资源描述
第七章 统计与概率 7.2 概率,中考数学 (广东专用),考点一事件,A组 2014-2018年广东中考题组,五年中考,1.(2016茂名,4,3分)下列事件中,是必然事件的是() A.两条线段可以组成一个三角形 B.400人中有两个人的生日在同一天 C.早上的太阳从西方升起 D.打开电视机,它正在播放动画片,答案B在一定条件下,一定会发生的事件叫必然事件.一年最多有366天,所以400人中必有两个人的生日在同一天,故选B.,2.(2015梅州,4,3分)下列说法中正确的是() A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后6点朝上是必然事件 B.甲、乙两人各进行10次射击,两人射击成绩的方差分别为=2,=4,则甲的射击成绩更稳 定 C.“明天降雨的概率为”,表示明天有半天都在降雨 D.了解一批电视机的使用寿命,适合用普查的方式,答案B方差描述一组数据的稳定性,方差越小,数据越稳定,B选项正确,故选B.,3.(2014梅州,2,3分)下列事件中是必然事件的是() A.明天太阳从西边升起 B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 C.实心铁球投入水中会沉入水底 D.抛出一枚硬币,落地后正面朝上,答案CA项是不可能事件,B、D项为不确定事件,故选C.,考点二概率,1.(2018广州,6,3分)甲袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,乙袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,从两个口袋中各随机取出1个小球,取出的两个小球上都写有数字2的概率是() A.B.C.D.,2.(2014广东,6,3分)一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,4个白球,从布袋中随机摸出1个球,摸出的球是红球的概率为() A.B.C.D.,答案B因为随机摸出一球的所有等可能的结果共有7种,其中摸出一个红球的等可能的结果有3种,所以摸出的球是红球的概率为,故选B.,3.(2018深圳,14,3分)任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数为奇数的概率为.,答案,解析任意掷一枚质地均匀的骰子,共有6种等可能的结果:1、2、3、4、5、6,其中奇数的有3种情况:1、3、5,故点数为奇数的概率为=.,思路分析根据题意,列出所有可能的结果,进而求点数为奇数的概率.,方法总结正确列出所有可能的结果是解决本题的关键.,4.(2016长沙,18,3分)若同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是.,答案,5.(2017广东,14,4分)在一个不透明的盒子中,有五个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5.随机摸出一个小球,摸出的小球标号为偶数的概率是.,答案,解析因为五个数中,有两个偶数,所以随机摸出一个小球,标号为偶数的概率为.,6.(2017深圳,14,3分)在一个不透明的袋子里,有2个黑球和1个白球,除了颜色外全部相同,任意摸两个球,摸到一黑一白的概率是.,答案,解析解法一: 用a1,a2表示两个黑球,用b表示白球,画树状图如下: 任意摸两个球,共有六种情形:(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2),其中一黑一白的情形有四种, P(一黑一白)=. 解法二: 列表如下(a1,a2表示两个黑球,b表示白球):,由表格可知,任取两个球共有6种情形,其中一黑一白有4种情形,所以P(一黑一白)=.,7.(2016梅州,9,4分)在一个不透明的口袋中,装有若干个除颜色不同外,其余都相同的小球.如果袋中装有3个红球,且从袋中随机摸出一个球是红球的概率为,那么口袋中小球共有 个.,答案15,解析设口袋中共有x个小球,则=,解得x=15,经检验,x=15是分式方程的根.故口袋中共有 15个小球.,8.(2015梅州,11,3分)一个学习兴趣小组有4名女生,6名男生,现要从这10名学生中选出一人担任组长,则女生当选组长的概率是.,答案,解析这10名学生中有4名女生,所以女生当选组长的概率为=.,9.(2017广州,19,10分)某班为了解学生一学期做义工的时间情况,对全班50名学生进行调查,按做义工的时间t(单位:小时),将学生分成五类:A类(0t2),B类(28),绘制成尚不完整的条形统计图如图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)E类学生有人,补全条形统计图; (2)D类学生人数占被调查总人数的%; (3)从该班做义工时间在0t4的学生中任选2人,求这2人做义工时间都在2t4 中的概率.,解析(1)5. (2)36. (3)从该班做义工时间在0t4的学生中任选2人,即在A、B两类学生中任选2人,设Ai表示A类学生,Bj表示B类学生,i=1,2,j=1,2,3. 画树状图如下:,共有45=20种情形,其中两人都在2t4中的有6种情形. 所求概率P=.,一题多解(3)(列举法)用Ai表示A类学生,Bj表示B类学生,i=1,2,j=1,2,3.在A、B两类学生中任选2人,共有10种情形:(A1,A2)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,B3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,B3)、(B1,B2)、(B1,B3)、(B2,B3),其中两人都在2t4中的有3种情形,所求概率P=.,10.(2016茂名,20,7分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀. (1)随机抽取一张卡片,求抽到数字“2”的概率; (2)随机抽取一张卡片,然后,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法求出 抽到数字“1”且抽到数字“2”的概率.,解析(1)P(抽到数字“2”)=.(3分) (2)列表如下(画树状图正确也给满分).(6分),共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的结果有1种, P(第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”)=.