格信息发布`消费者偏好差异与价格离中

价格信息发布、消费者偏好差异与价格离中现象研究领域：微观经济学价格信息发布、消费者偏好差异与价格离中现象作者：陈谦勤，华南理工大学，经济与贸易学院联系方式：13924078448EMAIL: martychen摘要互联网市场中信息服务商的收入，来源于向厂商收取的信息发布费用和向消费者收取的信息订阅费用。但是，目前大多数提供价格信息的网站只向厂商收取信息发布费用，而对消费者提供完全免费的服务。什么原因促使信息服务商向消费者采取免费策略呢？本文以消费者偏好差异，内生化的厂商、消费者和信息服务商策略回答这个问题。ABSTRACTRevenue of an Information Gatekeeper comes in two forms: advertising fees from sellers who advertise their prices on the Gatekeepers website, and subscription fees from users who gather price information on the Gatekeepers website. However, it is interesting to observe that most Information Gatekeepers provide their subscribers with totally free information services. In order to find out how this phenomenon comes into being, this paper models the strategic interaction between sellers, consumers and the Gatekeeper in the presence of consumer preference heterogeneity.价格信息发布、消费者偏好差异与价格离中现象商品和服务互联网交易的日益盛行使得信息服务行业迅猛发展。在互联网市场中，信息服务商(Information Gatekeeper)主要提供两方面的服务：向消费者提供产品和价格信息，为厂商发布产品和价格信息。信息服务商向消费者收取信息订阅费用(Subscription Fee)，向厂商收取信息发布费用(Advertising Fee)。但是，目前国内外许多信息服务商都只对厂商收取信息发布费用，而对消费者提供完全免费的信息服务。什么原因使得信息服务商向消费者提供免费服务呢？本文将运用Varian (1980)拓展模型研究这个问题。自Stigler (1961)以来，经济学越来越重视不完全价格信息问题和价格离中现象(Price Dispersion)的研究。特别在1990年后，商品和服务的互联网交易高速发展，在经济学界再一次掀起了研究不完全信息问题和价格离中现象的热潮。价格离中现象是不完全价格信息的直接表现。在一种同质产品市场上，如果存在下列两种情况之一，则称存在价格离中现象：1. 在同一个时点上，不同厂商的定价不尽相同；2. 在不同的时点上，同一个厂商的定价不尽相同。文献常称前者为空间价格离中(Spatial Price Dispersion)，称后者为时间价格离中(Temporal Price Dispersion)。在理论研究中，通常用厂商定价的非退化分布来描述价格离中现象。文献通常采用厂商定价的不对称纯策略均衡(Asymmetric Pure-Strategy Equilibrium)来解释空间价格离中现象，采用厂商定价的对称混合策略均衡(Symmetric Mixed-Strategy Equilibrium)来解释时间价格离中现象。Salop和Stigltz (1977), Braverman (1980)和Jennifer (1979)属于前者，而Varian (1980), Burdett和Budd (1983)以及Rob (1985)属于后者。在实证研究中，描述价格离中程度的指标通常包括价格数据的样本方差、变异系数、最大值最小值比、最大值均值比或最小值均值比。在通常情况下，空间价格离中与价格数据的截面指标相联系，时间价格离中则与价格数据的时间序列指标或面板数据指标相联系。由于不完全信息定价理论着重研究消费者和厂商的短期行为，通常只采用同质产品价格的高频数据来检验价格离中效应。大量的实证研究表明，互联网市场和传统市场的价格离中程度并没有显著差异。互联网虽然是提供和传播信息的有力工具，网络时代的信息却远非想象中的那么充裕。