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考点一直线的倾斜角、斜率与方程,考点清单,考向基础 1.直线的倾斜角 (1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角即为直线l的倾斜角; (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0; (3)直线倾斜角的范围为0,). 2.直线的斜率 (1)若直线的倾斜角不是90,则斜率k=tan ;,(2)若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则斜率k=; (3)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.,3.直线方程的几种形式,考向突破,考向求直线的方程,例根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),且倾斜角的正弦值为; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.,解析(1)由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设直线的倾斜角为(0),则sin =. 从而cos =,则k=tan =. 故所求直线的方程为y=(x+4), 即x+3y+4=0或x-3y+4=0. (2)由题设知截距不为0,设直线方程为+=1, 又直线过点(-3,4), 从而+=1,解得a=-4或a=9. 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.,(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0. 当斜率存在时,设为k,则直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0. =5,解得k=. 则直线方程为3x-4y+25=0. 所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.,考点二直线与直线的位置关系,考向基础 1.两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1l2k1=k2.特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行. 2.两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率存在,分别设为k1、k2,则l1l2k1k2=-1.当一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0时,两条直线垂直. 3.判断两条直线是否相交 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:是否有解.,4.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|=. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=. 5.点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. 6.两条平行线间的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1C2)间的距离d=.,考向突破,考向两条直线的平行与垂直关系的应用,例(1)若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于() A.0或-1或3B.0或3 C.0或-1D.-1或3 (2)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a的值为() A.-1B.1C.1D.-,解析(1)当m=0时,两条直线方程分别化为-2x-y-1=0,3x=0,此时两条直线不平行;当m0时,由于l1l2,则=,解得m=-1或3,经验证满足条 件.综上,m=-1或3.故选D. (2)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直, (a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, (a-1)(a+2-2a-3)=0, (a-1)(a+1)=0, a=1或a=-1,故选C.,答案(1)D(2)C,考点三圆的方程,考向基础 1.圆的标准方程 圆心为(a,b),半径为r的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.圆的一般方程 已知二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*) (1)当D2+E2-4F0时,(*)表示圆的方程,圆心为,半径为 .此时,(*)叫圆的一般方程. (2)当D2+E2-4F=0时,(*)表示点. (3)当D2+E2-4F0时,(*)不表示任何图形. 3.圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式的特点:,(1)x2和y2的系数相等且不为0; (2)没有xy这样的二次项. 4.A=C0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 必要不充分条件. 5.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),不表示圆C2. 6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,考向突破,考向求圆的方程,例经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.,解析解法一:由题意知kAB=2,AB的中点为(4,0), 设圆心为C(a,b),则2a-b-3=0, 圆过A(5,2),B(3,-2)两点, 圆心一定在线段AB的垂直平分线上, 则=-, 联立解得C(2,1), r=|CA|=. 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.,则解得 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0), 则解得 所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.,解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),答案(x-2)2+(y-1)2=10(或x2+y2-4x-2y-5=0),方法1直线方程的求法 求直线方程的一般方法: (1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中的系数,写出直线方程. (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程. 另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,则应选用截距式.,方法技巧,例1过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求此直线方程. 解题导引,解析解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直 线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点. 由解得xA=, 由解得xB=, 点M平分线段AB,xA+xB=2xM,即+=0.,解得k=-,故所求直线方程为y=-x+1,即x+4y-4=0. 解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点. 点B在直线l2:2x+y-8=0上, 设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点, 由中点坐标公式得A(-t,2t-6). 点A在直线l1:x-3y+10=0上, (-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.B(4,0),A(-4,2), 故所求直线方程为=,即x+4y-4=0.,方法2两直线平行与垂直问题的解决策略 1.一般地,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 k1k2l1与l2相交. k1=k2且b1b2l1与l2平行. k1=k2且b1=b2l1与l2重合. k1k2=-1l1与l2垂直.,注意:斜率存在是利用斜率判断两直线平行、相交、垂直的先决条件.若两直线的斜率不存在,则两直线平行或重合;若两直线中只有一条斜率存在,则两直线相交(特别地,若只有一条直线斜率存在且为0,则两直线垂直).,2.一般地,若l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2、B2不全为0),则 l1与l2相交A1B2-A2B10. l1与l2平行或 l1与l2重合A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0. l1与l2垂直A1A2+B1B2=0.,注意:当A2B2C20时,一般用来判断相交;用=来判断平行;用=来判断重合.当然,这些比例关系不是判断两直线相交、平行、重合的充要条件.,例2经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为. 解题导引,解析解法一:由方程组解得 即交点为, 所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所求直线的斜率为k=. 由点斜式得所求直线方程为y-=, 即4x-3y+9=0. 解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0, 由方程组可解得交点为,代入4x-3y+m=0得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0. 解法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0, 又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直, 所以3(2+)+4(3-3)=0, 所以=2,代入式得所求直线方程为4x-3y+9=0.,答案4x-3y+9=0,方法3关于对称问题的求解策略 1.中心对称 (1)点关于点的对称 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称 直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1l2,由点斜式得到所求直线的方程. 2.轴对称 (1)点关于直线的对称,若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且 P1P2所在的直线垂直于对称轴l,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2). (2)直线关于直线的对称 若已知直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线l2上,再求出l1上除交点外任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2的直线就是l2;若已知直线l1与对称轴l平行,则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l1的对称直,线.,例3若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.,解析由题可知纸的折痕垂直平分点(0,2)与点(4,0)的连线,可得折痕所在直线为y=2x-3,又折痕也垂直平分点(7,3)与点(m,n)的连线,于是解得m+n=.,答案,方法4圆的方程的求法 1.方程选择原则 求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列式,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程. 2.求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.,3.求圆的方程时常用到的圆的性质,例4求圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程. 解题导引,解析解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所以圆心在直线y-1=x-1,即x-y=0上. 又因为圆心在直线y=-x+1上,故联立解得故圆心坐标是 . 所以半径r= .,故所求圆的方程为+=. 解法二(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 解得 所以r= .,故所求圆的方程为+=.,
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