平衡位置,而且M、N之间只有一个波峰,经过t时间N质点恰好第一次处在波峰位置,求这列波的波速。 波形可能如图所示,a.v=b.v= c.v=d.v=,例9一列简谐横波在x轴上传播,如图所示,实线为t=0时刻的波形图,虚线为t=0.2 s后的波形图。 (1)此波的波速多大? (2)若2TT,且波速为85 m/s时,波传播的方向如何?,解题思路此题多解。由波传播的双向性确定,波沿x轴正向传播的波长关系式n+=x1。波沿x轴负方向传播的波长关系式n+=x2。再 根据v=求波速,(2)(3)两问问的结果,添加约束关系,将系列能转化为 有限解或唯一解。,解析(1)由于题中未交代波的传播方向,故需考虑波传播方向的双向性,分别对波沿x轴正向与沿x轴负向传播进行分析。 若沿x轴正方向传播,波形向右至少要平移的距离,由于题中没有给 出时间间隔与周期之间的大小关系,因而波传播的距离x1=n+,波速 v1=。 由图知=4 m,故v1=20 m/s(n=0,1,2,)。 若波沿x轴负向传播,波形向左至少要平移的距离,同上考虑,波传 播的距离x2=n+,波速v2=。故v2=20 m/s(n=0,1,2,)。 (2)当2Tt3T时,由波的传播特点,波源每完成一次全振动,波向前推进一个波长,故可将时间限制条件转换成空间限制条件:2x3,则上述通解表达式中的n均取2,波沿x轴正向传播速度v1=45 m/s,波沿x轴负向传播速度v2=55 m/s。 (3)由简谐波的传播距离公式x=vt得x=850.2 m=17 m=4+, 说明波是向右传播的。,答案见解析,
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