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第七章 不等式、推理与证明,7.1不等关系与一元二次不等式,知识梳理,双击自测,1.两个实数比较大小的方法,知识梳理,双击自测,2.不等式的性质 (1)对称性:abbb,bcac. (3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d. (4)可乘性:ab,c0acbc;ab0,cd0acbd. (5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).,知识梳理,双击自测,3.三个“二次”间的关系,知识梳理,双击自测,1.若ab0,cd0,则一定有(),答案,解析,知识梳理,双击自测,A.x|-1x1 B.x|0x3 C.x|0x1 D.x|-1x3,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.若-11,则下面各式恒成立的是() A.-2-0 B.-2-1 C.-1-0 D.-1-1,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)设ab0,cR,则下列不等式成立的有.(填写序号),答案,解析,知识梳理,双击自测,5.若存在x-2,3,使不等式2x-x2a成立,则实数a的取值范围是() A.(-,1B.(-,-8 C.1,+)D.-8,+),答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在应用不等式性质时,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;“可乘性”中的c的符号等都需注意. 2.当判断两个式子大小时,对错误的关系式举反例即可,对正确的关系式,则需推理论证. 3.解不等式ax2+bx+c0(0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.,考点一,考点二,考点三,不等式的性质及应用(考点难度),A.pqB.pq C.pqD.pq,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江杭州地区重点中学联考)已知a,bR,且ab,则下列不等式恒成立的是(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.比较大小常用的方法有:作差法、作商法、特值法. 作差法的一般步骤是:作差;变形;定号;下结论. 变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式. 2.判断不等式是否成立,需要给出推理判断或反例说明.推理判断时要注意三点:(1)当不等式两边同乘一个数时,要考察所乘的数的符号;(2)对不等式两边同时平方后不等号的方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若ab1,0c1,则() A.acbc B.abcbac C.alogbcblogac D.logaclogbc,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)已知三个正实数a,b,c满足ba+c2b,ab+c2a,则 的取值范围为(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,一元二次不等式的解法(考点难度) 【例2】 (1)已知函数f(x)= 则不等式f(x)-1的解集是.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+20(aR).,解:原不等式可化为(ax-1)(x-2)0.,考点一,考点二,考点三,当a=0时,原不等式为-(x-2)2,即原不等式的解集是x|x2.,考点一,考点二,考点三,方法总结1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.,考点一,考点二,考点三,对点训练已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(aZ),且函数f(x)在区间(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)1的解集为.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,一元二次不等式恒成立问题(考点难度) 考情分析对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.,考点一,考点二,考点三,类型一形如f(x)0(xR)恒成立问题 【例3】 若不等式mx2+2mx-42x2+4x对任意x均成立,则实数m的取值范围是() A.(-2,2B.(-2,2) C.(-,-2)2,+)D.(-,2,答案,解析,考点一,考点二,考点三,类型二形如f(x)0(xa,b)恒成立问题 【例4】 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.,解:要使f(x)-m+5在x1,3上恒成立,当m=0时,-60恒成立; 当m0时,g(x)在区间1,3上是减函数,考点一,考点二,考点三,所以g(x)max=g(1)m-60,所以m6,所以m0.,考点一,考点二,考点三,方法总结1.含参数的一元二次不等式在R上恒成立问题可以转化成方程判别式和函数开口的条件. 2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理.,考点一,考点二,考点三,对点训练关于x的不等式x2-ax+a0(aR)在R上恒成立的充分不必要条件是() A.a4B.0a2 C.0a4D.0a8,答案,解析,易错警示恒成立问题中的主元变化 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,【典例】 已知a-1,1时不等式x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,则x的取值范围为() A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+) C.(-,1)(3,+)D.(1,3) 答案:C 解析:把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)0对于任意的a-1,1恒成立,可知f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20,答题指导一元二次不等式对于参数ma,b恒成立确定x的范围问题,要注意变换主元是m,x是要求的参数.,对点训练在R上定义运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-y)*(x+y)1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.,答案,解析,高分策略1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法的主要步骤为作差变形判断正负. 3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情况. 4.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.,
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