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第一节集合,1.集合的含义与表示,2.集合间的基本关系,3.集合的基本运算与常用性质,教材研读,考点一 集合的含义及其表示,考点二 集合间的基本关系,考点突破,考点三 集合的交集、并集和补集,1.集合的含义与表示 (1)集合元素的特性:确定性、无序性、互异性 . (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号表示为或.,教材研读,(3)常见数集及其符号表示,(4)集合常用的三种表示方法:列举法、描述法、韦恩(Venn)图法. (5)集合的分类(根据集合中元素的个数):有限集、无限集、.,2.集合间的基本关系,3.集合的基本运算与常用性质 (1)集合的运算关系,(2)集合的运算律与常见性质,知识拓展 与集合相关的结论 (1)UU=,U=U. (2)AB=ABA=B.,(3)AB=AAB,AB=ABA.,1.(2018南通二次调研)已知集合U=-1,0,1,2,3,A=-1,0,2,则UA=.,答案1,3,2.(2018盐城期中)已知集合A=1,3,6,B=1,2,则AB=.,答案1,2,3,6,3.设A=(x,y)|y=-4x+6,B=(x,y)|y=5x-3,则AB=.,答案 (1,2),解析由 解得x=1,y=2,则AB=(1,2).,4.(教材习题改编)设U=R,A=x|xm,若UAB,则实数m的取值范围是.,答案m|m1,解析UA=x|x1B,则m1.,5.设A=1,2,3,B=1,x,若AB=A,则实数x的值为.,答案2或3,解析AB=ABA,则x=2或3.,6.(2018扬州中学开学考)设全集U=R, A=x|x2-2x0,B=y|y=cos x,xR,则图中阴影部分表示的区间是.,答案(-,-1)(2,+),解析集合A=0,2,B=-1,1,则阴影部分可表示为U(AB)=(-,-1)(2,+).,典例1(1)现有三个实数的集合,既可以表示为,也可以表示为 a2,a+b,0,则a2 018+b2 018=. (2)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为. (3)已知集合A=0,1,B=-1,2,集合M=x|x=ab+a-b,a,bA或B,则M中所有元素之和为.,考点突破,考点一 集合的含义及其表示,答案(1)1(2)-(3)-1,解析(1)由已知得=0且a0, 所以b=0,于是a2=1, 所以a=1或a=-1, 又根据集合中元素的互异性知a=1应舍去,因而a=-1, 故a2 018+b2 018=1. (2)因为3A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 当2m2+m=3时, 解得m=-或m=1(舍去), 此时m+2=3,符合题意. 所以m=-. (3)当a=0,b=0或1或2或-1时,ab+a-b=-b=0或-1或-2或1; 当a=1,b=0或1或2或-1时,ab+a-b=a=1;,当a=2,b=0或1或2或-1时,ab+a-b=2+b=2或3或4或1; 当a=-1, b=0或1或2或-1时,ab+a-b=-2b-1=-1或-3或-5或1. 综上,M=-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,则集合M中所有元素之和为-1.,方法技巧 用描述法表示集合时,首先要弄清集合的代表元素,再看代表元素的限制条件,弄清集合的类型(数集、点集还是其他类型的集合).另外,集合中元素的互异性经常被遗忘,要特别注意.,1-1已知集合A=x|x0,xN,B=5,6,7,若C=(x,y)|xA,yA,x+yB,则集合C中所含的元素个数为.,答案15,解析易知C=(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1),所以C中所含的元素个数为15.,1-2(2018扬州中学阶段性测试)若2x+4,x2+x,则x=.,答案1,解析当x+4=2,x=-2时,x2+x=2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当x2+x=2,x=1或x=-2(舍去)时,x+4=5,符合题意,故x=1.,角度一有限集的基本关系,考点二 集合间的基本关系,典例2(1)已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为. (2)已知集合P=x|x2+x-6=0,xR,S=x|ax+1=0,xR,满足SP,则实数a的取值集合为. (3)已知集合P=-1,a,b,Q=-1,a2,b2,若P=Q,则1+a2+b2的值为.,答案(1)4(2)(3)2,解析(1)由题意知A=1,2,B=1,2,3,4,因为ACB,则C=1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,则集合C的个数为4. (2)易知P=-3,2,当a=0时,S=,满足SP,所以a=0符合题意; 当a0时,S=,要满足SP, 则有-=-3或-=2, 解得a=或-, 所以所求的集合为.,(3)P=Q,或 由得(舍)或(舍)或或 1+a2+b2=2; 由得(舍)或(舍). 