今天，信息仍然是十分宝贵的资源。目前，经济学界更偏重于时间价格离中模型的研究和应用。因为实证研究还表明，价格离中现象具有持续性，即价格离中不会随时间的推移而最终消失。这使得时间价格离中模型相对于空间价格离中模型具有更强的生命力。因为如果消费者具有学习能力，厂商定价的不对称纯策略不可能是最优的长期策略。基于下列原因，Varian (1980)一直是被引用和研究得最多的价格离中模型：Varian (1980)最早提出和建立随机定价(Randomized Pricing)理论厂商和消费者都有动机隐瞒各自未来的行动方案，市场价格表现为非退化分布，这使得价格离中现象的长期存在成为可能；相对于Burdett和Budd (1983)以及Rob (1985)等人的消费者搜寻(Consumer Search)模型，Varian (1980)引入价格信息成本(Information Cost)，让消费者只支付一次信息费用就可以获得最优惠的价格，这使得Varian (1980)在互联网市场的背景下具有更广阔的应用前景。Varian (1980)研究有限个厂商和消费者的同质产品市场。如果市场价格服从非退化分布，各个厂商的定价就可以看成是来源于这个分布的观察值。消费者被外生地划分成知情消费者(Informed Customer)和不知情消费者(Uninformed Customer)两种类型。知情消费者能够以全部厂商的最低价格进行交易，由于每一个厂商的价格服从非退化分布，市场最低价格的分布也非退化。不知情消费者只能够随机地选取一个厂商进行交易。这样，每个厂商都可以获得各自份额的不知情消费者，成功地报出最低价格的厂商还额外地获得全部知情消费者。在厂商定价的混合策略均衡条件下，由于全部厂商的价格都具有随机性，每个厂商都无法准确估计自己的销售量。最后，Varian (1980)在模型中引入消费者价格信息成本，给出了内生化消费者价格信息行为的思路。沿用Varian (1980)的设定，John Morgan等人在2000年代初对厂商和消费者互联网交易行为做了大量的研究。其中，Michael Baye和John Morgan (2001)在Varian (1980)中引入信息服务商，内生化了消费者的价格信息行为。Michael Baye和John Morgan (2001)假设消费者构成一个连续统；规定只有一部分消费者具有互联网购物条件；每个具有互联网购物条件的消费者采取订阅和不订阅价格信息的对称混合策略以相同的概率向信息服务商订阅价格信息，每个厂商采取发布和不发布价格信息的对称混合策略以相同的概率通过信息服务商发布自己的价格信息。Michael Baye和John Morgan (2001)证明了，如果消费者订阅价格信息的概率足够小，则信息服务商将对消费者收取很低的信息订阅费用。Michael Baye和John Morgan (2001)存在如下局限。信息服务商对消费者收取很低的信息订阅费用，和信息服务商向消费者提供完全免费的信息服务具有实质性的区别。考虑到现在互联网市场巨大的交易量，低收费策略和免费策略会导致完全不同的市场结构。目前，国内外各大综合性网站和专门提供产品价格信息的网站都向消费者提供完全免费的信息服务。Michael Baye和John Morgan (2001)并不能圆满地解释信息服务商免费策略的成因。消费者以相同的概率向信息服务商订阅价格信息，这种处理手法类似于著名的猜硬币游戏(Penny Matching Game)。但是，猜硬币游戏以重复博弈作为背景，而产品市场却往往不具备这样的条件。特别是著作（包括电影、音乐、软件和游戏）和通讯工具等产品，消费者一旦进行了交易，将永远退出市场。在现实中，消费者会以抛硬币的方式来进行决策吗？本文在Michael Baye和John Morgan (2001)的基础上，引入消费者偏好差异，用偏好差异来内生化消费者订阅和不订阅价格信息的策略。本文研究有限个消费者的同质产品市场，在消费者的间接效用函数中引入一个显示偏好差异的参数，假设这个参数独立同分布。本文证明了，对产品较为偏好的消费者将订阅价格信息，对产品较不偏好的消费者将不订阅价格信息；如果订阅价格信息的消费者比例足够小，信息服务商的利润是信息订阅费用的严格减函数。于是，本文解释了现实中为什么信息服务商会向消费者提供完全免费的信息服务。在理论上，本文充分显示了不完全价格信息在互联网交易中的外部性。不完全价格信息条件下的消费者和厂商决策对信息服务商利润的影响相互交错，当各种影响的方向一致的时候，就出现信息服务商向消费者提供免费服务那样极端的现象。