用Mathematica计算椭圆形电流的磁场分布

分类号 UDC单位代码 10642密级公开学 号 2002466040重庆文理学院学士学位论文论文题目:用Mathematica计算椭圆形电流的磁场分布论文作者：王伯超指导教师：石东平教授专 业：物理学提交论文日期：2006年06月 日论文答辩日期：2006年06月 日学位授予单位：重庆文理学院中国重庆2006年06月Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and sciencesCalculation on the Magnetic Field Distributionof the Ellipse Current with MathematicaCandidate: Wang Bo-chao Supervisor: Shi Dong-ping Major: PhysicsDepartment of Physics & Information EngineeringChongqing University of Arts and SciencesJune 2006目录摘要IAbstractII1引言11.1问题的提出及研充意义11.1.1问题的提出11.1.2研究的意义11.2国内外研充现状11.2.1圆形电流磁场分布研充现状11.2.2椭圆形电流磁场分布研究现状12基本原理13 椭圆形电流的磁场分布23.1物理模型的建立23.2 运用 Mathematica 进彳亍计算34讨论34.1椭圆电流垂直轴上的磁场34.2椭圆电流焦点的磁场44.3圆形电流的磁场45结语5参考文献5致谢7用Mathematica计算椭形电流的磁场分布物理学专业1班王伯超 指导教师石东平摘要：环形电流的磁场分布是电磁理论的典型问题，对它的研究一直都倍受关注。关于环形电流的 磁场分布问题，中夕卜许多文献都做了一定的计算、探讨。圆电流是一个经典的物理模型，对圆电流 磁场分布特性的研究有助于进一步研究磁介质的磁性特征；而椭圆形电流又是环形电流中一个典型 的物理模型,对椭圆形电流磁场分布情况的研究，将让我们进一步认识环形电流的磁场问题。鉴于此, 本文将在前人的研究基础之上,通过合理利用数学计算软件Mathematica对椭圆形电流磁场分布情 况做进一步的探讨。关键词：磁场；椭圆形电流；椭圆积分AbstractThe liiig-like electiic current magnetic field distribution is the typical problem of electromagnetic theoiy The researches on it have been paid much attention. Many Chmese and foreign scholars have done calculation and discussion on tlie circular electric current magnetic field distribution. Ciicular electiic current is a classical physical model. The researches on tlie magnetic field distribution characteristics of the ciiculai current are helpfijl for the fintlier study on magnetic characteristics of magnetic dielectric. The ellipse electric current is a typical physical model of ring-like electric cuuent. The reseaiches on the magnetic field distribution of it make us obtam more understaiidmgs of magnetic problem of ling-like electric cuuent. Based on fbimer researches. In this paper, a ftuther explorations and discussions on ellipse electiic current field distribution would be done with Mathematica.Keywords: magnetic field; ellipse cunent; ellipse mtegial1引言1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出圆形电流的磁场是电磁理论的典型问题，对它的研究一直都倍受关注。