2016创新人教A版数学选修4-54.1数学归纳法

核心必知1数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当nn0时命题成立；(2)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的基本过程问题思考1在数学归纳法中，n0一定等于1吗？提示：不一定n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n01或n02有时n0值也比较大，而不一定是从1开始取值2数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明3数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证nn0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立用数学归纳法证明：1(nN)精讲详析本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“nk”到“nk1”时，要注意项的合并(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，且kN)时命题成立，即有1.则当nk1时，左边1，从而可知，当nk1时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述nn0时命题的形式，二是准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点(2)应用数学归纳法时的常见问题第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3.对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范1证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，当n1时，等式成立(2)假设当nk时等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)可知，等式对任何nN都成立求证：二项式x2ny2n(nN)能被xy整除精讲详析本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2ny2n进行分解因式得出xy，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假设nk(k1，且kN)时，x2ky2k能被xy整除，当nk1时，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立.利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k2y2k2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出nk时的归纳假设，剩余部分仍能被xy整除2求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除证明：(1)当n1时，13(11)3(12)336，能被9整除，命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设，上式中k3(k1)3(k2)3能被9整除，又9(k23k3)也能被9整除故nk1时命题也成立由(1)(2)可知，对任意nN命题成立.平面上有n(n2，且nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线共有f(n)个交点精讲详析本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明(1)当n2时，两相交直线只有1个交点，又f(2)2(21)1.当n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，则当nk1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个f(k1)f(k)kk.当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2成立对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律3证明：凸n边形的对角线的条数f(n)n(n3)(n4)证明：(1)n4时，f(4)4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立(2)假设nk时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)当nk1时，凸k1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak1，增加的对角线条数是顶点Ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k13)1k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故nk1时由(1)、(2)可知，对于n4，nN公式成立本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的应用，天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解答题的形式进行了考查，是高考命题的一个新亮点考题印证(天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN，证明Tn122an10bn(nN)命题立意本题考查数学归纳法在证明数列问题中的应用解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN.(2)法一：由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN.法二：(1)当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；(2)假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，则当nk1时有Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112.即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由(1)和(2)，可知对任意nN，Tn122an10bn成立一、选择题1用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN)”时，在验证当n1成立时，左边计算所得的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3解析：选C由于等式左边当n1时，幂指数的最大值为112，左边计算结果为1aa2或在等式中左边共有n2项，n1时，共有3项2用数学归纳法证明：(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A2k1 B.C2(2k1) D.解析：选C当nk1时，左边(k11)(k12) (k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)3某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时，命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：选C与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立”故知当n5时，该命题不成立，可推得当n4时该命题不成立，故选C.4用数学归纳法证明“n1(nN)”的过程中的第二步nk1时(n1已验，nk已假设成立)，这样证明：1)时，第一步应验证n_，当nk1时，左边的式子为_解析：nk时，命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.答案：12222k12k2k11三、解答题9用数学归纳法证明：.证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，即，则当nk1时，即当nk1时，等式成立根据(1)(2)可知，对一切nN，等式成立10用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明：(1)当n0时，A011212133能被133整除(2)假设nk时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.nk1时，命题也成立根据(1)、(2)，对于任意整数n0，命题都成立11已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)由题意Snan2，a11，a2，a3.(2)猜想an，下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，1，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak，Sk12ak1，Sk1Skak1，Sk2ak，ak1ak，即当nk1时，等式成立根据可知，对一切nN，等式成立