在研究方法上，由于Michael Baye和John Morgan (2001)假设消费者构成一个连续统，只能够得到消费者和信息服务商行为的近似结论。本文假设消费者的数目有限，可以利用二项分布精确地分析厂商和消费者的匹配(Matching)问题，从而得到关于信息服务商定价策略的更明确的结论。此外，本文中消费者采取的是信息订阅的对称纯策略，而不是Michael Baye和John Morgan (2001)所假设的对称混合策略。本文将在第一小节介绍模型假设和均衡的定义，在第二小节分析厂商的定价策略和信息发布策略，在第三小节分析消费者的信息订阅策略，在第四小节分析信息服务商的定价策略，最后，在第五小节给出结论。一、基本模型考虑一种同质产品，有个厂商、个消费者和一个信息服务商，厂商、消费者和信息服务商都风险中性，厂商和消费者集合分别为和。整个市场由n个地方市场和一个跨地域的互联网市场组成。每个厂商都有一个地方市场，全部个消费者均匀地分布在n个地方市场上。地方市场被n个厂商完全分割。在每个地方市场上，每个消费者只能够向本地厂商购买产品，每个厂商也只能够向本地消费者出售产品。每个厂商都可以通过信息服务商进入互联网市场。但是，由于受计算机技能、搜索策略和网络条件的限制，并非全部消费者都可以进入互联网市场。假设只有比例为的消费者能够进入互联网市场，q是外生给定的数值。不能够进入互联网市场的消费者只能够向本地厂商购买产品。假设互联网交易不受厂商或者消费者的地域限制，既不增加厂商的送货成本，也不增加消费者的运输成本。假设定价博弈有如下行动顺序：信息服务商首先决定向厂商收取信息发布费用，向消费者收取信息订阅费用；在观察到信息服务商的行动之后，厂商和消费者同时决策，厂商决定如何定价和发布价格信息，能够进入互联网市场的消费者决定是否订阅价格信息。如果厂商向信息服务商支付信息发布费用，就可以向互联网市场上的消费者发布价格信息，还可以利用信息服务商提供的连接与消费者进行交易。如果发布价格信息，厂商不能够对地方市场上的消费者实施价格歧视，即厂商在地方市场和互联网市场上的价格完全相同。能够进入互联网市场的消费者如果向信息服务商支付信息订阅费用，就知道有多少个厂商发布价格信息，知道这些厂商的定价，还可以通过信息服务商提供的连接和这些厂商进行交易。如果发布价格信息的厂商数目是零，信息服务商不返还消费者已经支付的信息订阅费用，但消费者还可以向本地厂商购买产品；如果至少有一个厂商发布价格信息，假设消费者总是选择报价最低的厂商进行交易。每个消费者都有相同的现金收入，显示消费者偏好的参数t服从支撑为的连续分布，其中，。本文称参数t为消费者的类型。设是消费者购买产品的价格，消费者的间接效用为 （1）其中，是消费者订阅价格信息之后的现金余额。如果消费者支付信息订阅费用，则；如果消费者无法进入互联网市场，或者进入互联网市场但不订阅价格信息，则。函数连续可微，满足，存在唯一的使得 （2）其中，是对每个厂商都相同的边际成本。假设每个厂商以概率发布价格信息，互联网市场价格p服从支撑为的连续分布。信息服务商的利润函数为 （3）其中，为信息服务商的固定成本。在大多数情形下，信息服务商一旦形成了服务能力，它的短期成本就主要表现为设备的维护和运行费用，工作负荷的正常变化对短期成本的影响可以忽略。均衡的定义：给定消费者类型分布，厂商的信息发布费用，消费者的信息订阅费用。设，是以为支撑的分布。如果，和满足下列条件，则称为上述厂商定价博弈的均衡：1. 给定每个厂商以概率发布价格信息，信息发布价格服从分布。对于进入互联网市场的消费者，如果消费者类型为，则支付信息订阅费用；如果消费者类型为，则不支付信息订阅费用。2. 给定消费者订阅价格信息的概率为。每个厂商以概率发布价格信息，信息发布价格服从分布。如果分布非退化，则称是厂商定价的对称混合策略，称a是厂商发布价格信息的对称混合策略，称是消费者订阅价格信息的对称纯策略，称s是信息服务商的信息订阅定价策略，称是信息服务商的信息发布定价策略。虽然消费者采取订阅价格信息的纯策略，纯策略没有随机性。但是，由于厂商无法事先判断任何一个消费者的行动方案，本文仍然称为消费者订阅价格信息的概率。虽然消费者可能采取订阅和不订阅价格信息两种不同的行动方案，但是由于决策规则都由均衡定义的条件1来规定，本文仍然称消费者价格信息订阅策略是对称策略。二、厂商的定价和信息发布策略为了分析厂商的定价和信息发布行为，必须先确定消费者的个人需求函数。在拟线性消费者间接效用函数的假设下，引理1证明了消费者的个人需求不存在收入效应。这使得在确定消费者个人需求函数的时候无须考虑消费者是否支付了信息订阅费用。