二阶谐振滤波器中品质因数的影响以及实际设计滤波器时的考虑

二阶谐振滤波器中品质因数的影响以及实际设计滤波器时的考虑天津大学云泽霖中文摘要：谐振电路是重要的基础信号处理电路，本文分为理论基础和实验对比两部分。理论基础中详细介绍了 二阶谐振电路的特性，系统地推导了二阶谐振系统的各项特性关系式，从而得出必要公式和理论特性。在 此基础上，通过实验的出的数据和理论计算进行对比，发现理论基础的不足之处，分析实际系统的效果以 及差异的由来，进一步完善整个系统的理论模型。不仅考虑了品质因数对系统滤波的影响，还加入了其他 的元素。通过理论和实际的结合详细说明了二阶谐振滤波器在设计时应做到的考量。关键词；谐振、串并联谐振系统、滤波、品质因数、理想系统、实际系统引言在含有电感和电容的正弦稳态电路中，电流与所施加的电压一般不同相位，或电压超前 于电流（电路呈感性），或电流超前于电压（电路呈容性）。但若电路参数配合适当，或频率 适当，也可使电流恰与电压同相位，电路呈阻性，此时称电路发生谐振。产生谐振现象的电 路称为谐振电路。谐振具有的一些特性在电路中可以起到滤波的作用。滤波电路是一种能使有用频率信号通过而同时抑制无用频率信号的电子装置，工程上常 用来作信号处理、数据传输和抑制干扰等作用。那么二阶滤波电路是一类什么电路呢？滤波器的阶数是指滤波器的传递函数中有几个 极点，二阶滤波器就是在传递函数中有两个极点的一类滤波器。综上，我们发现根据谐振电路的一些频率特性可以达到滤波的效果，因此以谐振电路为 基础组成滤波系统，系统谐振部分包含一个电感和一个电容，自然就是二阶谐振滤波器。而 关于设计滤波系统，系统的品质因数Q是一个非常重要的参数，涉及到谐振回路的储能性能、 滤波性能是否理想、通频带宽度、选择性能是否良好等系统重要性质。由于谐振电路分为串 联谐振和并联谐振两种，接下来将分述两种滤波系统。理论基础（一）串联谐振滤波系统串联谐振系统最简单的组成为RLC串联电路，原理图如图1-1：R?厂口UR +UUL $时，和叱出现峰值的频率分别为:口匕=口。/1 由此可以证明出，若Q V 土,，和Uc两者均无峰值。当Q值很大的时候，ULmax 和cmax都很接近于QU，和3匕都很接近口0。I。由电流的导出公式：1(3)=1 + Q2 J 地)O)q 3 )U由电流的导出公式可以看出，当3偏离谐振频率3()时，电流从谐振时的最大 值妨减小，在3 T。或3 T 8时，电流均趋近于0,这表明电路具有选择谐振 频率电流的特性，称为选择性。而回路的品质因数Q对选择性的优劣起决定性作用,如图1-2：图1-2由图1-2我们可以看出，Q值越高，则曲线越尖锐。因为Q值越高，3稍微 偏离co。电抗增加越大，阻抗|Z|也随之增加越快，电流从谐振时的最大值下降的 越剧烈，表示相应的谐振电路对偏离谐振频率的电流的抑制能力越强。依照图1-2,为了便于定量地衡量选择性，一般规定I/。= 1/V5 = 0.707时所对应的两个角频率31和32之间的频率范围（32-口1）为带宽或通频带。根据串联谐振对特定频率电流的选择性我们可以将其看作是RLC组成的带通 滤波系统，如图1-3：CLO1 |54OUi占 R U。O0图1-3据图可以得出谐振滤波表达式：UtRUo =iR = （R + WJ1 + Q2 此一穹当R如时:u0 Ul根据 1o = l/V2= 0.707,可以解得：31 = 3。（-&+。+却曲=3。（富 + J1 + 所以带宽为：Ate） = 0）2 口1 =芸可见滤波器带宽与品质因数Q成反比，Q值越高，通频带越窄，选择性越好。但 是在实际工程中往往是根据信号传输所能容许的失真程度而定，并非越窄越好, 在后面的实际实验中将详述。（二）并联谐振滤波系统与串联谐振电路相对应，并联谐振电路如图2-1：图2-1复导纳：Y=G + j(Bc 一玖)=|丫| V。当如=如时，电路发生谐振，谐振角频率为：1因而谐振频率为：_ 1_ 2兀阪对应于串联谐振，并联谐振电路发生谐振时，电容电流与电感电流两者大小相等, 相位相反，两者会相互抵消，因此也可以称为电流谐振。LC的并联组合相当于 开路，并联谐振电路的品质因数为：C=RcoqC = R 并联谐振电路在电流源激励下的电压通用谐振曲线与串联谐振电路在电压源激 励下的电流谐振曲线相同:在实际工程中，并联谐振电路由电感线圈和电容器组成。由于线圈有功率损耗, 故通常电感线圈同电阻和电感串联表示，而电容器的损耗和漏电流很小，一般可 忽略等效电导而视为理想电容元件。