(7分),11.(2015广州,22,12分)4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品. (1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率; (2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率; (3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?,解析(1)P(抽到不合格品)=. (2)解法一(列举法): 设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3.任意抽取2件产品,所有可能出现的结果有(A,B1)、 (A,B2)、(A,B3)、(B1,B2)、(B1,B3)、(B2,B3),共有6种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足抽取2件,都是合格品的结果有3种,P(都是合格品)=. 解法二(列表法): 设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3. 根据题意,列表如下:,由表可知所有等可能出现的结果有12种,其中满足条件的结果有6种, P(都是合格品)=. 解法三(画树状图法): 设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3. 根据题意,画出树状图如下: 由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中都是合格品的有6种. P(都是合格品)=. (3)抽到合格品的频率稳定在0.95, 抽到合格品的概率为0.95. 根据题意,得=0.95,解得x=16. 经检验,x=16是原方程的解且符合题意. 答:可以推算x的值大约是16.,考点一事件,B组 2014-2018年全国中考题组,1.(2018内蒙古包头,4,3分)下列事件中,属于不可能事件的是() A.某个数的绝对值大于0 B.某个数的相反数等于它本身 C.任意一个五边形的外角和等于540 D.长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形,答案C某个数的绝对值大于0,是随机事件,某个数的相反数等于它本身,是随机事件,所以选项A,B不符合题意;五边形的外角和等于360,不可能等于540,所以选项C是不可能事件,符合题意;选项D为必然事件,不符合题意.故选C.,2.(2018福建,6,4分)投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.则下列事件为随机事件的是() A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12,答案D投掷两枚质地均匀的骰子,向上一面的点数之和一定大于1,故选项A是必然事件,选项B是不可能事件;一枚骰子向上一面的点数最大是6,因此点数之和最大为12,选项C为不可能事件,故选D.,3.(2017沈阳,8,2分)下列事件中,是必然事件的是() A.将油滴入水中,油会浮在水面上 B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯 C.如果a2=b2,那么a=b D.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上,答案A将油滴入水中,油会浮在水面上,是必然事件.B、C、D都是随机事件,故选A.,4.(2016湖北武汉,4,3分)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋子中一次摸出3个球.下列事件是不可能事件的是() A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球 C.摸出的是2个白球、1个黑球 D.摸出的是2个黑球、1个白球,答案A袋子中只有2个白球,所以“摸出的是3个白球”是不可能事件.故选A.,5.(2015辽宁沈阳,3,3分)下列事件为必然事件的是() A.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 B.明天一定会下雨 C.抛出的篮球会下落 D.任意买一张电影票,座位号是2的倍数,答案CA项,经过有交通信号灯的路口,有可能遇到红灯,也有可能遇到黄灯或绿灯,所以“经过有交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件;B项,明天可能下雨,也可能不下雨,所以“明天一定会下雨”是随机事件;C项,抛出的篮球在地球引力的作用下一定会下落,所以“抛出的篮球一定会下落”是必然事件;D项,任意买一张电影票,座位号可能是奇数,也可能是偶数,所以“任意买一张电影票,座位号是2的倍数”是随机事件.故选C.,6.(2015江西南昌,18,6分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个. (1)先从袋子中取出m(m1)个红球,再从袋子中随机摸出1个球.将“摸出黑球”记为事件A. 请完成下列表格:,(2)先从袋子中取出m个红球,再放入m个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个球是黑球的概率等于,求m的值.,解析(1),(说明:第一个空填对得1分,第二个空填对得2分)(3分) (2)依题意,得=,解得m=2.(6分),考点二概率,1.(2018贵州贵阳,8,3分)如图,小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子,且两个棋子不在同一条网格线上,其中恰好摆放成如图所示位置的概率是() A.B.C.D.,答案A如图. 两个棋子不在同一条网格线上,两个棋子必在对角线上, 有6条对角线供这两个棋子摆放,且每条对角线两端点皆可摆放黑、白棋子,有62=12种等可能的情况,而满足题意的只有一种,故恰好摆放成如题图所示位置的概率是.故选A.,2.