给定交易价格p，引理1还说明了参数t越大，消费者购买的产品越多，于是模型假设中称t为显示消费者偏好的类型参数。引理1的证明是Roy恒等式的一个简单应用。引理1：给定消费者类型和交易价格。消费者购买产品的数量与消费者是否订阅价格信息无关；如果消费者订阅价格信息，消费者购买产品的数量与他所支付的信息订阅费用无关。在所有情形下，消费者购买产品的数量为。证明：根据（1）和Roy恒等式，各种情形下消费者对产品的需求为 （4）可以看出，在各种情形下消费者需求和信息订阅决策后的货币余额无关。证毕。引理2 (Varian, 1980)：在随机定价模型中，如果厂商采取以为支撑的非退化对称混合均衡策略，则在上连续；不存在任何非退化区间，使得对每个。引理2说明了，如果分布非退化，则在上连续。如果在上连续，则任意两个或多于两个厂商报价相同的概率为零。这大大降低了构造厂商期望利润函数的难度，因为可以忽略任意两个或多于两个厂商报价相同的情形。引理2还说明了，如果分布非退化，则分布密度在支撑上不存在“空洞”。引理2来源于Varian (1980)，本文不再给出证明。给定和。假设消费者订阅价格信息的概率为b；厂商的定价为；除厂商而外，其他个厂商的定价服从以为支撑的非退化分布。如果发布价格信息，则厂商和消费者成功交易的概率为 （5）上式第二个等号根据二项式定理。因为厂商已经决定发布价格信息，并且决定价格为p，所以厂商的行动至少在他自己看来不再具有随机性。在这个前提下，厂商和消费者能否成功交易由三个因素所决定。如果消费者不订阅价格信息，他就在自己的地方市场上交易；只有当厂商和消费者位于同一个地方市场，他们才能够成功交易；厂商和消费者恰好位于同一个地方市场的概率为，所以就是消费者不订阅价格信息的条件下，厂商和消费者成功交易的概率。如果消费者订阅价格信息，厂商和消费者之间的交易还要依赖于厂商竞争对手的个数k，以及全部k个竞争对手的价格。厂商可以把另外个厂商的决策看成是成功概率为的次独立Bernoulli实验，随机变量k服从参数为和的二项分布。除厂商以外，市场上恰好还有k个厂商发布价格信息这个事件发生的概率为；如果厂商和消费者成功交易，则另外k个厂商的定价一定高于厂商的定价p，这个事件发生的概率为。运用概率的加法和乘法法则，就可以得到（5）的结论。给定。公式（5）给出的是厂商与消费者成功交易的概率。由于市场上存在个在统计意义上完全相同的消费者。厂商把全部消费者的决策看成是成功概率为的次Bernoulli试验。设厂商成功地与k个消费者进行交易。随机变量k服从参数为和的二项分布。与公式（5）的推导相似，如果发布价格信息，定价为p的厂商有期望利润 （6）其中，。由于不知道任何一个消费者的具体类型t，厂商只能够用来估计t。给定和。与公式（5）的推导相似，如果不发布价格信息，则厂商和消费者成功交易的概率为 （7）与公式（6）的推导相似，如果不发布价格信息，定价为p的厂商有期望利润 （8）根据（2），上式在处有最大值。如果不发布价格信息，则厂商就在地方市场实行垄断定价。当市场处于均衡状态时，厂商在发布与不发布价格信息之间无差异。即（6）式在任意处的数值，等于（8）式在处的数值，于是 （9）为了讨论的方便，记，对每个 （10）整理（9）得到均衡的价格分布 （11）令，利用（11）解出厂商发布价格信息的概率 （12）把（12）和代入（11），解出价格分布的下限 （13）上面的分析就完成了命题1的证明。命题1：给定消费者订阅价格信息的概率。厂商在互联网市场发布价格信息的对称混合均衡策略为 （14）如果在互联网市场发布价格信息，则厂商定价的对称混合均衡策略为 （15）对每个，其中，价格分布的下限为 （16）如果厂商不发布价格信息，则厂商在地方市场实行垄断定价 （17）实际上，厂商的定价策略还可以用如下方式来描述 （18）三、消费者的信息订阅策略为了分析消费者的信息订阅策略，必须先明确订阅和不订阅价格信息对消费者的期望效用水平会有什么影响。这种影响肯定与期望的成交价格有关，为了能够继续分析，本文需要应用引理3的结论。引理3：假设在互联网市场上厂商的定价p服从以为支撑的非退化分布，恰好有个厂商发布价格信息。如果订阅价格信息的消费者的成交价格为p，则p服从分布，对每个 （19）证明：假设每个厂商的决策相互独立，公布的价格为。根据模型的假设，订阅价格信息的消费者的成交价格为随机变量，其中，每个服从分布。根据累积概率分布的定义 （20）上式两端经整理后就可以得到（19）。证毕。给定消费者类型，互联网市场价格分布和厂商进入互联网市场的概率。根据命题1，每一个不发布价格信息的厂商都将实行垄断定价；如果恰好有个厂商发布价格信息，则订阅价格信息的消费者的成交价格服从引理3所述的分布。