中科大量子03

一.1如果厄密算符A对任何矢量，有:uAu0，则称A为正定算符，求证：算符A = |a）a |是厄密正定算符。2如果A是任一线性算符，求证A+A是正定的厄密算符，它的迹等于A在任意表象中的矩阵元的模平方之和.试推导，当且仅当A二0时，T（A+A） = 0才成立.3 求证：如果A, B, A = A, B, B = 0，则 eAeB = eA+Be2小.4 求证：任一可观测量的平均值对时间的导数由下式给出:h二把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势，对于下列一维模型（如图）Pv x01金属/L V ( X)真空亠B-VrC试就（D E 0 ,（2）-打 E 0时S的平均值。x 2一粒子在一维无限深方势阱V（X）中运动，V（X ） = 8，|x | a 0 x |0 , X = 2,4,6.。0 0设H的本征波函数屮,n1证明动量在态屮 中的平均值为零；n2求在态屮 中的动能平均值和势能平均值之间的关系。n三设归一化的状态波函数|屮）满足薛定谔方程 讯 W） = H |屮，定义密度算符（矩阵） 为 P = | 屮; V|。1证明任意力学量 F在态2）中的平均值可表示为tr （P F ）;2求出P的本征值;3导出P随时间演化的方程。四质量为卩 的粒子在三维各向同性谐振子势V C）二中运动。求1第二激发态的能量；2第一激发态的简并度;3.在基态中的不确定量ArAp，这里Ar是位置矢量的均方差根似。飞加 + A + ZA Ap则为三维动量的均方差根，定义类五两个自旋都是1/2的粒子1和2组成的系统，处于由波函数描写的状态，其中|；表示 自旋朝下（沿-z方向），1表示自旋朝上。当数a和b都不为时，此态不能表示成两个单个粒子状态的直接乘积形式| ）I?，称为纠缠态。试求在上面的纠缠态中，1 两个粒子的自旋互相平行的几率；2 两个粒子的自旋互相反平行的几率；3 此系统处于总自旋为的几率；4测量得到粒子1自旋朝上的几率多大;发现粒子1自旋朝上时，粒子2处于什么状态?六考虑到自旋轨道耦合的氢原子，其哈密顿量为1证明轨道角动量L和自旋S不是此系统的守恒量，而总角动量J = L + S是守恒量。2若自旋-轨道相互作用 （厂）乙卫可当作微扰，计算此系统基态能量的一级修正。g处射向势阶1. 1800个电子经1000伏电势差加速后从x =V(x)=V0 x 00 x0其中V0 = 750ev。试问在x = g处能观察到多少个电子? 如果势阶翻转一下，即电子射向势阶V(x ) = 0 x 0开始时(t=0)，系统处于状态(x )= A Si!2a兀xc o_s2a其中A为常数。请求出t时刻系统：a处于基态的几率；b.能量平均值；c.动量平均值; d动量均方差跟(不确定度)。4 两个具有相同质量m和频率w的谐振子，哈密顿量为H =-L (p 2 + p 2)+ - mw 202m i 22(土 a为两谐振子的平衡位置)，受到微扰作用H =九mw 2 * x2)2,內口 1试求该体系的能级。5 已知氢原子的基态波函数为屮十100z 1exp ( _l,试对坐标及x动量P，求_亍exp xG a 3丿2 I ao)o0由此验证不确定关系。6考虑自旋S与角动量L的耦合，体系的哈密顿量为H =圧 V 2 + V (r)+九 L S 2m九是耦合常数，试证该体系的总、角动量J = L + S守恒。1 一个质量为卩的粒子被限制在一维区域-a x a运动，t=0时处于基态。今势阱突然向两边对称的扩展一倍，即可以在-2a x 0)时粒子处于新系统中基态的几率；t二to时。粒子能量的平均值。2 维谐振子的哈密顿量为H = p22p +02 x2 2 (-在坐标表象中，它的能量本征态波函数为屮(x)= N H (ax)e-处22，这里n和是归nn nn一化系数，Hn为厄米多项式，。试在动量表象中求出它的能量本征值和 相应的波函数。3电子处于自旋S在方向n = (sin cos ，sin 0 sin Q，cos 0)上的投影S n的本征态,本征值为衬2。.一(a) 求出相应的本征波函数；(b) 若在上面的态中，自旋的x分量和y分量有相等的均方差，求出方向角0,。4自旋1/2的粒子处于磁场B中，该粒子绕磁场进动的角频率记为 = -YB。设t=0时刻粒子处于自旋朝下状态肌(0) = I-,求t时刻粒子仍处于该状态的几率。5 在谐振子的哈密顿量H = p 2 + 叱 x 2上加上x 3的微扰项H =X x 3,求能量的二级0 2m21修正。6.有一量子力学体系，哈密顿量h的本征值与本征矢分别为作与|心，即hh主n设F为任一算符F = F(x，p)，试证(k|F+,h,F”|k= Y(E -E )(n|F|k)|2 + |(k2007年硕士学位研究生入学考试试题考试科目：量子力学(满分150分)1 静止电子经1000伏电势差加速后从x = -处射向势阶V (x)=0 x 0其中V0 = 750刘。今有1800个电子入射，请问在x = g处能观察到多少个电子?2个质量为卩的粒子受力F(r) = -VV(r)作用，其波函数满足动量空间的薛定谔方程吩你p泌p,亠佚知(p,t)d 2d 2d 2其中a是某一实常数，且V2+药+$，试求力F(r)。pdp 2dp 2 dp 2xyz3设|屮J是厄米的电荷算符Q的本征态，本征值为q,即Q|屮q) = q|屮爲，有一个电荷共 轭算符C作用到|屮上使之成为Q的本征值为-q的本征态：C屮)，证明算符C与算符Q反对易，即CQ + QC = 0。4一系统由两个可区分的自旋1/2的粒子组成，实验测得粒子1的自旋投影总是朝上，粒 子2的自旋投影总是朝下。问测量系统总自旋平方S2，及投影S的可能值和相应几率。 z5 电荷q、质量卩的点粒子在沿z方向的均匀恒定磁场B中运动时的哈密顿量为H =(p + qBy/c)2 + p2 + p2 /2卩(不对称规范)L xy z证明力学量r = cp /qB + x是个守恒量。y6 核子(自旋为1/2)处于三维各向同性谐振子势中， V(r)=2r2 / 2 , 能级为E = (N + 3/2)厉,N = 2n +1, N = 0,1,2.; n = 0,1,2. nilrr如果此系统受到自旋-轨道耦合-cL S(C0)的微扰，问N = 2能级将如何分裂？画出能级分裂图，给出各能级的简并度。