(2017内蒙古包头,7,3分)在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中有5个黄球,4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为,则随机摸出一个红球的 概率为() A.B. C.D.,答案A设有红球x个,根据题意得=,解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的根.则随 机摸出一个红球的概率是=.,思路分析根据随机摸出一个蓝球的概率求出红球的个数,则红球的个数与总个数之比即为随机摸出一个红球的概率.,3.(2015河北,13,2分)将一质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是() A.B. C.D.,答案B任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,向上一面的点数有6种情况,与点数3相差2的点数为1或5, 任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,向上一面的点数与点数3相差2的概率为=.故 选B.,4.(2014江苏苏州,5,3分)如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60的扇形.任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是() A.B. C.D.,答案D一个转盘被分成6个相同的扇形,阴影区域有4个扇形,指针指向阴影区域的概率为=.,5.(2018四川成都,12,4分)在一个不透明的盒子中,装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个,从中随机摸出一个乒乓球,若摸到黄色乒乓球的概率为,则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 .,答案6,解析该盒子中装有黄色乒乓球的个数为16=6.,6.(2016哈尔滨,19,3分)一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球都是白球的概率为.,答案,7.(2016重庆,16,4分)从数-2,-,0,4中任取一个数记为m,再从余下的三个数中,任取一个数记 为n.若k=mn,则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是.,答案,解析画树状图如下: 共有12种情况, 当正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限时,k0, k=mn,mn0,符合条件的情况有2种,正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是=.,8.(2015内蒙古呼和浩特,13,3分)如图,四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是各边的中点,随机地向菱形ABCD内掷一粒米,则米粒落到阴影区域内的概率是.,答案,解析连接BD.因为点H、E分别是AD、AB的中点,所以HE是ADB的中位线,所以HEDB,HE=DB,所以AHEADB,所以SAHE=SADB=S菱形ADCB,易证S阴影=S菱形ADCB,则米粒落到阴 影区域内的概率是.,9.(2018云南昆明,18,6分)为了促进“足球进校园”活动的开展,某市举行了中学生足球比赛活动.现从A,B,C三支获胜足球队中,随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流. (1)请用列表或画树状图的方法(只选择其中一种),表示出抽到的两支球队的所有可能结果; (2)求出抽到B队和C队参加交流活动的概率.,解析(1)列表如下:,(3分) 或画树状图如下: (3分) (2)由(1)可知,可能出现的结果共有6种,并且它们出现的可能性相同.(4分) 抽到B队和C队参加交流活动的情况共有2种:(B,C),(C,B), P(抽到B队和C队)=.(6分),10.(2018辽宁沈阳,19,8分)经过校园某路口的行人,可能左转,也可能直行或右转.假设这三种可能性相同,现有小明和小亮两人经过该路口,请用列表法或画树状图法,求两人之中至少有一人直行的概率.,解析依据题意,列表得,或画树状图得 由表格(或树状图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人中至少有一人直行的结果有5种,分别为(左转,直行),(直行,左转),(直行,直行),(直行,右转),(右转,直行).P(两人中至少有一人直行)=.,11.(2018贵州贵阳,21,10分)图是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,图是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏.规则是:将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几,就从图中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点.第二次从第一次的终点处开始,按第一次的方法跳动. (1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点C处的概率是; (2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点C处的概率.,解析(1). (2)向上3个面的数字之和可能是6,7,8,9,列表如下:,由表格可知,总共有16种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中,棋子最终跳动到点C处的结果有(6,8),(7,7),(8,6),共3种,所以P(棋子最终跳动到点C处)=.,12.(2014安徽,21,12分)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1. (1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少? (2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.,解析(1)小明可选择的情况有三种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子AA1的情况有一种,所以小明恰好选中绳子AA1的概率P=.