如果订阅价格信息，则消费者可以获得期望效用（21）如果订阅价格信息，则消费者可以获得期望效用 （22）用（21）减去（22），得到两种策略下消费者期望效用差异为 （23）因为，当 （24）所以 （25）如果分布非退化，则对任意，和，有 （26）如果信息订阅费用足够小，则存在唯一的使得。由于两种策略的消费者期望效用差异是消费者类型t的严格增函数，如果，则消费者不订阅价格信息；如果，则消费者订阅价格信息。由于厂商不能够观察任何消费者的类型t，也不清楚消费者是否知道信息服务商的连接方式，于是在厂商看来，消费者订阅价格信息的概率为 （27）其中 （28）上面的讨论就完成了命题2的证明。命题2：设厂商发布价格信息的概率为，信息发布价格服从以为支撑的非退化分布；信息服务商向消费者收取的信息订阅费用为。如果s足够小，则一定存在唯一的 （29）使得是消费者的信息订阅均衡策略。四、信息服务商的定价策略为了确定自己的定价策略，信息服务商有必要明确厂商策略和消费者策略如何相互影响。命题1和命题2只给出了厂商和消费者最优反应的数值表达，但没有强调厂商和消费者最优反应的因果关系。引理4的结论是分析信息服务商定价策略的关键。引理4：给定信息服务商向消费者收取的价格信息订阅费用为，向厂商收取的价格信息发布费用为。1如果消费者订阅价格信息的概率为，则厂商的价格信息发布均衡策略为 （30）厂商的信息发布均衡定价策略为 （31）对每个，其中，由（30）给出，价格分布的下限为 （32）如果不发布价格信息，则厂商的均衡定价为 （33）2如果厂商发布价格信息的概率为，信息发布定价策略为对每个，不发布信息的垄断定价为，则消费者的信息订阅均衡策略具有形式 （34）引理4叙述的是命题1和命题2的结论，在此仅对（34）作简要的说明。在确定价格信息订阅策略的时候，消费者根据a和进行决策，因为是价格分布的下限，和a一旦确定下来，也就随之确定，所以公式（34）的积分下限实际上是a的函数。在单独地讨论消费者和厂商策略的时候，（34）严格地区别于（31）和（32）。在分析信息服务商定价策略的时候，厂商和消费者的最优反应错综复杂。从以下的讨论可以看出，明确引理4的含义非常关键。本文的推导将遵循这样的原则：当对最优反应求偏导数的时候，需要严格区分函数中的因变量和自变量；当需要确定任何一个函数的数值的时候，可以用一个变量代替其它任何变量。根据引理4，如果向消费者收取的价格信息订阅费用为s，向厂商收取的价格信息发布费用为，则信息服务商的期望利润为 （35）其中 （36）在给定厂商和消费者数目和的条件下，不妨称厂商发布价格信息的概率a为信息发布市场规模，称消费者订阅价格信息的概率b为信息订阅市场规模。以下命题证明了，如果信息发布市场规模a足够小，则信息服务商的最优定价策略是向消费者提供完全免费的服务。命题3：设是厂商的信息发布混合均衡策略，是消费者订阅价格信息的均衡策略。如果，则存在，使得，对任意，和。证明：利用链法则对（35）两端求关于s的偏导数 （37）对（30）式关于b求偏导数，可以得到结论 （38）对任意。根据（36）和（34）有 （39）其中 （40）记 （41）根据Liebnitz公式 （42）将（30）代入（31）确定数值 （43）根据（43）确定数值，对每个 （44）由于对任意和，所以 （45）令 （46）则。如果，则，对每个 （47）利用（38），（39），（40），（44）和（47）可以看出，和，对每个，和 （48）如果，则 （49）上式第一个不等号根据（48），第二个等号根据（36）和（39），第三个等号根据（34）。证毕。命题3说明了，如果厂商价格信息发布市场足够小，消费者信息订阅策略对信息订阅费用的变化足够敏感，则信息服务商的最优策略是向消费者提供完全免费的服务。命题4将证明，即使向消费者提供完全免费的信息订阅服务，信息服务商依然可以向厂商收取最优水平的信息发布费用。命题4：如果，则是信息服务商信息订阅费用最优定价策略；存在，使得是信息服务商最优信息发布定价策略。证明：先证明如果，则存在信息服务商最优信息发布定价策略。根据（34），如果，则；根据（36），如果，则。于是（35）可以改写为 （50）而且（50）的取值与b无关。对（30）两端求关于的偏导数 （51）对（50）两端求关于的偏导数 （52）上式的第二个等号根据（51）。令（52）的值等于零，得到信息服务商利润最大化问题的一阶条件 （53）上式的第二个等号根据（30）。利用上式解出信息服务商的信息发布定价策略 （54）为了证明上式满足信息服务商利润最大化问题的充分条件，对（52）两端关于求偏导数 （55）上式的第二个等号根据（51）。