质量成本管理

第十六章 试验设计在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。如何做试验，其中大有学问。试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。 本章要求（1）掌握试验设计的基本概念；（2）掌握正交表的形式与特征；（3）掌握正交设计的试验步骤；（4）熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；（5）熟悉正交设计的统计模型与方差分析；（6）了解正交设计的最佳条件选择。 本章重点（1）试验设计的术语概念（2）正交表的特点（3）正交设计的试验步骤 本章难点（1）正交表数据之间的关系（2）正交设计的分析方法1试验设计的基本概念本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇 (R. A. Fisher) 在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后，F. Yates, R. C. Bose, O. Kempthome, W. G. Cochran, D. R. Cox和G. E. P. Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用做出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响。（1）因子与水平为了方便起见，将试验中要加以考察而改变状态的因素称为因子，常用A,B,C等大些英文字母表示。因子在试验中所取得状态称为水平，如果一个因子在试验中取k个不同状态，就称该因子有k个不同水平。因子A的k个水平常用A1, A2,Ak。在一次试验中每个因子总是取一个特定的水平，称各因子水平的一个组合为一个处理或一个试验条件。（2）试验指标 衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）称为指标，它是一个随机变量。为了方便起见，常用x表示。（3）正交表正交试验设计是利用正交表来选择最佳的或满意的试验条件，即通过安排若干个条件进行试验，并利用正交表的特点进行数据分析的一种常用的试验设计的方法。正交表的形式如下，这是一个最简单的正交表。表16-1 L4(23)列号试验号1231234121211221221这里“L” 是正交表的代号，“4“表示表的行数，在试验中表示用这张表安排实验的话，要作4个不同条件的试验，“3“表示表的列数，在试验中表示用这张表安排实验的话，最多可安排3个因子，“2”表示表的主体只有2个不同的数字：1，2，在试验中它代表因子水平的编号，即用这个表安排试验时每个因子应取2个不同的水平。正交表有如下两个特点：每一列中，不同的字码出现的次数相等。如表中，字码“1”和“2”各出现两次；任意两列中，将同一行的两个字码看成有序数字对时，则必然构成完全有序数字对：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），其中每种数字对均出现一次。常用的正交表有两大类。若记一般的正交表为Ln(qp), 则：正交表的行数n， 列数p,水平数q间有如下关系：n=qk, k=2,3,4,p=(n-1)/(q-1) 如二水平正交表L4(23),L8(27),L16(215),L32(231)等，三水平正交表L9(34),L27(313)等，这一类正交表不仅可以考察各因子对试验指标的影响，还可以考察因子之间的交互作用影响。另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系，往往只能考察各因子的影响，不能用这些正交表来考察因子间的交互作用。如二水平正交表L12(211), L20(219)等，三水平正交表L18(37),L36(313)等，混合水平正交表L18(237),L36(23313)等。2无交互作用的正交设计一、案例说明下面通过一个例子来叙述利用正交表安排试验与进行数据分析的步骤。例 16.1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组建的部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。 某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。二、试验的步骤（1）确试验目的。试验前，首先要明确试验目的，即通过试验想解决什么问题。