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第十三章计数原理与概率检测卷(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)1.若=6,则 m 等于()(A)9(B)8(C)7(D)62.某人根据自己爱好，希望从W,X,Y,Z 中选 2 个不同字母，从0,2,6,8中选 3 个不同数字编拟车牌号，要求前 3 位是数字,后两位是字母,且数字 2 不能排在首位，字母 Z 和数字 2 不能相邻，那么满足要求的车 牌号有()(A)198 种(B)180 种(C)216 种(D)234 种3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含 x3的项的系数为()(A)74(B)121(C)-74(D)-1214.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.现将这两个节目插入原节目单中，则不同插法共有()(A)12 种(B)20 种(C)30 种(D)42 种5.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数 a,从集合1,3,5中随机抽取一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率是()IIII(A)(B)(C 厂(D)16.(2018 温州 3 月模拟)随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)=：,第十三章计数原理与概率检测卷则 D(3X-2)等于()X-101P1ab(A)9(B)7(C)5(D)27.已知随机变量 X 的分布列为X123P0.20.40.4则 E(6X+8)等于()(A)13.2(B)21.2(C)20.2(D)22.2z2/8.已知椭圆+=1(0b0)的焦点与双曲线 G:*-y2=1 的右焦点的连线交 C 于第一象限的点 M.若 Ci在点 M 处的切线平行于 G 的一条渐近线，则p 等于()泰筋2/34乔(A)(B)(C)(D)10.若函数 f(x)=x+kx+m 在区间a,b上的值域为n,n+1,则 b-a()(A)既有最大值，也有最小值(B)有最大值但无最小值(C)无最大值但有最小值(D)既无最大值，也无最小值二、填空题(单空题每题 4 分,多空题每题 6 分,共 36 分)11.有 10 件产品，其中 3 件次品，从中任选两件，若 X 表示取到次品的个数,则 P(X=1)=_,E(X)=_.12.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成,则不同的传递方法共有 _种,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 _ 种.(用数字作答)13.已知(1+ax)9二 ao+a1X+a2X2+a3X3+$x9(a 工 0)且 a4=3a3,则a=_,a3=_./14.若双曲线 x2=1(b0)的一条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 _;与圆相切时渐近线的方程为_.15.随机变量 X 服从二项分布 XB(16,p)且 D(X)=3,则 p=_.r|x+a|+|x-i|Tx o16.已知函数 f(x)=丨：1的最小值为 a+1,则实数 a 的取值范围是_.17.设点 P 是厶 ABC 所在平面内的动点，满足二入+,3 入+4 卩TTT=2(入，卩 R),|=|=|.若|AB|=3,则厶 ABC 的面积最大值是_.三、解答题(共 74 分)18.(本小题满分 14 分)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到 渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点，A,B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于 第一、二象限，若：=,求厶 AOB 勺面积.19.(本小题满分 15 分)x2y2已知椭圆 C1:+=1,抛物线 C2:y2=4x,过抛物线 C2上一点 P(异于原点0)作切线 I 交椭圆 C 于 A,B 两点.(1)求切线 I 在 x 轴上的截距的取值范围；求厶 A0B 面积的最大值.20.(本小题满分 15 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C:y=1与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,N两点，(1)当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时，总有/OPMXOPN 锐明 理由.21.(本小题满分 15 分)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为FI,F2,且|FIF2|=6,直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点.(1)若厶 AFF2的周长为 16,求椭圆的标准方程；若 k=,且A,B,FI,F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值；在 的条件下，设 P(xo,yo)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 ki(-2,-1),试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围.22.(本小题满分 15 分)已知椭圆+=1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等 边三角形，直线 3x+4y+6=0 与圆 x2+(y-b)2=a2相切.(1)求椭圆 C 的方程；已知过椭圆C的左顶点A的两条直线丨1,12分别交椭圆C于M,N两 点，且 I1丄 l2,求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标；在 的条件下求 AMNT 积的最大值.答案解析:1.C 由 m(m-1)(m-2)=6X4x 3 X2 x 1,m 4,得 m=7.故选 C.m(m-l)(m-2)(m-3)2.A 根据题意：分情况不选 2 时有=72(种),选 2 时,2 在数字的中间，有=72(种),当 2 在数字的第 3 位时，有=54(种),根据分类加法计数原理，共有 72+72+54=198(种).