(4分) (2)依题意,分别在两端随机选两个绳头打结,总共有9种情况,列表或画树状图表示如下,每种情况发生的可能性相同.,(9分) 其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况不可能连接成一根长绳. 所以能连接成一根长绳的情况有6种: 左端连AB,右端连A1C1或B1C1; 左端连BC,右端连A1B1或A1C1; 左端连AC,右端连A1B1或B1C1. 故这三根绳子能连接成一根长绳的概率P=.(12分),考点一事件,C组 教师专用题组,1.(2018黑龙江齐齐哈尔,9,3分)下列成语中,表示不可能事件的是() A.缘木求鱼 B.杀鸡取卵 C.探囊取物 D.日月经天,江河行地,答案A爬到树上找鱼,是找不到的,所以“缘木求鱼”是不可能事件;杀了鸡,可能取到卵,也可能取不到卵,所以“杀鸡取卵”是随机事件;伸手到口袋里拿东西,可能拿得到,也可能拿不到,所以“探囊取物”是随机事件;“日月经天,江河行地”的意思是太阳和月亮每天经过天空,江河永远流经大地,是必然事件.故选A.,2.(2016辽宁沈阳,5,2分)“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是() A.确定事件B.必然事件 C.不可能事件D.不确定事件,答案D不确定事件即随机事件,是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.显然,事件“射击运动员射击一次,命中靶心”是不确定事件,故选D.,3.(2015福建龙岩,4,4分)下列事件中,属于随机事件的是() A.的值比8大 B.购买一张彩票,中奖 C.地球自转的同时也在绕日公转 D.袋中只有5个黄球,摸出一个球是白球,答案B购买一张彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以中奖是随机事件,A、D是不可能事件,C是必然事件,故选B.,4.(2014河南,5,3分)下列说法中,正确的是() A.“打开电视,正在播放河南新闻节目”是必然事件 B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖 C.神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样检查 D.了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查,答案D选项A是随机事件;选项B中中奖概率为10%仅指事件发生的可能性,不一定中奖;选项C中神舟飞船发射前对零部件检查必须是全面检查,A、B、C均错,故选D.,考点二概率,1.(2015山东临沂,7,3分)一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起.则其颜色搭配一致的概率是() A.B. C.D.1,答案B列表如下:,所有等可能的结果共有4种,其中搭配一致的有2种,因此P(杯盖与杯子搭配一致)=. 故选B.,2.(2015山东威海,10,3分)甲、乙两布袋都装有红、白两种小球,两袋装球总数相同,两种小球仅颜色不同.甲袋中,红球个数是白球个数的2倍;乙袋中,红球个数是白球个数的3倍.将乙袋中的球全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸出一个球,摸出红球的概率是() A.B. C.D.,答案C设甲袋中白球的个数为x,那么红球的个数为2x;乙袋中白球的个数为y,那么红球的个数为3y.根据题意,得3x=4y,球的总个数为3x+4y,红球的总个数为2x+3y,则将乙袋中的球全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸出一个球,摸出红球的概率是=.故选C.,3.(2014浙江宁波,7,4分)如图,在22的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使ABC为直角三角形的概率是() A.B. C.D.,答案D除A、B两点外,余下的7个点中有4个点均可与点A、B组成直角三角形,所求概率P=.故选D.,4.(2014浙江杭州,9,3分)让图中两个转盘分别自由转动一次,当转盘停止转动时,两个指针分别落在某两个数所表示的区域,则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于() A.B. C.D.,答案C共有16种等可能情况, 这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的有: 1+1=2,1+2=3,1+3=4,2+1=3,2+2=4,2+4=6, 3+1=4,3+3=6,4+2=6,4+4=8,共10种, 其概率为=,故选C.,5.(2018北京,14,2分)从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:,早高峰期间,乘坐(填“A”“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.,答案C,解析由表格可知,A、B、C三条线路不超过45分钟的频数分别为376、222、477.因为222 376477,所以从甲地到乙地“用时不超过45分钟”可能性最大的是乘坐C线路上的公交车.,思路分析本题需要通过表格中的数据计算用时不超过45分钟的频数和.,解题关键解决本题的关键是要通过表格中的数据算出每条线路上500个班次的公交车中用时不超过45分钟的频数.,6.(2018内蒙古呼和浩特,14,3分)已知函数y=(2k-1)x+4(k为常数),若从-3k3中任取k值,则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为.,答案,解析由题意可知2k-10,解得k0.5,所以0.5k3,则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率是=.,7.(2018四川成都,22,4分)汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,四个直角三角形都是全等的,它们的两直角边之比均为23.现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在阴影区域的概率为.,答案,解析设直角三角形的两直角边长分别是2x,3x(x0),则题图中大正方形边长是x,小正方 形边长为x,S大正方形=13x2,S小正方形=x2,则S阴影=12x2,P(针尖落在阴影区域)=.,8.