上面只证明了如果，是信息服务商最优信息发布定价策略。还需要证明如果，则信息服务商的最优策略是向消费者收取信息订阅费用。为了证明这一点，只需证明 （56）即可。根据（53），当信息服务商向厂商收取信息发布费用和向消费者收取信息订阅费用时，厂商发布价格信息的混合策略为。为了利用命题3的结论，需要证明，对每个 （67）上式等价于，对每个 （68）上式等价于，对每个（69）上式第一个等号根据二项式定理。于是只需证明，对任意和 （70）上式等价于，对任意和 （71）因为 （72）对任意和成立，所以，对每个 （73）根据命题3，如果和（73）成立，则（56）成立。证毕。五、结论在求解消费者价格信息订阅策略、厂商定价策略和价格信息发布策略的基础上，本文证明了如果信息订阅市场和信息发布市场的规模足够小，消费者订阅价格信息的意愿对信息订阅费用的变化足够敏感，则信息服务商就有动机向消费者提供完全免费的服务。本文还证明了，即使向消费者提供完全免费的信息服务，信息服务商总能够找到信息发布市场的最优定价策略，即信息服务商总能够向发布价格信息的厂商收取最优水平的费用。本文只考虑信息服务的垄断市场。如果存在多于一个信息服务商，信息服务商就无法对厂商实行信息发布费用的垄断定价。随着信息发布费用的下降，厂商发布价格信息的概率就会上升。所以，在互联网市场上实际观察到的厂商比本文所得到的数目多。本文假定只有部分消费者能够进入互联网市场，消费者对产品的偏好存在差异。如果信息服务商向订阅价格信息的消费者收取信息订阅费用，那么只有对产品需求比较大的消费者才会支付信息订阅费用。给定信息订阅费用，究竟有多少消费者进入互联网市场，厂商和信息服务商都能够利用市场调查等手段得到很好的估计。本文的现实意义在于，如果厂商发布价格信息和消费者订阅价格信息的比率都足够小，消费者价格信息订阅策略对市场条件的改变足够敏感，则信息服务商就需要考虑向消费者提供完全免费的服务。参考文献1 Avishay Braverman, Consumer Search and Alternative Market Equilibria, Review of Economic Studies, Vol. 47 Issue 148, p487, 16p, April 19802 Hal R. Varian, A Model of Sales, American Economic Review, Vol. 70 Issue 3, p651-59, September 19803 Jennifer F. Reinganum, A Simple Model of Equilibrium Price Dispersion, Journal of Political Economy, Vol. 87 Issue 4, p851, 8p, August 19794 Kenneth Burdett and Kenneth L. Judd, Equilibrium Price Dispersion, Econometrica, Vol. 51, No. 4, p955-970, July 19835 Michael R. Baye and John Morgan, Information Gatekeepers and Price Discrimination on the Internet, Economic Letters, forthcoming6 Michael R. Baye and John Morgan, Information Gatekeepers on the Internet and the Competitiveness of Homogeneous Product Markets, American Economic Review, Vol. 91, No. 3, June 2001, pp. 454-4747 Rafael Rob, Equilibrium Price Distribution, Review of Economic Studies, Vol. 52 Issue 170, p487, 18p, July 19858 Steven Salop and Joseph Stiglitz, Bargains and Ripoffs: A Model of Monopolistically Competitive Price Dispersion, Review of Economic Studies, Vol. 44 Issue 138, p493, 18p, October 1977第15页 共14页