是为了改进质量，还是为了提高产量，或是为了保护环境，等等。在本例中试验的目的是提高磁鼓的电机的输出力矩。（2）明确试验指标。试验指标用来判断试验条件的好坏，在本例中直接用输出力矩作为考察指标，该指标越大表明试验条件越好。（3）确定因子与水平。在试验前首先要分析影响指标的因子是什么，每个因子在试验中取那些水平。在本例中，经分析影响输出力矩的可能因子有三个，它们是A：充磁量 B：定位角度 C：锭子线圈匝数表16-2 因子水平表因子 水平一二三A: 充磁量（10-4T）90011001300B: 定位角度（/180）rad） 101112C: 定子线圈匝数（匝）708090（4）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。首先根据在试验中所考察的因子水平数选择具有该水平数的一类正交表，再根据因子的个数具体选定一张表。在本例中所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又由于现在只考察三个因子，所以选用L9(34)即可。选定了正交表后把因子放到正交表的列上去，称为表头设计。在不考虑交互作用的场合下，可以把因子放在任意的列上，一个因子占一列。譬如在本例重将三个因子分别置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：表头设计ABC列号1234有了表头设计便可写出试验计划，只要将置因子的列中的数字换成因子的相应水平即可，不放因子的列就不予考虑。用正交表L9(34)安排试验共有9个不同的试验条件，它们是一起设计好的，而不是等一个试验结束以后再决定下一个试验条件，因此称这样的设计为“整体设计”。这里9个试验点在三维空间中的分布见图，从图中可见：从三个方向的任意方向作三个等距的平行于坐标轴的平面，则每一平面上有3个点，再将每一平面分成等间隔的三行三列，则在每一行上有1个点，每一列上也有1个点。因此9个点在三维空间的分布是均匀分散的。图16-1 9个试验点的分布（5）将实验结果记录在对应的试验条件后面。三、数据分析在例16.1中考虑了三个三水平因子，其所有不同的实验条件共有27个，现在仅做了其中的9个。试验的目的是想找出哪些因子对指标是有明显影响的，各个因子的什么样的水平组合可以使指标达到最大。这可以利用正交表的特点进行数据分析。（1）数据的直观分析 寻找最好的实验条件首先我们来看第一列，该列中的1，2，3，分别表示因子A的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应y1,y2,y3,”2”对应y4,y5,y6 “3”对应y7,y8,y9,。“1”对应的三个试验都采用因子A的一水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为：T1。“2”对应的三个试验都采用因子A的二水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为：T2。“3”对应的三个试验都采用因子A的三个水平进行试验，但因子B的三个水平各参加了一次试验，因子C的三个水平也各参加了一次试验。这三个试验结果的和与平均值分别为T3。由以上可知，T1，T2，T3之间的差异只反映了A的三个水平间的差异，因为这三组试验条件除了因子A的水平有差异外，因子B与C的条件是一致的，所以可以通过比较这三个平均值的大小看出因子A的水平的好坏。从这三个数据可知因子A的二水平最好，因为其指标均值最大。这种比较方法称为“综合比较”。 各因子对指标影响程度大小的分析这可从各个因子的“极差”来看，这里指的一个因子的极差是该因子不同水平对应的试验结果均值的最大值与最小值的差，因为该值大的话，则改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，影响就小。 各因子不同水平对指标的影响图为直观起见，可以将每个因子不同水平下试验结果的均值画成一张图，从教科书的图上就可以明显看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出各个因子对指标影响的大小，RBRARC（2）数据的方差分析在数据的直观分析中是通过级差的大小来评价各个因子对指标影响的大小那么级差要小到什么程度可以认为该因子对指标值已经没有显著的影响了呢？为回答这一问题，需要对数据进行方差分析。 统计模型在对数据进行方差分析时要做出如下假定。若记Ai, Bj, Ck水平下的试验结果为yijk, 则 。