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通通解解分分为为三三种种情情况况根根据据特特征征根根的的情情况况的的特特征征根根求求出出的的特特征征方方程程写写出出,.3,)2(.2)2(0:)1(.1212rrqprr :)1(0的的解解的的步步骤骤如如下下求求 qypyy)sincos()()212,121212121121xcxceyiriiiexccyrriiececyrrixxrxrxr 同同次次的的多多项项式式与与系系数数待待定定)()(xPxQmm 1)(特特解解形形式式）（若若：xmexPqypyy 是待征重根是待征重根是特征单根是特征单根不是特征根不是特征根 210kxmkexQxy)(*特特解解形形式式若若 sin)(cos)(xxPxxPeqypyynlx 是是特特征征根根不不是是特特征征根根 iik10sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk ,max nlm 解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为,t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd)(1111)1(22222222dtdydtydxxdtydxdtdyxdtdyxdxddxyd 用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果可以写为上述结果可以写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，)0(2ln2222 xxxxyxyyx的通解的通解求求xtextln 令令(*)2)12(22)12(222)12(22)1(222 tttetydtdydtydetyDDDetyDyyDD即即1,202212 rrrrttececy221 ,22122*1的的一一个个特特解解是是自自然然 ydtdydtydy例例1解解tetbbty)(,110*2 令令是是特特征征单单根根又又 定定出出代代入入方方程程tetydtdydtyd)12(222 tettybb)9131(31,912*210 的的解解是是故故(*)9131(1*2*1*tettyyy tttettececy)9131(1:(*)221 的的通通解解为为还还原原得得原原方方程程的的解解xxxxcxcyln91)(ln3112221 例例2 求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为,0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程,03223 rrr特征方程的根为特征方程的根为.3,1,0321 rrr所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为.33213321xCxCCeCeCCYtt 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即小结小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换欧拉方程的形式欧拉方程的形式xtextln 或或注
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