综上,1+a2+b2=2.,规律总结 (1)若集合A中含有n个元素,则集合A的子集有2n个,真子集有2n-1个;(2)已知AB,且集合A中含有参数时,注意不能遗忘A=的情况;(3)利用集合相等求参数的取值时,注意集合中元素的互异性的应用.,2-1已知集合M满足M0,1,2,3,则符合题意的集合M的子集最多有个.,答案16,解析当M=0,1,2,3时,子集的个数最多,有16个.,2-2若集合A=x|ax2+2x+1=0,xR至多有一个真子集,求实数a的取值范围.,解析(1)当A无真子集时,A=,即方程ax2+2x+1=0无实根,所以则a1.,(2)当A只有一个真子集时,A中只有一个元素,这时有两种情况:当a=0时,A=,符合题意;当a0时,=4-4a=0,解得a=1,A=-1,符合题意. 综上可得,当集合A至多有一个真子集时,实数a的取值范围是a|a=0或a1.,典例3(2018江苏无锡高三检测)已知集合A=x|0ax+15,集合B=. (1)若AB,求实数a的取值范围; (2)若BA,求实数a的取值范围; (3)A、B能否相等?若能,求出此时a的值;若不能,试说明理由.,角度二无限集的基本关系,解析A中不等式的解集应分三种情况讨论: 若a=0,则A=R; 若a0,则A=. (1)当a=0时,AB这种情况不存在; 当a0时,AB,a0时,AB, a2. 综上可知,当AB时,a的取值范围是a|a-8或a2. (2)当a=0时,显然BA;,当a0时,BA, 0a2. 综上可知,当BA时,a的取值范围是.,(3)A、B能相等.当且仅当A、B两个集合互相包含时,A=B, 由(1)(2)知,当a=2时,A=B.,规律总结 无限集一般是不等式的解集,已知无限集的基本关系时,首先通过解不等式将集合化简(注意不等式性质的正确应用),再利用数轴建立不等式组求解.,2-3(2018盐城三模)已知A=(-,m,B=(1,2,若BA,则实数m的取值范围是.,答案m|m2,解析由BA得m2.,2-4已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若BA,求实数m的取值范围.,解析当B=时,有m+12m-1,则m2,此时BA. 当B时,由于BA,如图, 则 解得2m4. 综上,m的取值范围是(-,4.,考点三 集合的交集、并集和补集 角度一求集合的交集、并集和补集,典例4(1)(2018江苏五校高三检测)已知全集U=-1,0,2,集合A=-1,0,则UA=. (2)(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知全集为R,且集合A=x|-2x2,B=x|log2(x+1)2,则AB=. (3)(2018江苏高考数学模拟)已知集合A=x|0x2,B=x|-1x1,则AB=.,答案(1)2(2)(-1,2)(3)x|-1x2,解析(1)由补集的定义可得UA=2. (2)由题意得集合B=(-1,3),则AB=(-1,2). (3)由并集的定义可得AB=x|-1x2.,典例5已知全集U=R,A=x|-4x2,B=x|-1x3,P=,求AB,(UB)P,(AB)(UP).,解析AB=x|-13, (UB)P=. UP=,(AB)(UP)=x|0x2.,规律总结 (1)集合的交集、并集和补集运算可结合韦恩图、数轴等直观求解,进行集合运算时要注意集合中元素的互异性. (2)德摩根定理:(UA)(UB)=U(AB),(UA)(UB)=U(AB).,3-1(2018南京三模)集合A=x|x2+x-6=0,B=x|x2-4=0,则AB=.,答案-3,-2,2,解析集合A=2,-3,B=2,-2,则AB=-3,-2,2.,3-2(2018江苏泰州中学高三月考)已知全集U=R,集合A=x|x2,B= x|0 x5,则(UA)B=.,答案x|0 x2,解析UA=x|x2,则(UA)B=x|0 x2.,角度二已知集合的运算结果,求参数的取值范围,典例6(1)已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|x2-2mx+m2-40. 若AB=0,3,求实数m的值; 若ARB=A,求实数m的取值范围. (2)设U=R,集合A=x|x2+3x+2=0,B=x|x2+(m+1)x+m=0,若(UA)B=,试求m的值.,解析(1)A=x|-1x3,B=x|m-2xm+2. AB=0,3, m=2; RB=x|xm+2,且ARB=A, ARB,m-23或m+2-1, 则实数m的取值范围是(-,-3)(5,+). (2)易知A=-2,-1.,由(UA)B=,得BA.,方程x2+(m+1)x+m=0的判别式=(m+1)2-4m=(m-1)20,B. B=-1或B=-2或B=-1,-2. 若B=-1,则m=1; 若B=-2,则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m=(-2)(-2)=4,这两式不能同时成立, B-2; 若B=-1,-2,则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)(-2)=2,得m=2. 经检验,m=1和m=2符合条件. m=1或m=2.,规律总结 已知集合的运算结果,求参数的取值范围时,一般解法也是利用数轴建立方程或不等式(组)求解,无限集运算时,注意端点处能否取到等号.,3-3(2018海安高级中学阶段检测)已知集合A=1,2,B=a,a2+3,若AB=2,则实数a的值为.,答案2,解析a2+33,且2B,则a=2.,3-4(2018江苏丹阳中学等三校联考)集合A=,B=x|xt,若A B=R,则实数t的取值范围是.,答案(-,1),解析集合A=(-,1)2,+),B=(t,+),AB=R,则t1.,
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