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内容：本讲针对一元微积分学补充极限、导数、 积分相关运算；介绍Funtool符号计算器 目的：学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实 现，为学习微分方程数值解作准备 要求：能够解决高等数学中的极限/导数/积分求解 问题；了解并会使用Funtool符号计算器 掌握极限(左、右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导、高阶导、偏导) 函数 diff 掌握积分(不定积分、定积分、数值积分) 函数 int trapz quad quadl quad8,第三讲 极限、导数、积分(补充),求极限、求导数与求积分.,极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又是工程计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我们也只能采用数值方法. 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!,基本调用格式： limit(f) 功能:计算 limit(f,x,a) 功能:计算 limit(f,x,inf) 功能:计算 limit(f,x,a,right) 功能:计算 limit(f,x,a,left) 功能:计算,求极限运算的调用格式,注意： 默认x趋于0； 在左，右极限不相等，或有一个不存在时，默认为求右极限；,求极限运算的应用示例,应用示例（熟悉应用类型）： 例1 求极限 syms x; y=(1+tan(x)/(1+sin(x)(1/x3); limit(y) 例2 求极限 syms n; y=(1+1/n)n; limit(y,n,inf) 例3 求极限 syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x); limit(y,x,3,left),求导数运算的调用格式,1 一元函数求导 基本调用格式： diff(f) 功能-求函数f的一阶导数 diff(f,n) 功能-求函数f的n阶导数 应用示例： 例4 求 的一阶、二阶导数 syms a b x; y=(a*x+tan(3*x)(1/2)+sin(x)*cos(b*x); d1y=diff(y), disp(*), pretty(d1y), disp(*) d2y=diff(y,2), disp(*) , pretty(d2y),求导数运算的调用格式,2 多项式拟合求导（表达式未知或不易求导） 方法说明： 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用多项式函数求导命令polyder求导或diff求导 应用示例： 例5 用5阶多项式拟合函数 并求x=2处的二阶导函数值 x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.2+exp(x.2); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,b,x,y2,r); legend(y,y2,2); %产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值 y2=poly2sym(p,x), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导，并代值,求导数运算的调用格式,3 参数方程求导 方法说明： 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 应用示例： 例6 求参数方程 syms t; x=t*(1-sin(t); y=t*cos(t); ezplot(x,y); grid on; dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx) %下面在t=4.1处作出参数方程的切线（导数） hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,ro); k=eval(dydx); line(x,x+1,y,y+k,color,r),求导数运算的调用格式,4 多元函数求导 方法说明： 对指定变量求导，求偏导数 应用示例： 例7 求 对z 的偏导数 syms a b x y z; u=a*exp(b*x+y+z2);pretty(diff(u,z) 例8 对 syms x y; z=x3*y2+sin(x*y);diff(z,x,3),求导数运算的应用示例,例9 以 为例验证罗必塔法则： syms a b x f=ax-bx; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1=l2 disp(罗必塔法则得到验证！) end,求不定积分运算的调用格式,1 不定积分 方法说明： int(f)对默认变量积分；int(f,v)对指定变量积分 应用示例： 例10 计算 syms x; y=1/(sin(x)2*cos(x)2); pretty(int(y) 例11 计算 syms a x; y=1/(a2-x2); pretty(int(y,x) 例12 计算二重不定积分 syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y),求定积分运算的调用格式,2 定积分-解析解法 方法说明： int(f,x,a,b) 依据微积分基本公式计算 应用示例： 例13 计算 syms a x;f=sqrt(x2+a);pretty(int(f,x,-2,2) 例14 对变上限函数 求导 syms t x;f= sqrt(1-t2);pretty(diff(int(f,t,0,x2),求定积分运算的调用格式,3 定积分-数值解法 方法说明： 当定积分-符号解法失效时，必须用定积分-数值解法来近似计算定积分的值。矩形公式sum，复合梯形公式trapz，复合辛普森公式quad/quad8的区别在于替代等距曲边梯形的方式不同：,求定积分运算的应用示例,应用示例： sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使用两次则先按列求和再按行求和(行列总和) 例15 矩形法计算 在x=0与x=10之间所围面积 dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.2+115; sum(y(1:length(x)-1)*dx ( 的近似值),求定积分运算的调用格式,trapz(x,y) 用复合梯形公式计算定积分，x为积分变量分点向量，y为被积函数分点函数值向量 quad(fun,a,b,tol,trace) 用复合辛普森公式计算定积分，fun为被积函数表达式字符串或m函数文件名，a，b是积分下上限，tol表示精度(缺省0.001)，trace=1图示积分过程(默认=0不显示) %quadl采用Lobatto算法，精度和速度要优于quad %quad8采用8阶NewtonCotes算法，精度优于quad,求定积分运算的应用示例,例16 用两种方法求定积分 x=2:.1:5;y=log(x)./(x.2); tt=trapz(x,y) %复合梯形公式 fun=inline( log(x)./(x.2) ,x); ss=quad(fun,2,5) %复合辛普森公式,Funtool符号计算器-界面,Funtool符号计算器-功能,图形化符号函数计算器的使用： f= 为图形窗口1的控制函数，其缺省值为x； g= 为图形窗口2的控制函数，其缺省值为1； x= 为两窗口函数的自变量取值范围，缺省-2*pi,2*pi a= 为常数，缺省值为1/2。 df/dx 计算函数f对x的导法式，并赋给f。 int f 计算函数f的积分函数，并赋给f。 simple f 计算函数f的最简表达式，并赋给f。(syms x) simplify(cos(x)2+sin(x)2); simplify(x2+5*x+6)/(x+2); expand(cos(x+y); expand(x-2)*(x-4); syms x y; factor(x3-y3); factor(x3+3*x2+3*x+1); num f 取表达式f的分子，并赋给f。 den f 取表达式f的分母，并赋给f。 1/f 求f的倒数函数，并赋给f。 finv 求f的反函数，并赋给f。,Funtool符号计算器-功能,fa 计算f(x) a，并赋给f。 f*a 计算f(x)*a，并赋给f。 f/a 计算f(x)/a，并赋给f。 fa 计算fa，并赋给f。 f(x+a) 计算f(x+a)，并赋给f。 f(x*a) 计算f(ax) ，并赋给f。 f+a 计算f(x)+a，并赋给f。 fg 计算两函数之和/差，并赋给f。 f*g 计算两函数之积，并赋给f。 f/g 计算两函数之比，并赋给f。 f(g) 计算复合函数f(g(x) 。 g=f 将f的函数值赋给g。 swap 交换f与g的函数表达式。,Thats all3Q!,
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