(2016天津,15,3分)不透明袋子中装有6个球,其中有1个红球、2个绿球和3个黑球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率是.,答案,解析P(取到绿球)=.,9.(2016河南,12,3分)在“阳光体育”活动时间,班主任将全班同学随机分成了4组进行活动,该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是.,答案,解析设4个组分别是1,2,3,4,画树状图如下. 共有16种等可能的结果,其中小明和小亮同学被分在同一组的情况有4种,所以小明和小亮同学被分在同一组的概率P=.,10.(2016北京,13,3分)林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据:,估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为.,答案0.880(答案不唯一),解析由题意可知,移植成活的频率在0.880左右波动.用频率来估计概率,则成活的概率为0.880.,11.(2015内蒙古包头,16,3分)一个不透明的布袋里装有5个球,其中4个红球和1个白球,它们除颜色外其余都相同,现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是红球的概率为,则n= .,答案1,解析由题意知=,解得n=1,当n=1时,3(n+5)0,所以n=1.,12.(2015湖南郴州,15,3分)在m26m9的“”中任意填上“+”或“-”号,所得的代数式为完全平方式的概率为.,答案,解析画树状图如下: 由图可知,共有4种等可能的结果,当第一个方框中填“+”或“-”,第二个方框中填“+”时,所得的代数式为完全平方式,所以所求概率为=.,13.(2014辽宁沈阳,14,4分)如图,ABC三边的中点D,E,F组成DEF,DEF三边的中点M,N,P组成MNP,将FPM与ECD涂成阴影.假设可以随意在ABC中取点,那么这个点取在阴影部分的概率为.,答案,解析题图中的三角形都是相似三角形, SEDC =SABC,SFMP=SFED=SABC , 所以S阴影=SABC, 点取在阴影部分的概率为P=.,14.(2014天津,15,3分)如图,是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌.将它们洗匀后正面向下放在桌子上,从中任意抽取一张,则抽出的牌点数小于9的概率为.,答案,解析在这13张牌中,只有A、2、3、4、5、6、7、8这8张的牌点数小于9,每张牌被抽到的可能性相同,故抽出的牌点数小于9的概率为.,15.(2014山西,14,3分)甲、乙、丙三位同学打乒乓球,想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下:三人同时各用一只手随机出示手心或手背,若只有两人手势相同(都是手心或都是手背),则这两人先打;若三人手势相同,则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是.,答案,解析分别用A,B表示手心,手背.画树状图如图: 共有8种等可能的结果,通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球有4种情况, 通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是=.,16.(2014甘肃兰州,16,4分)在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀.从口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x,放回袋中搅匀,然后从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y,则点P(x,y)落在直线y=-x+5上的概率是.,答案,解析列表如下:,共有16种等可能的结果, 其中(x,y)满足y=-x+5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), 故点P(x,y)落在直线y=-x+5上的概率为=.,17.(2018云南,19,7分)将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同,若背面向上放在桌面上,这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后,背面向上放在桌面上,从中先随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为x;再把剩下的两张卡片洗匀后,背面向上放在桌面上,再从这两张卡片中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为y. (1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法,写出(x,y)所有可能出现的结果; (2)求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.,解析(1)解法一:列表如下:,(x,y)所有可能出现的结果共有6种,分别为(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2).(5分) 解法二:画树状图如图,(x,y)所有可能出现的结果共有6种,分别为(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2).(5分) (2)由列表法或树状图法可知,在6种等可能出现的结果中,两张卡片上的数字之和为偶数的有2种情况,即(1,3)、(3,1). 所求概率P=.(7分),18.(2018重庆,20,8分)某初中学校举行毛笔书法大赛,对各年级同学的获奖情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据解答下列问题: (1)请将条形统计图补全; (2)获得一等奖的同学中有来自七年级,有来自八年级,其他同学均来自九年级.