故选 A.3.D 展开式中含 x3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121,故选 D.4.D 由题意,本题用分别插入的方法，第一次有 6 个空，第二次 6 个节目有 7 个空，总数 m=&7=42,故选 D.5.A m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)共 12 种情况.n,即 mrn=O,a-b=O,a=b,有(3,3),(5,5)2 种情况，2I所以所求事件的概率为=.故选 A.I6.C 由概率和为 1,得+a+b=1,III又由 E(X)=,得(-1)x+0Xa+1xb=,I I由联立，解得 b=,a=.I 1 I 1 I I 5所以 D(X)=(-1-)2x+(0-)2x：+(1-)2x 二，所以 D(3X-2)=9D(X)=5,故选 C.7.B E(X)=1X0.2+2X0.4+3X0.4=2.2,所以 E(6X+8)=6E(X)+8=6X2.2+8=21.2.故选 B.8.D 由椭圆的方程，可知长半轴长为 a=2,由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短,2 b2即;=3,可求得 b2=3,即 b=.故选 D.9.D因为双曲线 C2:-y2=1,所以右焦点为 F(2,0),A/3渐近线方程为 y=x.1抛物线 G:y=x2(p0),P焦点为 F(0,).、r设 M(x0,y0),则 y二.因为 kMF=kFF,又因为 y=x,173所以 y=xo=，.S/3由得 p=；.故选 D.10.B 取 k=m=0 则 f(x)=x2,不妨设 0ab,则 f(x)在a,b上的值域 i为a2,b2,令 b2-a2=1,则 b-a=,故 b-a 无最小值;a+b a+b口+占因为 f(a)=a2+ka+m,f(b)=b2+kb+m,f()=()2+k+m,b-aa+b所以()二f(a)+f(b)-2f()n+1+n+1-2n=2,2 fc 2+fc所以 b-a 1,解得 b2 3,则 e2=1+b1,所以 1e 2.当渐近线与圆相切时,b2=3,a2=1,所以渐近线方程为 y=x.答案:(1,2y二士 x1315.解析:D(X)=16xp(1-p)=3,所以 p=或:.I 3答案或16.解析:由题意得(|x+a|+|x-1|)min=|a+1|,a2(x2-aX+2)min=-+2.(1)若-1 aa+1?-1 a0,则只需 2 a+1?0a 1;(3)若 a0,n0,m-n由；;=得点 P 的坐标为(，m+n)./将点 P 的坐标代入；-x2=1,整理得 mn=1.设/AOB=3,因为 tan(-0)=2,I4则 tan0=,从而 sin 20=.又|0A|=m,|OB|=n,1所以 SAOB=|OA|OB|sin 20=2mn=2.2 19.解:(1)设 P(t,2t)(t 工 0),显然切线 I 的斜率存在,设切线I 的方程为 y-2t=k(x-t2),即 y=k(x-t2)+2t.y=kxF)+21,2由 Iy=他18.解:依题意得a|2 X 0+tz|25消去 x 得 ky2-4y-4kt2+8t=0.由A=16-16k(-kt2+2t)=0,得 k=.从而切线 I 的方程为 x=ty-t2.令 y=0,得切线 I 在 x 轴上的截距为-t得(3t2+4)y2-6t3y+3t4-12=0.624令A=36t-12(3t+4)(t-4)0,得 0t24,则-4-t20.故切线 I 在 x 轴上的截距的取值范围为(-4,0).(2)设 A(xy),B(x2,y2),由知|AB|=jyi-y2|=.6t324(3t4-lZ)3t2+43t24-4-t4+3t2+4=4击.JiT?盍+矿,原点到切线 I 的距离为 d=,1?(-?+3t2+4)所以 S=|AB|xd=2：,;令 3t2+4=u,因为 0t24,所以 4u16.J(uz-8u 4-16)(-u2+17u-16)1护1616ni+J吕1/-(u+)2+25(u+-136UU16令 y=u+,因为 4u16,16所以 y=u+在区间(4,16)上为增函数,得 8y17.所以 S=!25当 y=(8,17)时,625625+-13642辭故厶OAB 面积的最大值为.20.解:(1)由题设可得 M(2a),N(-2,a),或 M(-2,a),N(2,a).故 y=I 在 x=2 处的导数值为.，C 在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即 x-y-a=0.y=1在 x=-2处的导数值为-C 在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2.),即 x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0 和 x+y+a=0.(2)存在符合题意的点，理由：设 P(O,b)为符合题意的点，M(Xi,yi),N(x2,y2),直线 PM,PN 勺斜率分别 为ki,k2.将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0.故 Xi+X2=4k,xix2=-4a.yRy2b从而 ki+也二+加心七+S EE+=1k(a+b)=a当 b=-a 时,有 ki+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故/OPMZ OPN 所以点 P(0,-a)符合题意.21.解:(1)由题意得 c=3,根据 2a+2c=16,得 a=5.2.2 2结合 a=b+c,解得 a2=25,b2=16.x2y2所以椭圆的标准方程为+=1.!x2y2_I-L2a b得(b2+a2)x2-a2b2=0.设 A(Xi,yi),B(x2,y2),-u2b2b2+所以 Xi+X2=0,XlX2=,由 AB,FiF2互相平分且共圆，易知,AF2丄 BF,TT因为=(Xi-3,y1),=(X2-3,y2),TT所以=(xi-3)(x2-3)+yiy21=(1+)xiX2+9=0.即 XiX2=-8,-a2b2b2+la2所以有=-8,结合 b2+9=a2,解得 a2=12,所以 e=.法二 设 A(xi,y1),又 AB,FiF2互相平分且共圆，所以 AB,FiF2是圆的直径，所以+=9,丙十卅=現班=1勺玮V1H-=1又由椭圆及直线方程综合可得 E 於由前两个方程解得=8,=1,将其代入第三个方程并结合 b2=a2-c2=a2-9,解得a=12,故 e=.x2y2由的结论知，椭圆方程为+=1,由题可设 A(xi,yi),B(-xi,-y1),Vo-Vi儿+儿k1二,k2=,所以 k1k2=；,即 k2=-*,i i由-2k1-1 可知，k22,当且仅当 m=1 时取等号,16所以 SAMN,当且仅当 m=1 时取等号.
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