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目录（基础复习部分）第十四章曲线与方程、简单复合函数的导数、数学归纳法2第01课曲线与方程2第02课抛物线2第03课简单复合函数的导数6第04课数学归纳法7第十四章 曲线与方程、简单复合函数的导数、数学归纳法第01课 曲线与方程（镇江期末）已知为曲线：上的动点，定点，若，求动点的轨迹方程解：设，则 2分又，由得， 5分， 7分代入式得，即为所求轨迹方程 10分（前黄姜堰四校联考）如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点,求的值. 解：由条件可知 4分 在抛物线上，可得 第02课 抛物线22.如图，抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，均在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值.AOxyPB（苏北四市期末） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程; (2)试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。（1）由题设知，即，所以抛物线的方程为 2分（2）因为函数的导函数为，设，则直线的方程为，4分因为点在直线上，所以联立解得5分所以直线的方程为 6分设直线方程为，由得，所以 7分由得 8分所以，故为定值2 10分（南通调研二）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上 （1）求，的值；（2）过点作垂直于轴，为垂足，直线与抛物线的另一交点为，点在直线 上若，的斜率分别为，且，求点的坐标解：（1）将点代入， 得， 2分 将点代入，得， 因为，所以 4分 （2）依题意，的坐标为， 直线的方程为， 联立并解得， 6分 所以， 代入得， 8分 从而直线的方程为， 联立并解得 10分xOyABCPDQM（南师附中四校联考）已知抛物线上有四点、，点M（3,0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.（1）求的值； （2）求证：MP=MQ.（1）设直线AB的方程为，与抛物线联立得：2分4分（2） 直线AC的斜率为直线AC的方程为点P的纵坐标为6分7分同理：点Q的纵坐标为9分，又PQx轴MP=MQ.10分第03课 简单复合函数的导数（前黄姜堰四校联考）已知常数，函数.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若存在两个极值点且，求的取值范围解：(1)f(x).(*)当a1时，f(x)0，此时，f(x)在区间(0，)上单调递增当0a1时，由f(x)0得x12.当x(0，x1)时，f(x)0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，)上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在区间(0，)上单调递增；当0a1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增 4分(2)由(*)式知，当a1时，f(x)0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0a且x2，所以2，22，解得a.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点而f(x1)f(x2)ln(1ax1)ln(1ax2)ln1a(x1x2)a2x1x2ln(2a1)2ln(2a1)22.令2a1x.由0a1且a知，当0a时，1x0；当a1时，0x1.记g(x)ln x22. 6分(i)当1x0时，g(x)2ln(x)2，所以g(x)0，因此，g(x)在区间(1，0)上单调递减，从而g(x)g(1)40.故当0a时，f(x1)f(x2)0.(ii)当0x1时，g(x)2ln x2，所以g(x)g(1)0.故当a0.综上所述，满足条件的a的取值范围为. 10分(栟茶中学学测一)已知函数（1）求函数的导数；（2）证明：解：（1）； -4分 （2）由可得，时，；时，。 -6分所以，当时，所以，即，可得 10分第04课 数学归纳法设个正数，满足（N*且）（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（N*且）个正数，的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明23解：（1）因为（N*且）均为正实数，左右= =0，所以，原不等式成立 4分（2）归纳的不等式为：(N*且)5分记，当（N*）时，由（1）知，不等式成立；假设当（N*且）时，不等式成立，即则当时，= 7分=，因为，所以，所以当，不等式成立 9分综上，(N*且)成立10分若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”（1）请分别对，构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数，均存在“个好数”解：（1）当时，取数，因为，1分当时，取数，则，3分即，可构成三个好数 4分（2）证：由（1）知当时均存在，假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，使得对任意，都有成立， 5分则当时，构造个数，（*）其中，若在（*）中取到的是和，则，所以成立，若取到的是和，且， 则，由归纳假设得，又，所以是A的一个因子，即，所以， 8分所以当时也成立 9分所以对任意正整数，均存在“个好数” 10分（南通调研 一）设是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为(N*)，且每数位上的数字只能是1或2（1）求，的值；（2）求证：(N*)是5的倍数
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