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1本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分,小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算,拿到一个题就先去试数,或者是找规律,在性质分析层面几乎为 0,本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力,培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做,再去动手做”的思维模式.无论是小升初还是杯赛会经常遇到,但不会单独出题,而是结合其他知识点来考察学生综合能力.一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的数叫做奇数.通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示,奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示.特别注意,因为 0 能被 2 整除,所以 0 是偶数.二、奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数,奇数奇数=偶数 性质 2：偶数奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数奇数=偶数,奇数奇数=奇数,偶数偶数=偶数三、两个实用的推论推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性.推论 2：对于任意 2 个整数 a,b,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例例 1】1】1231993 的和是奇数还是偶数?【例例 1】从 1 开始的前 2005 个整数的和是_数(填：“奇”或“偶”).例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-15-1 奇数与偶数的性质与应用奇数与偶数的性质与应用2【巩固巩固巩固】2930318788 得数是奇数还是偶数?【巩固巩固巩固】123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数?为什么?【巩固巩固巩固】(200201202288151 152153233）（）得数是奇数还是偶数?【例例 2 2】12345679899 的计算结果是奇数还是偶数,为什么?【例例 3 3】东东在做算术题时,写出了如下一个等式：103813 7564,他做得对吗?【例例 4】4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差 150,那么这个数是多少?3【巩固巩固巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘,所得的两个乘积相差 80,那么这三个偶数的和是多少?【例例 5】5】能否在下式的“”内填入加号或减号,使等式成立,若能请填入符号,不能请说明理由.（1）1 2 3 4 5 6 7 8 910（2）1 2 3 4 5 6 7 8 927【例例 6】6】能否从四个 3,三个 5,两个 7 中选出 5 个数,使这 5 个数的和等于 22.【巩固巩固巩固】能否从、四个 6,三个 10,两个 14 中选出 5 个数,使这 5 个数的和等于 44.【例例 7】7】一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是 .【例例 8】8】多米诺骨牌是由塑料制成的 12 长方形,共 28 张,每张牌上的两个 11 正方形中刻有“点”,点的个数分别为 0,1,2,6 个不等,其中 7 张牌两端的点数一样,即两个 0,两个 1,两个 6;其余 21 张牌两端的点数不一样,所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同,且以点数相同的端相连,例如：现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链,如果在链的一端为 6 点,那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由 4【巩固巩固巩固】一条线段上分布着 n 个点,这些点的颜色不是黑的就是白的,它们将线段分为 n+1 段,已知线段两端的两个点都是黑的,而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数?【例例 9 9】沿着河岸长着 8 丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个问：8 丛植物上能否一共结有 225 个浆果?说明理由【例例 10 10】有一批文章共 15 篇,各篇文章的页数是 1 页、2 页、3 页、14 页和 15 页的稿纸,如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇?【巩固巩固巩固】一本故事书共有 30 个故事,每个故事分别占 1、2、3、30 页（未必按这个顺序）.第一个故事从第 1 页开始,每个故事都从新的一页开始,最多有_个故事是从奇数页开始的.【例例 11 11】有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最小数与最大数的乘积是一个奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数求这四个数【例例 12 12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数82,求这三个偶数5【例例 13 13】两个四位数相加,第一个四位数每个数码都小于 5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置,两个数的和可能是 7356 吗?为什么?【例例 14 14】任意交换某个三位数的数字顺序,得到一个新的三位数,原三位数与新三位数之和能否等于 999?