其中 与该条件中各因子的水平有关，现假定 ，其中称为一般平均，ai、bj、ck分别为因子A的第i个水平效应、因子B的第j个水平效应、因子C的第k个水平效应，它们分别满足如下的约束条件：而各个ijk被假定是是相互独立同分布的正态随机变量，它们服从N(0,2)。 平方和分解为进行方差分析，就必须从试验结果出发。由于试验条件的不同与试验中存在误差，因此各试验结果不同，我们可以用总偏差平方和ST去描述数据的总波动：其中n是试验次数，是试验结果的总平均，若记 ，则 。造成数据波动的原因可能是因子所取水平的不同，也可能是试验误差，当然也可能两者都有。为此要把由各个原因造成的波动分别用数量来表示。 F比由于Se中只反映误差的波动，而SA中除了误差外还反映因子A的效应不同所引起的波动，因此可以将两者进行比较，如果SA相对于Se大的多，则可认为因子A是显著的，否则就认为因子A不显著。如果记VA=SA/2, Ve=Se/2,则在a1=a2=a3=0时，FA=VA/Ve服从自由度是（2，2）的F分布，因此可以用F分布的分位数来划分比值的大小。记F1-(2,2)为其1-分位数,当FAF1-(2,2)时认为因子A显著，否则认为因子A不显著。 计算通常也用列表的方法计算各列的偏差平方和。通过代数运算可以用下式计算一列的偏差平方和与总偏差平方和： （3）最佳条件的选择与对应条件下指标均值的估计对显著因子应该选择其最好的水平，因为水平变化会造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平，实际中常可以根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选择。3有交互作用的正交设计一、试验的步骤我们还是通过一个例子来叙述。例16.2 为提高某种农药的收率，需要进行试验。试验的步骤基本同上届所属，但在某些步骤上有点差异，现叙述如下：（1）明确试验目的 在本例中试验的目的是提高农药的收率。（2）明确试验指标 在本例中用收率来表示，收率越高表示该条件越好。（3）确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用。经分析，影响农药收率的因子有四个，它们是反应温度A、反应时间B、两种原料配比C与真空度D, 根据经验反应温度与反应时间的交互作用对收率也有较大的影响，因此还需要考察交互作用AB。试验中所考察的因子水平见表16-8。表16-8 因子水平表因子水平一水平二A: 反应温度 （）6080B: 反应时间 （小时）2535C: 两种原料配比 11/112/1D: 真空度（kPa）5060（4）用合适的正交表 进行表头设计，列出试验计划。首先还是根据所考察的因子的水平数选择一类正交表，该表的参数要满足上例中所讲统计模型的条件。在有交互作用的场合，要为交互作用留有为止，以便今后的数据分析。在二水平的场合，一个交互作用可以看成一个二水平因子，由于现在要考察四个二水平的因子即一个交互作用，因此可以看成有五个二水平因子。在进行表头设计时，应先把存在交互作用的两个因子放到表头上去，这时可以放在任意两列上，譬如现在将因子A与B分别放在第一与第二列上，然后从交互作用表上查出这两列的交互作用列为第三列，则在第三列上标以AB, 再将余下的因子分别放在其他的空白列上，譬如把因子C与D放在第四、第五列上，见下表：表头设计ABABCD列号1234567有了表头设计后便可写出试验计划了，他同上节所述，只要将放置因子的列中的1，2改为该因子的真实水平即可。有了试验计划后便可以按试验计划进行试验，并记录试验结果，这如上节所述，不再重复。二、数据分析（1）统计模型当两个因子间无交互作用时，我们有效应可加模型，即在AiBj水平下指标均值ij与一般平均，因子A、B的效应ai、bj间有如下关系：ij=+ai+bj在存在交互作用的情况下，上式不成立，我们记上式两端之差为：（ab）ij=ij-(+ ai+bj)称其为因子A的第i水平与因子B的第j水平的交互效应。如果因子A有p个水平，因子B有q个水平，则这些交互效应应满足如下一些约束条件：(ab)i1+(ab)i2+(ab)iq=0, i=1,2,p(ab)1j+(ab)2j+(ab)pj=0, j=1,2,q （2）方差分析为进行方差分析，仍进行平方和分分解。我们仍用总偏差平方和ST去描述数据的总波动，这时每一例的偏差平方和可以用下式计算： 这里各符号的意义同上节，后一等式仅在二水平正交表中成立。（3）最佳条件的选择对显著因子的最佳水平，可通过比较两个水平下数据均值或数据和得到。对显著的交互作用，先要计算两个因子水平的不同搭配下数据的均值，再通过比较得出哪种水平组合为好。 本章小结：（略） 本章作业：教材P.206“思考题与习题”的第1、2题