1不定积分定义

2021/5/231第四章第四章 积分及其应用积分及其应用4.14.1不定积分概念与性质不定积分概念与性质【学习本节要达到的目标】1、理解不定积分和原函数的概念2、理解不定积分与微分的关系2、掌握不定积分的性质本章主要内容 一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。2021/5/232 要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.2021/5/233 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：我们熟悉乘方运算：)1(823也熟悉导数运算：)1(22xx于是提出新问题：)2(8?3)2(2?x同样提出问题：这不是乘方运算，而是它的逆运算开方运算。这不是求导运算，而是它的逆运算积分运算。一般来说，在下式里)3(3ba)3()()(xfxF同样，在下式里,3,3ababbababaab若已知，未知，由则称（）式为乘方运算，称 为 的立方。若已知，未知，由则称（）式为开方运算，称 为 的立方根。()()()(),3()()()()()(),3()()F xf xF xf xf xF xf xF xf xF xF xf x若已知，未知，由则称（）式为求导运算，称为的导数。若已知，未知，由则称（）式为积分运算，称为的原函数。2021/5/234 通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分定定义义(),If xxI 对对于于定定义义在在区区间间 上上的的函函数数若若对对)()(xfxF 有有()()F xf xI则则称称是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数1例例 xxcossin sin cos (,)xx 是是的的一一个个原原函函数数 xx1ln 1ln (0,)xx是是的的一一个个原原函函数数2021/5/235这样就给我们提出了问题：原函数存在的条件？原函数有多少个？这些原函数之间有何关系？如何求出这些原函数？例如例如 而而在在 上上 是是 的原函数的原函数(,)sin xcosxsin1,sin3xx 也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数.sinxcosxsin1,sin2xx 2021/5/236原原函函数数存存在在定定理理2例2)(xxfCR,31)(3xxF)()(xfxF (1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个),()(xfxF若)()(xfCxF则的原函数，是即若)()(xfxF.)(亦是则CxF 若函数(x)在区间I上连续,则(x)在区间I上的原函数一定存在.2021/5/237 (2)若函数 f(x)在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.)()(),()(xfxGxfxF设)()(xFxG)()(xFxG0,)()(CxFxGCxFxG)()(即:结结论论),()(xfxF若原函数都可用的则 )(xf.)(表示CxF2021/5/238()(),f x dxf x 表表示示函函数数的的原原:函函数数的的全全体体定定义义则则称称()f x dx 的的不不定定积积分分为为)(xf即号号分分积积数数函函积积被被被积表达式被积表达式项项数数常常 dxxf)(积分变量积分变量CxF )(2021/5/2393例例dxx 5求求解解,)6(56xx 665xdxx 4例例dxx 211求求解解 211arctanxx xdxxarctan112C C 2021/5/23105例dxx1求解解,0 )ln(,0 lnlnxxxxx当当1dln (0).xxCxx所所以以)0(lnd1 xCxxx.1)(ln0 xxx 时，有当时，当0 xx )ln(有x1x)()1(1x,1x)0()ln(d1 xCxxx2021/5/2311(1)()d()d()d()df xx f xf xxf xx或或，(2)()d()d()()F xxF xCF xF xC或或，微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系先积后微先积后微形式不变形式不变先微后积先微后积差一常数差一常数2021/5/23126例.tanseclnsec成立验证等式Cxxxdx解解.是左端的被积函数即可的导数只要验证等式右端函数依据不定积分的定义，时，由于）当（0tansecxx)tanln(secxx)tanln(sec1xx)sectan(sec2xxx,secx.所以，已给等式成立.0tansec给等式成立时，类似地可以验证已）当（xx.立综上所述，已给等式成2021/5/23137例),2,1(已知某曲线过点处切线点其上),(yx的两倍，的斜率为x求其方程)(xfy 设曲线方程则由题意知xxf2)()(xfdxx22xxy0C解解),2,1(曲线过点又,12C1C即.12 xy故所求曲线为2021/5/2314 函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族积分曲线族.在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在为积分曲线在(x,f(x)处的切线斜率处的切线斜率.不定积分的几何意义不定积分的几何意义2021/5/231521d2所所以以 yx xxC(2,3)1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，练习设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知()yf x ，yx因此所求曲线的方程为21.2xy2021/5/2316 二、基本积分公式二、基本积分公式(6)sin dcosxxxC(1)d kxkxCd(3)ln|.xxCx(5)d.eexxxC1(2)d (1).1xxxC (4)d.lnxxxCaaa2021/5/231722d(8)csc d cot.sinxxxxCx(10)sec tan dsec.xxxxC(7)cos dsin.xxxC22d(9)sec dtan.cosxxxxCx(11)csc cot dcsc.xxxxC 21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCx2021/5/2318Cxdxx11dxxx 2 求求8例解解9例解解dxxx 31 求求dxxx 2dxx 25125125 x.7227Cx dxxx 31dxx 27127127 x.5225Cx C C 2021/5/2319dxedxxxxx22,113）（）求（解10例dxxx31)1(dxx34Cx1343411Cx313dxexx2)2(Cexx 2ln2 dxex)2()2ln()2(eex C 练习：练习：dxexx2 求 dxaxCaax ln2021/5/2320 三、不定积分的运算性质三、不定积分的运算性质性质性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面.性质性质1可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即性质性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即和，即 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf dxxkf)()2(.)(dxxfk)0(k常常数数dxxfxfxfn)()()(21.)()()(21dxxfdxxfdxxfn注意：不定积分没有积和商的运算法则。2021/5/2321xxgxxf xxgxxf)d()d()d()d(，)()(=xgxf证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关系，有这说明 是函数 的不定积分，所以欲证的等式成立.xxgxxf)d()d()()(xgxf性质性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即和，即 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf2021/5/2322例例11 求求32543)d.(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 2021/5/2323)1(21例 dxxx)3(32求求解解 dxxx)3(32 dxxx)3(25661x 3x 解解.)1213(22dxxx 求求dxxx)1213(22 xarctan3 xarcsin2 C C 练习dxxx 23)1(dxxxxx 223133)2(2021/5/2324.arctan33Cxxxxxxd 11)1(22xxxxxxxd11)1)(1(d1222224解解xxxxd11 d)1(22.d1224xxx例例13 13 求求2021/5/2325.)1(21 222dxxxx 求求dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 2211114例解解xxarctan1 C 2021/5/2326dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.)1(1 22dxxxxx 求求练习解解arctanln|xCx 2021/5/232715例解解 xdx2cot 求求 xdx2cot dxx)1(csc2xcot x C 16例解解 dxx2sin 2求求 dxx2sin2 dxx)cos1(21x(21)sin x C 练习：练习：xdx2tan 求练习：练习：dxx2cos22021/5/2328小小 结结原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形)()(xfxF的一个原函数是)()(xfxFCxFxf)()(为的所有原函数可以表示()f x dx C CF(x)F(x)直接积分法直接积分法:用用基本积分公式基本积分公式及及积分性质积分性质求积分的方法求积分的方法直接积分法直接积分法2021/5/2329作作 业业P92.A组 2（1）；3（1）（3）（5）（7）（9）B组 1 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！