模块二、奇偶分析法之代数法【例例 15 15】已知 a,b,c 是三个连续自然数,其中 a 是偶数.根据下面的的信息：小红说：“那么1a,2b,3c 这三个数的乘积一定是奇数”;小明：“不对1a,2b,3c 这三个数的乘积是偶数”.判断小红和小明两人的说法中正确的是 .【例例 16 16】试找出两个整数,使大数与小数之和加上大数与小数之差,再加上1000等于1999如果找得出来,请写出这两个数,如果找不出来,请说明理由【例例 17】17】是否存在自然数 a 和 b,使得 ab(ab)=115?【巩固巩固巩固】是否存在自然数a和b,使得515015ab ab（）?【巩固巩固巩固】是否存在自然数 a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327?6【例例 18】18】a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数,问这三个数中最多可以有几个奇数?【例例 19】19】已知 a,b,c 中有一个是 511,一个是 622,一个是 793.求证：(1)(2)(3)abc是一个偶数.【巩固巩固巩固】小红写了四个不同的非零整数 a,b,c,d,并且说这四个整数满足四个算式：1991abcda 1993abcdb 1995abcdc 1997abcdd 但是小明看过之后立刻说小红是错的,根不不存在这样的四个数,你能证明小明结论吗?【例例 20 20】设a,b,c,d,e,f,g都是整数,试说明：在,ab bc cd de ef fg ga中,必有奇数个偶数模块三、奇偶分析法之图论【例例 21 21】你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 33 的方格表中,使得每一行中的三个数之和都是偶数.【巩固巩固巩固】你能不能将整数 0 到 8 分别填入 33 的方格表中,使得每一行中的三个数之和都是奇数?7【例例 22 22】能否将116这 16 个自然数填入44的方格表中（每个小方格只填一个数）,使得各行之和及各列之和恰好是 8 个连续的自然数?如果能填,请给出一种填法;如果不能填,请说明理由【例例 23 23】在一张9行9列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列数加起来,填在这个方格中,例如538a 问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?a123 4 56 789987654321【巩固巩固巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来,填在这个方格,例如：5 315a 问填入的 81 个数中是奇数多还是偶数多?【例例 24 24】在“8 8”的方格中放棋子,每格至多放 1 枚棋子若要求8行、8列、30条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数那么“8 8”的方格中最多可以放多少枚棋子?第 11第【例例 25 25】有 8 个棱长是 1 的小正方体,每个小正方体有三组相对的面,第一组相对的面上都写着数字 1,第二组相对的面上都写着数字 2,第三组相对的面上都写着数字 3(如图)现在把这 8 个小正方体拼成一个棱长是 2 的大正方体.问：是否有一种拼合方式,使得大正方体每一个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数?123132 HGFEDCBA8模块四、奇偶分析法之生活运用【例例 26 26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑,甲是最后一个起跑的,在整个比赛过程中,甲与乙、丙的位置共交换了 9 次,则比赛的结果甲是第 名【例例 27 27】甲、乙两个哲人将正整数 5 至 11 分别写在 7 张卡片上他们将卡片背面朝上,任意混合之后,甲取走三张,乙取走两张剩下的两张卡片,他们谁也没看,就放到麻袋里去了甲认真研究了自己手中的三张卡片之后,对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数?答案是否唯一【例例 28 28】甲同学一手握有写着 23 的纸片,另一只手握有写着 32 的纸片乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以 3,右手中的数乘以 2,再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时,乙马上就猜出写有 23 的纸片握在甲的左手中你能说出是什么道理吗?【例例 29 29】在一次聚会时,朋友们陆续到来,见面时,有些人互相握手问好主人很高兴,笑着说：“不论你们怎样握手,你们之中,握过奇数次手的人必定有偶数个”请你想一想,主人为什么这么说,他有什么理由呢?【巩固巩固巩固】元旦前夕,同学们相互送贺年卡每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?为什么?【例例 30 30】四个人一道去郊游,他们年龄的和是 97 岁,最小的一人只有 10 岁,他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大 7 岁问：年龄最大的人是多少岁?另外两人的岁数的奇偶性相同吗?9【例例 31 31】圆桌旁坐着 2k 个人,其中有 k 个物理学家和 k 个化学家,并且其中有些人总说真话,有些人则总说假话今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多又当问及：“你的右邻是什么人”时,大家全部回答：“是化学家”那么请你证明：k 为偶数【例例 32 32】一个图书馆分东西两个阅览室东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯西阅览室里每张桌子上有 3盏灯现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数问：哪个阅览室的桌子数是奇数?