接下来得出电路的谐振条件，电路复导纳为：1Rja)LY = : + j(A)C =y-y 77T + jCR + ja)LR2 + a)2 L2 R2 + a)2 L2从谐振定义出发:a)L(a)C 5- = 0R2 + o)2L2由此解得谐振角频率与电路参数的关系:1 R23 = 3。=无瓦由上市可见，电路的谐振频率完全由电路参数决定，只有当寸，a。是 实数，可调节电源的频率使电路谐振。当电路谐振时，复导纳虚部为零，该一端 口等效为一个电阻，记为:Ro = R +尻方A进而有:/I R2l7 LRq = r + lc17)-r=rc根据并联谐振电路的这个特性我们也可以设计基于并联谐振系统的带阻滤波器, 如图2-2：U1RL图2-2得出传递函数:Uo=Ui 1 - f= ”+。2(土3)当电路谐振时:Uiu。*实验对比选用了 33uh的环形绕线电感和luf的直插电容，为了使1乩电阻选择200 Q。谐振电路中的电阻R的选择需要注意，在一开始时为了尽可能使RRl选 用了 1M的电阻，没有考虑到Q的计算时R在分母上面，使得实际Q值非常小， 基本没有谐振滤波的效果，所以电阻R的选择应该适当。然后调整信号源为lO.OVpp的正弦信号，此时谐振角频率为：。0 =嘉=v33x 10-6x1x10-6=174077rad进而可以求得：久=3泛=27705/iz此时的品质因数：Q =譬=罗二0. 02872K3 qLn可以得出纨=4995, 0)2 = 6066172,即fi = 79SHz, f2 = 965461Hzo我们选用lOvpp的正弦信号对该结果进行理论验证，滤波结果为:当输入信号的频率为795Hz时，输出信号Vpp为6. 00,说明此时的实际截止 频率偏小，调整输入信号频率到输出Vpp为7. 07时，实际截止频率为1040Hz。 而当输入信号为965KHz时，输出信号的Vpp为6. 00,说明实际截止频率过大,实测截止频率为600KHz。但是此处有一处值得注意：当调整频率为/b时，输出信号为8.40Vpp,而且 无论输入信号为何值，输出信号的幅值均没有大于次值的时候，说明由于电感电 阻的影响，使得电阻R上的输出电压受到影响，导致了输出截止频率的偏移。我 们可以按照8. 40对应满幅值10的比例，将两处截止频率的输出幅值进行等比例 放大，则可以得到6. OOVpp对应：7. 14Vpp,和实际计算相差不多，而且由于示 波器的分辨率有限，测量Vpp的精度为0.2Vpp,所以实际测量结果可以认为和 理论计算相同，即两截止频率的理论计算和实际测量相同。我们若是改变R的大小，则可以在不改变/o的情况下，改变截止频率/1和方， 将R改为36Q ,则相应的品质因数：Q =哮 =一罗二0.1596,相应的截止频率 R coqCR变为：h = 4314Hz, f2 = 177904Hz测得/i处为3. 64Vpp, f2处为3. 62Vpp ,而介处则为4. 32Vpp ,得到 ?= 0.842, = 0.837,那么此处虽然按照比例将输出放大还原，但是仍然出现 7oJo了截止频率发生较大偏移。而且由于输出电阻R过小，使得输出己经无法达到理 论的 7. 07Vppo接下来，我们通过改变电感和电容值来改变。值。将电感改为330uh的的环形绕线电感和0. luf的无极性电容，使得久不发生 改变，但是新的品质因数为：0=0. 2872 o随之改变的是截止频率：= 39234sd, a)2 = 652554相应的片=6244, f2 = 103857Hz。得到的实验结果 如下：输入信号为/1时，输出信号为7. 68,输入信号为为时，输出信号为7. 98,和 理论相差不多，实际的截止频率要比方大和比*小，就是说滤波效果更理想。结论：在串联谐振滤波系统中，谐振频率一定时，品质因数越大带宽越窄, 滤波效果越好，而想要得到更大的品质因数可以选择两种办法，一是改变输出电 阻，使R更小，但是由于电感本身带有电阻，会使输出信号被电感电阻分走，以 至于输出信号达不到要求。或者改变电容和电感值，降低电容大小，提高电感大 小，以提高品质因数Q,而且此方法的实际效果要好于理论效果。对于并联谐振来说，性质是对称的，品质因数Q越大滤波效果越好，增 大电阻R可以增大品质因数，但是相应的带阻部分的信号输出也会相应增大，电 阻过大时会使电路失去滤波效果。而改变电容电感的比值会带来比较好的滤波效 果。参考文献：1 康华光电子技术基础模拟部分2 孙雨耕电路基础理论