求函数值域的几种方法.ppt

求函数值域的几种方法,制作人 张志良,求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型，下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. 1. 利用配方法求函数的值域 对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a (x)2 + b，并且 (x) = 0 有实根，则当 a 0 时，f (x) 的值域是 b，+）；当 a 0 时，它的值域是（- ，b .,例 1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x R) 的值域 .,解：y = 2( x 1 )2 + 3，,由于 2( x 1 )2 0 ，, y 3 ., 函数的值域为 3，+ ）.,注：对于二次函数，都可以用这种配方的方法 求函数的值域 .,2. 利用换元法求函数的值域, y 1 ., 函数的值域为（- ，1 .,这时若得 y 1，则是错误的 .,事实上，因为 t 0，所以 (t + 1)2 1 .,3. 利用 (x) 的值域求 f (x) 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .,解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 1 -1 .,解得 y -1 或 y 0 ., 函数的值域为 y | y -1 或 y 0 .,4. 利用反函数的定义域求函数的值域 若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是原函数的值域 .,注：对于分式函数，如果它的分子和分母都 是 x 的一次式，一般用这种方法求值域比较方便 .,5. 利用函数单调性求值域 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的，且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限）为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小值（或上、下确界，a，b也可能是 ）.,解：显然此函数的定义域为 1，+）.,当 x 1 时，函数单调递增 .,解：因为 x (2-x) = 2x - x2 = -( x -1 )2 + 1 1 ,考察 y = f (u) 在 (0，1 上的增减性 ., f (u) 在（0，1 上是减函数 .,因为当 u = 1 时，y = 2，,当 u 0+ 时，y + .,6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数的值域,因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二次方程一定有实根 .,注 ： 若一个函数是分式函数，且其分子分母都是不超过二次的多项式函数，且其中至少有一个是二次多项式，则这样的函数就可以用上述方法求值域 . 另外，等我们学习了不等式一章之后，还可以用基本不等式求函数的值域 .,