现准备从获,得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛,请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.,解析(1)1025%=40,40-8-6-12-10=4(人). 故获得一等奖的人数为4. 补全条形统计图,如图所示.(4分) (2)由(1)得,七年级有1人获得一等奖,八年级有1人获得一等奖,九年级有2人获得一等奖,设七年级同学为甲,八年级同学为乙,九年级同学为丙、丁,则用如图所示的树状图列举出所有可能出现的结果,(6分) 或用表格列举出所有可能出现的结果.,(6分) 由上可知,出现等可能的结果共12种,其中既有七年级同学又有九年级同学的结果有4种,所以P(所选出的两人中既有七年级同学又有九年级同学)=.(8分),思路分析(1)先利用获得参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再计算出获得一等奖的人数,然后补全条形统计图; (2)画树状图或列表表示所有等可能的结果数,再找出所选出的两人中既有七年级同学又有九年级同学的结果数,然后利用概率公式求解.,方法指导解决此类题的方法,通常是结合两种统计图,对照统计图中各已知量,分析要求解的量.一般地,先求出总量,再由总量及每一部分中的一个已知量求出另一个未知量,由此逐一求出所有的未知量,从而由所得结果补全统计图.,解题关键读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.,19.(2016安徽,21,12分)一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数. (1) 写出按上述规定得到所有可能的两位数; (2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.,解析(1)按规定得到所有可能的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88. (6分) (2)这些两位数共有16个,其中算术平方根大于4且小于7的共有6个,分别为17,18,41,44,47,48. 则所求概率P=.(12分),20.(2015贵州遵义,22,10分)有甲、乙两个不透明的盒子,甲盒子中装有3张卡片,卡片上分别写着3 cm、7 cm、9 cm;乙盒子中装有4张卡片,卡片上分别写着2 cm、4 cm、6 cm、8 cm;盒子外有一张写着5 cm的卡片.所有卡片的形状、大小都完全相同.现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片,与盒子外的卡片放在一起,用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度. (1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率; (2)求这三条线段能组成直角三角形的概率.,解析(1)列表:,或,树状图: (5分) 由列表(或树状图)可知,所有可能的结果共有12种,能组成三角形的有7种. P(能组成三角形)=.(7分) (2)由列表(或树状图)可知,所有可能的结果共有12种,能组成直角三角形的只有1种.P(能组成直角三角形)=.(10分),21.(2015茂名,20,7分)在一个不透明的袋中有2个黄球,3个黑球和5个红球,它们除颜色外其他都相同. (1)将袋中的球摇均匀后,求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率; (2)现在再将若干个红球放入袋中,与原来的10个球均匀地混在一起,使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是,请求出后来放入袋中的红球的个数.,解析(1)P(摸出一个球是黄球)=. 答:从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为.(3分) (2)设后来放入x个红球,则=,(5分) 解得x=5.(6分) 经检验,符合题意.答:后来放入5个红球.(7分),22.(2016陕西,22,7分)某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶装饮料,它们分别是:绿茶(500 mL)、红茶(500 mL)和可乐(600 mL).抽奖规则如下:如图是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样;参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”);假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;当顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品.,根据以上规则,回答下列问题: (1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率; (2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.,解析(1)一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率是.(2分) (2)由题意,列表如下:,(5分) 由表格可知,共有25种等可能的结果,获得一瓶可乐的结果共两种:(可,乐),(乐,可). P(该顾客获得一瓶可乐)=.(7分),考点一事件,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,1.(2018江门五校联考,1)下列事件中是必然事件的是() A.打开电视,正在播广告 B.掷两枚质地均匀的骰子,点数之和一定大于6 C.某射击运动员射击一次,命中靶心 D.早晨的太阳从东方升起,答案D打开电视,正在播广告,是不确定事件,故A选项错误;掷两枚质地均匀的骰子,点数之和一定大于6是不确定事件,故B选项错误;某射击运动员射击一次,命中靶心是不确定事件,故C选项错误;早晨的太阳从东方升起是必然事件,故D选项正确.故选D.,2.(2018广州海珠期末调研,3)下列事件中是不可能事件的是() A.三角形内角和小于180 B.两实数之和为正 C.买体育彩票中奖 D.抛一枚硬币2次都正面朝上,答案A三角形的内角和为180,所以选项A为不可能事件,故选A.,3.