【例例 33 33】四年级一班同学参加学校的数学竞赛,试题共 50 道,评分标准是：答对一道给 3 分,不答给 1 分,答错倒扣 1 分请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数【例例 34 34】师傅与徒弟加工同一种零件,各人把产品放在自己的箩筐里,师傅的产量是徒弟的 2 倍,师傅的产品放在 4 只箩筐中,徒弟的产品放在 2 只箩筐中,每只箩筐都标明了产品的只数：78 只,94 只,86 只,87 只,82 只,80 只根据上面的条件,你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?【巩固巩固巩固】商店一次进货 6 桶,重量分别为 15 千克、16 千克、18 千克、19 千克、20 千克、31 千克.上午卖出去 2 桶,下午卖出去 3 桶,下午卖得的钱数正好是上午的 2 倍.剩下的一桶重 千克.10【例例 35 35】李东到商店买练习本.每本 3 角,共买 9 本.服务员问：“你有零钱吗?”李东说：“我带的全是5 角一张的”.服务员说：“真不巧,您没有 2 角一张的,我的零钱全是 2 角一张的,这怎么办?”你帮李东想一想,他至少应该给服务员_张 5 角币.模块五、奇偶分析法之简单操作找规律【例例 36 36】在黑板上写（2,2,2）三个数,把其中的一个 2 抹掉后,改写成其余两数的和减 1,得（2,2,3）,再把两个 2 中的一个 2 抹掉后,写成其余两数的和减 1,得（2,4,3）,再把 2 抹掉后写其余两数的和减 1,得（6,4,3）,继续这一过程,是否能得到（859,263,597）?【巩固巩固巩固】有一串数,最前面的四个数依次是 1、9、8、7.从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字,那么在这一串数中,会依次出现 1、9、8、8 这四个数吗?【巩固巩固巩固】在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成其它两数之和,这样继续操作下去,最后得到66,88,154问：原来写的三个整数能否为 1,3,5?【例例 37 37】数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,的排列规律是前两个数是1,从第三个数开始,每一个数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数?【巩固巩固巩固】八十个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行的最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,问最右边的一个数是奇数还是偶数?11【例例 38 38】黑板上写着两个数 1 和 2,按下列规则增写新数,若黑板有两个数 a 和 b,则增写 abab 这个数,比如可增写 5（因为 12125）增写 11（因为 151511）,一直写下去,问能否得到 2008,若不能,说明理由,若能则说出最少需要写几次得到?【例例 39 39】黑板上一共写了 10040 个数字,包括 2006 个 1,2007 个 2,2008 个 3,2009 个 4,2010 个 5每次操作都擦去其中 4 个不同的数字并写上一个第 5 种数字（例如擦去 1、2、3、4 各 1 个,写上 1个 5;或者擦去 2、3、4、5 各一个,写上一个 1;）.如果经过有限次操作后,黑板上恰好剩下了两个数字,那么这两个数字的乘积是 【例例 40 40】一个质数连乘 4 次再加上 3 是质数,求这个数连乘 5 次再加上 3 是多少?【例例 41 41】桌子上有 5 个开口向上的杯子,现在允许每次同时翻动其中的 4 个,问能否经过若干次翻动,使得 5 个杯子的开口全都向下?【巩固巩固巩固】桌面上 4 枚硬币向上的一面都是“数字”,另一面都是“国徽”,如果每次翻转 3 枚硬币,至少 次可使向上的一面都是“国徽”.【巩固巩固巩固】桌子上有 6 只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的 4 只杯子,问能否经过若干次翻动,使得全部杯子的开口全都向下?【巩固巩固巩固】桌子上有 6 只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的 5 只杯子,问能否经过若干次翻动,使得全部12杯子的开口全都向下?【巩固巩固巩固】在 8 个房间中,有 7 个房间开着灯,1 个房间关着灯如果每次拨动 4 个不同房间的开关,能不能把全部房间的灯都关上?为什么?【例例 42 42】有一个袋子里装着许多玻璃球这些玻璃球或者是黑色的,或者是白色的假设有人从袋中取球,每次取两只球如果取出的两只球是同色的,那么,他就往袋里放回一只白球;如果取出的两只球是异色的,那么,他就往袋里放回一只黑球他这样取了若干次以后,最后袋子里只剩下一只黑球请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球?【巩固巩固巩固】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球,现在小峰每次从口袋中取出 3 个球,如果发现三个球中有两个球的颜色相同,就将第三个球放还回口袋,如果三个球的颜色各不相同,就往口袋中放一个黄球,已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43 个,那么取到不能再取的时候,口袋里还有蓝球,那么蓝球有多少个?【例例 43 43】有大、小两个盒子,其中大盒内装 1001 枚白棋和 1000 枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑子放入大盒内;若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内问：从大盒内摸了 1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子?它们都是什么颜色?13【例例 44 44】用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数,要求这 5 个数的和的各位数字都是奇数,那么这个和数最大是
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