对它的研究从来都没有 间断过，当然关于这方面的文献也层出不穷。从这些文献看，圆形电流的磁场分布情况已经研究的 非常的透彻，己经得到了全空间的磁场分布表达式:七可是，对于椭圆形电流这一典型物理模型的 磁场分布情况，没能得到全空间的磁场分布表达式，还有待进一步研究。1.1. 2研究的意义椭圆形电流是续圆形电流后的又一典型的物理模型，对它的进一步研究，不仅可以进一步认识 椭圆型电流的磁场分布情况，而且在结合数学软件Mathematical后，减少了大量异常烦琐的计算 工作，会使得到的结果更加精确，将对电磁理论的进一步发展起到一定的促进作用。同时也在计算 机科学与物理学的研究的有机结合方面起到一定的促进作用。1.2国内外研究现状1.2.1圆形电流磁场分布研究现状圆形电流的磁场分布是电磁理论的典型问题，有许多学者对其进行过研究闾，成果也比较显 著。现在己经可以从不同角度出发对圆形电流的磁场分布情况进行推导。文献1是从矢势的计算出 发，然后再经旋度运算求得圆形磁场的普遍表达式，而且还对圆电流平面内、中心轴上和远区的场 作了特例讨论；也可以根据毕一萨定律，运用磁场叠加原来和第一、第二类完全椭圆积分求得圆形 磁场的普遍表达式，而旦还找到了其在不同坐标系中的表示国。1.2.2椭圆形电流磁场分布研究现状椭圆形电流是圆形电流的普遍化，对其进行研究更为困难。进展比较慢。不过现在已经可以根 据毕一萨定律，利用矢量的方法，来分析椭圆形电流焦点处的磁场。文献6应用毕一萨定律、磁 场的叠加原理及第二类完全椭圆积分，得到了椭圆形电流垂直轴上磁场的解析表达式。也曾有学者 通过数学上的保角变换得出了椭圆形电流的磁场在变换空间分布的柱坐标表示，对椭圆型电流的磁 场在空间中极端位置的直角坐标进行了求解，并得到了在圆外区域无穷远处的磁场极限值。本文将在前人研究成果的基础之上，结合数学软件Mathematica对椭圆形电流的磁场分布问题 做进一步探讨。寻求椭圆形电流的空间表达式。让大家进一步认识椭圆型电流的磁场分布情况，促 进电磁学理论的进一步发展。2基本原理毕奥一萨伐尔定律闻实验测出两个电流之间有作用力。和静电作用一样，这种作用力也需要通 过一种物质作为媒介来传递，这种特殊物质称为磁场。电流激发磁场，另一个电流处于该磁场中， 就受到磁场对它的作用力。对电流有作用力是磁场的特征性质，我们就利用这一特性来描述磁场。 实验指出，一个电流元在磁场中所受到的力可以表为dF = IdTxB(1)矢量B描述电流元所在点上磁场的性质，称为磁感应强度。恒定电流激发磁场的规律由毕奥一萨 尔定律给出。设J(x)为源点上的电流密度，亍为由”点到场点。的距离，则场点上的磁感 应强度为拓）=J咛迁疗，式中坊为真空中磁导率，积分遍及电流分布区域。如果电流集中于细线上，以d亍表示闭合回路L 上的线元，dSn为导线横截面元，则电流元JdV = JdSydT ,对导线截面积分后得O因此， 细导线上恒定电流激发磁场的毕奥一萨伐尔定律写为郎）=w匝W4tt r33.1物理模型的建立如图1,建立直角坐标系，椭圆方程，x = a cosd, y = asind （其中a和b （ a b ）分 别为椭圆的长半轴和短半轴）载有电流I；在椭圆上任意一点Qg,。）处取电流元京/ , Pp,q. z） 为空间任意一点。则有：dl = dxi + dyj = (asin(r + boos 喝)d r =(p -x)i + (q y)j + zk=(p a cos )i + (g b sin(/)j + zk r = J(p 一 对2 + (q - 疔 + J=yp2 + 竖2pa cos (b 2qb sin (p + a2 cos2 + b sin2 又a2 - b2 = c2 (c为焦距)则：r =+ 0 + 矿 + J _ 2qqcos _ 2qbsin _ sir?敢dl xr = zb cos d 伽 + za sin(j)d(j)j a sin Q(q b sin ) + b cos 认 p a cos Q)d(pk 所以：4tt (a2 4- ? - c2 sin2 用Mathematica进行计算很容易得到3； = B. = 0 ,所以：B = Bk匝迎 Id(b -心ab产1 q47T(a2 + ? - c2 sin2 泸-47r(a2 +?)8/2c2 . 2 ,.3/2(s sin 0) a + 丁.0C2. 01-0 z2 + b2k =，论 =1 k =a + Ca +r/A)。 /一有 + 站)3/2_ k2 sm2 3/2 0t = sind 得： Ir二心汕一板+刘2F)*(l 一/齐2)3萨由文献9得:今/oo 1 / 2jo=说=E式中E）为第二类完全椭圆枳分。所以：B = （ 吧扫 研&）=卜心*八EJ）7T（Q + ） k7tJq- + H（C +6）4.2椭圆电流焦点的磁场当P点坐标为P（c,0,0）时,3=昆=些广” 4tt J。由（6）式可以得到椭圆电流焦点的磁场为：f/Ibc 广i0b 广可 q c?os4?r J。4tt J。，2jt住r4?r J。(a ccos)r = yja2 +/+/_ 2pa cos 2qbsind c2 sin2 = Ja2 2cacos0 c2 cos2（j） 所以 b = b=蜡广=j 1 因为此时电流的分布以1轴对称，由上式可得：B = 2乂业敢4ttc cos 0）。上式与文献5达到很好的吻合。根据文献5中的计算和运用Mathematica计算可以得到椭圆电流焦 点的磁场为：4.3圆形电流的磁场当a = b,即c = & -胪=0时，椭圆电流也就随之退化成圆形电流，又由于圆形电流I关 于Z轴旋转对称，我们可以令P（p,0Q而不失一般性。这样根据（6）式可以得到圆形电流在全空 间的分布表达式为：B =住广牛 =住广_晦4?r J。 r 4tt J。（a + p + c 2pa cosd） 1好” 0,取定空间的P点后,A A 22ap通过查椭圆积分表就可算出F点的旦和与值。5结语椭圆形电流是继圆形电流后的又一典型的物理模型。其磁场的分布情况比圆形电流的分布情况 更为复杂。本文尝试借助计算机软件Matliematica对椭圆形电流的磁场分布做了探讨。在得到椭圆 形电流的磁场在全空间分布的积分式后，着重分析了椭圆电流垂直轴上的磁场、椭圆电流焦点的磁 场和椭圆退化成圆形电流的后的磁场分布，分析结果与其他相关文献得到了很好的自洽。但本文还 不够，只是做了一些初步的尝试，要想更深入的了解椭圆形电流的磁场分布情况，还任重而道远， 还有待于更多的物理工作者进行进一步的研究。参考文献1向裕民圆环电流磁场的普遍分布J大学物理，1999年，第18卷第1期14172嘉木工作室Mathematica应用实例教程M机械工业出版社2002年3TIAN Ye （田野），KONG Xiang-Yan （孔祥燕），WANG HuiWu（王会武），ZHAO ShiPing （赵 士平），CHEN GengHua （陈腐华），YANG Qiansheng （杨乾声），CAO LieZhao （曹烈兆）Current Density and Local Magnetic Field of spontaneous Magnetization States in One Dimensional Superconducting Corner Junction Arrays CHIN. PHYS. LETT 2004 1344 1347;Nikolai Nikolov. A Geneializaton of an Iiieequality from IMO 2005. aiXiv:math.9 2005-12, 8: 1-64李永平，张帆圆环电流的磁场分布J济南大学学报1998年，第8卷第4期61645李久会椭圆电流焦点的磁场J辽宁工学院学报2002年4月，第22卷第2期69706赵锡平，李永平椭圆形电流环垂直轴上的磁场J青岛建筑工程学院学报1998年，第20卷 第2期1021017胡跃辉椭圆形电流的磁场分布J江西师范大学学报（自然科学版）2000年2月第24卷第1 期83868郭硕鸿电动力学M高等教育出版社19979王竹溪，郭敦仁特殊函数概论M北京大学出版社200010张强，孙建刚利用椭圆枳分法计算某些电磁场问题J山东大学学报（工学版），2003年4月第33卷第2期致谢本文的研究工作是在我的导师石东平教授的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学业和论文 的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血。导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献 精神使我深受的启迪。从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的 道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。在多年的学习生活中，还得到了许多领导和老师的热情关心和帮助，如吴强老师。在口常学习和生活中，我的师兄、弟及校友给予了我很大帮助。在此，向所有关心和帮助过我的领导、老师、同学和朋友表示由衷的谢意！i伯超2006年6月于重庆