(2018江门二中月考,4)下列事件中,是必然事件的有() 打开电视,正在播放新闻;某彩票中奖率是1%,买100张一定会中奖;在装有7个红球的袋中摸出1球,是红球;明天是晴天;中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮. A.1个B.2个C.3个D.4个,答案A是不确定事件;是不确定事件;是必然事件;是不确定事件;是不确定事件,所以必然事件只有,故选A.,4.(2018东莞一模,6)一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球,每个球除了颜色外都相同,从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是() A.至少有1个球是红球 B.至少有1个球是白球 C.至少有2个球是红球 D.至少有2个球是白球,答案B袋子中装有2个红球、3个白球,从中任意摸出3个球,共有3种情况:3个均为白球,2个白球1个红球,2个红球1个白球,所以“至少有1个球是白球”是必然事件.,5.(2017江门二模,3)下列事件中,必然事件是() A.掷一枚硬币,正面朝上 B.a是实数,|a|0 C.某运动员跳高的最好成绩是2.1 米 D.从车间刚生产的产品中任意抽取一个,是次品,答案BA、C、D均为不确定事件,只有B是必然事件,故选B.,6.(2016深圳福田调考,4)下列说法中正确的是() A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件 B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件 C.“概率为0.000 1的事件”是不可能事件 D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的次数一定是5次,答案B因为等边三角形是轴对称图形,所以“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”为必然事件,故A选项错误;“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,故B选项正确;“概率为0.000 1的事件”是不确定事件,故C选项错误;任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的次数不一定是5次,故D选项错误.因此选B.,考点二概率,1.(2018阳江江城模拟,2)小张抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的可能性是() A.25%B.50%C.75%D.85%,答案B抛一枚质地均匀的硬币,共有两种等可能的结果:正面朝上和反面朝上,故P(正面朝上)=50%.,2.(2018惠州惠城期末,4)一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,投掷这样的骰子一次,向上一面的点数是偶数的结果有() A.1种B.2种C.3种D.6种,答案C投掷一枚质地均匀的骰子,向上的面共有6种等可能的结果:1,2,3,4,5,6,其中偶数的情况有3种:2,4,6.故选C.,3.(2018江门五校联考,4)小玲在一次班会中参与知识抢答活动,现有语文题6个,数学题5个,英语题9个,她从中随机抽取1个,抽中数学题的概率是() A.B. C.D.,答案A现有语文题6个,数学题5个,英语题9个,共20个,小玲从中随机抽取1个,抽中数学题的概率是=,故选A.,4.(2018汕头龙湖期末,2)一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球,其中4个是黄球,2个是白球.从该盒子中任意摸出一个球,摸到黄球的概率是() A.B. C.D.,答案A从中摸出一个球共有6种等可能的结果:黄1、黄2、黄3、黄4、白1、白2,其中是黄球的有4种情况, P(任意摸出一个球,摸到黄球)=.,5.(2018深圳23校联考,4)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45,则布袋中白色球的个数可能是() A.28B.24C.16D.6,答案C多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.15和0.45, 摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45, 摸到白色球的概率为1-0.15-0.45=0.4, 布袋中白色球的个数可能为0.440=16.,6.(2017中山二模,5)用频率估计概率时,可以发现:抛掷硬币,“正面朝上”的概率为0.5,这是指() A.连续掷2次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次 B.连续抛掷100次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次 C.抛掷2n次,恰好有n次“正面朝上” D.抛掷n次,当n越来越大时,正面朝上的频率会越来越稳定于0.5,答案D正面朝上与反面朝上的可能性一样大,随着试验次数的增多,正面朝上的频率稳定在0.5附近,故选D.,7.(2017梅州二模,7)小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图所示的靶子,点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点,且EFAB,点M、N是EF上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是() A.B. C.D.,答案C根据三角形面积公式及矩形的面积公式得矩形ABFE的面积是ABM面积的2倍,矩形EFCD的面积是CDN面积的2倍,故阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半,所以飞镖落在阴影部分的概率是,故选C.,8.(2018广州海珠期末调研,11)在一个有15万人的小镇上,随机调查了1 000人,其中200人会在日常生活中进行垃圾分类,那么在该镇随机调查1个人,会在日常生活中进行垃圾分类的概率是.,答案,解析样本中,随机调查1人,会在日常生活中进行垃圾分类的概率为=,所以总体中,随 机调查1人,会在日常生活中进行垃圾分类的概率也为.,9.