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2 标准正交基,3 同构,4 正交变换,1 定义与基本性质,6 对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7 向量到子空间的 距离最小二乘法,第九章 欧几里得空间,5 子空间,一、向量到子空间的距离,9.7 向量到子空间的距离,二、最小二乘法,1、向量间的距离,长度 称为向量 和 的距离，,基本性质,（i）,（ii） 并且仅当 的等号才成立；,（iii）(三角形不等式),一、向量到子空间的距离,定义,记为,2、向量到子空间的距离,(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 中,每个向量垂直， 称 垂直于子空间 记作,如果 则,注意,(2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.,如图示意，对给定 ，设 是 中的满足,的向量，,对 有,则,因 是子空间，,则,由勾股定理,证：,故,所以,二、最小二乘法,问题提出,实系数线性方程组,即任意,不等于零,可能无解，,都可能使,设法找实数组,这样的,此问题叫最小二乘法问题.,使最小,为方程组的最小二乘解,（least squares solution），,最小二乘法的表示,设,用距离的概念，就是,由, 设则,要找 使最小，等价于找子空间,中向量 使 到它的距离 比到,中其它向量的距离都短.,设,这等价于,即,这样等价于,为此必,或,这就是最小二乘解所满足的代数方程.,已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种,化学成份 有关下列表中记载了某工厂生产中,与相应的 的几次数值：,找出 对 的一个近似公式.,例1,把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势,近于一条直线因此我们决定选取 的一次式,来表达当然最好能选到适当的,使得下面的等式,解：,都成立.,实际上是不可能的任何 代入上面各式都发生,些误差.于是想找到 使得上面各式的误差的平方,和最小，即找 使,最小.,最小二乘解 所满足的方程就是,易知,解得,即为,
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