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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题的概念,2.四种命题及其关系,3.充分条件与必要条件,教材研读,考点一 四种命题的相互关系及真假判断,考点二 充分条件、必要条件的判断,考点三 充分条件、必要条件的探求及应用,考点突破,教材研读,1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.,2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系,(i)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.,3.充分条件与必要条件 (1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若pq,且q/ p,则p是q的充分不必要条件. (3)若p/ q,且qp,则p是q的必要不充分条件. (4)若pq,则p与q互为充要条件. (5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件. 提醒不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“pq”.,知识拓展 1.充分、必要条件的两个结论 (1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件; (2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.,2.充分、必要条件与集合的关系,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)“x2+2x-30”是命题.( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.( ) (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ),答案(1)(2)(3)(4),2.(教材习题改编)下列命题是真命题的是() A.矩形的对角线相等 B.若ab,cd,则acbd C.若整数a是素数,则a是奇数 D.命题“若x20,则x1”的逆否命题,答案A,A,3.命题“若ab,则a-1b-1”的否命题是() A.若ab,则a-1b-1 B.若ab,则a-1b-1 C.若ab,则a-1b-1 D.若ab,则a-1b-1,答案C,C,4.命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是() A.若xy,则x2y2 D.若xy,则x2y2,答案B,B,5.设xR,则“2-x0”是“(x-1)21”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案B由2-x0,得x2,由(x-1)21,得0 x2,所以“2-x0”是“(x-1)21”的必要不充分条件.,B,6.(教材习题改编)命题p:x2=3x+4,命题q:x=,则p是q的条 件.,答案必要不充分,解析当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=不成立,即p/ q. 当x=时,x0,3x+40,则x2=3x+4,即qp, 所以p是q的必要不充分条件.,四种命题的相互关系及真假判断,考点突破,典例1(1)命题“若x2+y2=0,x,yR,则x=y=0”的逆否命题是() A.若xy0,x,yR,则x2+y2=0 B.若x=y0,x,yR,则x2+y20 C.若x0且y0,x,yR,则x2+y20 D.若x0或y0,x,yR,则x2+y20,D,(2)有以下命题: “若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; “面积相等的两个三角形全等”的否命题; “若m1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; “若AB=B,则AB”的逆否命题. 其中真命题为() A.B.C.D.,D,答案(1)D(2)D(3)C,(3)原命题:“设a,b,cR,若ab,则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有() A.0个B.1个C.2个D.4个,解析(1)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可. (2)“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题; “面积不相等的两个三角形一定不全等”是真命题; 若m1,则=4-4m0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题; 由AB=B,得BA,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题.所以选D.,C,(3)原命题:若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为“设a,b,cR,若ac2bc2,则ab”.由ac2bc2知c20,由不等式的基本性质得ab,逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,真命题共有2个.故选C.,规律总结 1.写一个命题的其他三种命题时的两个注意点 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写成“若p,则q”的形式; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应地也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.,2.判断命题的真假的两种方法 (1)直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明过程;判断一个命题是假命题,只需举出一个反例. (2)间接判断:当一个命题不易直接判断真假时,可转化为判断其等价命题的真假.,1-1已知命题:如果x3,那么x5;命题:如果x3,那么x5;命题:如果x5,那么x3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是 () 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆命题; 命题是命题的逆命题,且命题是命题的否命题; 命题是命题的否命题,且命题是命题的逆否命题. A.B. C.D.,答案A,A,1-2已知集合P=,Q=,记原命题:“若x P,则xQ”,那么在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是() A.0B.1C.2D.4,C,答案C因为P=,Q= ,所以P Q, 所以原命题:“xP,则xQ”为真命题, 则原命题的逆否命题为真命题. 原命题的逆命题:“xQ,则xP”为假命题, 则原命题的否命题为假命题, 所以真命题的个数为2.,充分条件、必要条件的判断,典例2(1)(2018北京,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2019成都模拟)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,则“sin Asin B”是“tan Atan B”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,B,C,答案(1)B(2)C,解析(1)本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质. 由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立; 当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B. (2)因为ABC是锐角三角形,所以sin Asin BAB0tan Atan B, 所以“sin Asin B”是“tan Atan B”的充要条件,故选C.,方法技巧 判断充要条件的三种常用方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与BA的等价性.对于条件或结论为否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.,易错警示 判断充要条件需注意以下三点 (1)要分清条件与结论分别是什么; (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断; (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.,2-1(2019河北石家庄质量检测)已知p:-1x2,q:log2x1,则p是q成立的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案B由log2x1,解得0x2,所以-1x2是log2x1的必要不充分条件,故选B.,B,2-2设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案Dab不能推出a2b2,例如a=-1,b=-2;a2b2也不能推出ab,例如a=-2,b=1.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.,D,2-3(2018天津,4,5分)设xR,则“”是“x31”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,A,答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断. 由得-x-,解得0x1. 由x31得x1.当0x1时能得到x1一定成立;当x1时,0x1不一定成立.所以“”是“x31”的充分而不必要条件.,充分条件、必要条件的探求及应用,典例3(1)(2019湖南湘东五校联考)“不等式x2-x+m0在R上恒定成立”的一个必要不充分条件是() A.mB.00D.m1 (2)已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“xP”是“xS”的必要条件,则m的取值范围是.,C,答案(1)C(2)0,3,解析(1)若不等式x2-x+m0在R上恒成立,则=(-1)2-4m,因 此当不等式x2-x+m0在R上恒定成立时,必有m0,但当m0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m0.,(2)由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由“xP”是“xS”的必要条件,知SP. 则 0m3. 当0m3时,“xP”是“xS”的必要条件.,探究(变问法)本例(2)条件不变,若“xP”是“xS”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.,解析易知P=x|-2x10, 因为“xP”是“xS”的必要不充分条件, 所以PS. 所以-2,10 1-m,1+m. 所以或 所以m的取值范围是9,+).,方法技巧 根据充要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列关于参数的不等式(组)求解.,易错警示 求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值的处理,尤其是利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号能否取得决定着端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.,3-1使“a0,b0”成立的一个必要不充分条件是() A.a+b0B.a-b0 C.ab1D.1,答案A由a0,b0a+b0,反之不成立,而由a0,b0不能推出a-b0,ab1,1,故选A.,A,3-2若“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件,则a的最小值为.,答案3,解析由x2-x-60,解得x3. 因为“x2-x-60”是“xa”的必要不充分条件, 所以x|xa是x|x3的真子集, 即a3,故a的最小值为3.,
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