(2018惠州一模,13)在一次抽奖活动中,中奖概率是0.12,则不中奖的概率是.,答案0.88,解析抽奖的结果只有中奖和不中奖两种结果,因为中奖的概率是0.12,所以不中奖的概率为 1-0.12=0.88.,10.(2018深圳福田八校联考,14)在一个不透明的袋子中有3个白球和1个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机摸出一个球并记下颜色放回,再随机地摸出一个球,则两次都摸到白球的概率为.,答案,解析用白1,白2,白3表示3个白球,画树状图如下: 由图可知,共有16种等可能的结果,其中9种符合条件,所以P(两次都摸到白球)=.,11.(2017佛山二模,12)色盲是伴X染色体隐性遗传病,患者中男性远多于女性,从男性体检信息库中随机抽取体检表,统计结果如下表:,根据上表,估计在男性中,男性患色盲的概率为(结果精确到0.01).,答案0.07,解析根据表中数据知男性患色盲的频率稳定在0.07附近,故男性患色盲的概率为0.07.,12.(2016湛江二模,12)如图,数轴上有两点A,B,在线段AB上任取一点C,则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是.,答案,解析设点C表示的数为x,依题意知,|x-1|2,-2x-12,-1x3,又AB=6,所求概率P=.,13.(2016深圳罗湖调考,14)一个袋子中装有3个红球和2个绿球,这些球除了颜色外都相同,从袋子中随机摸出一个球,则摸到红球的概率是.,答案,解析摸到红球的概率为=.,14.(2018广州海珠期末调研,19)如图,将甲转盘三等分,乙转盘四等分,自由转动转盘. (1)转动甲转盘,指针指向的数字小于3的概率是; (2)同时自由转动两个转盘,求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率.,解析(1). (2)根据题意,画树状图如下: 由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两个转盘指针指向的数字均为奇数的有4种,所以P(两个转盘指针指向的数字均为奇数)=.,15.(2018汕头龙湖期末,19)甲口袋中装有3个小球,分别标有号码1,2,3,乙口袋中装有2个小球,分别标有号码1,2,这些球除数字外完全相同.从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球,则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少?,解析根据题意,画树状图得: 共有6种等可能的结果,这两个小球的号码相同的有2种情况, 这两个小球的号码相同的概率为=.,16.(2018江门五校联考,21)不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中白球有2个,黄球有1个,现从中任意摸出一个是白球的概率为. (1)试求袋中蓝球的个数; (2)第一次任意摸一个球(不放回),第二次再摸一个球,请用画树状图或列表法求两次摸到都是白球的概率.,解析(1)设袋中蓝球的个数为x. 从中任意摸出一个球是白球的概率为, =, 解得x=1,经检验,x=1是方程的解且符合题意. 袋中蓝球个数为1. (2)用白1,白2表示2个白球.根据题意,画树状图得:,由图可知,共有12种等可能的结果,两次摸到都是白球的有2种情况, P(两次摸到都是白球)=.,17.(2016梅州三模,19)现有方块和梅花两种图案的扑克牌,其中方块扑克牌有两张,分别是方块2和方块3,把牌洗好后,从中任意摸出一张扑克牌,是方块的概率为. (1)求梅花扑克牌的张数; (2)第一次任意摸出一张扑克牌不放回,第二次再摸出一张扑克牌.请用画树状图或列表的方法,求两次摸到相同图案扑克牌的概率.,解析(1)设梅花扑克牌的张数为x, 依题意得=. x=3. 经检验,x=3是原方程的根. 答:梅花扑克牌的张数为3. (2)树状图如下(a1,a2表示两张方块,b1,b2,b3表示三张梅花): 共有20种等可能的结果,其中两次摸到相同图案扑克牌的情况有8种,所以概率为=.,一、选择题(每小题3分,共12分),B组20162018年模拟提升题组 (时间:55分钟分值:85分),1.(2017汕尾二模,8)如图,在55的正方形网格中,从点A,B,C,D(均在格点处)中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为() A.B. C.D.,答案D从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的可能情况一共有4种,其中ABD,ADC,ABC是直角三角形,所以构成的三角形恰好是直角三角形的概率为,故选D.,2.(2017清远二模,8)一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.将骰子抛掷两次,掷第一次,将朝上一面的点数记为x,掷第二次,将朝上一面的点数记为y,则点(x,y)落在直线y=-x+5上的概率为() A.B. C.D.,答案C由树状图或列表可得,正方体骰子抛掷两次后点(x,y)的所有情况共有36种,而满足y=-x+5的情况为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1),共4种,所以所求概率P=,故选C.,3.(2016中山三模,6)有三张正面分别写有数字-1,1,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为a的值,然后从剩余的两张卡片中随机抽取一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率是() A.B. C.D.,答案B所得点的所有可能的情形为(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1),共六种,其中点在第二象限的情形有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为=,故选B.,4.(2016紫金调考,5)在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,他们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有 () A.16个B.15个C.13个D.12个,答案D设白球的个数为x,摸到红球的频率稳定在25%附近,从口袋中摸到红球的概率为25%,=,解得x=12,经检验,x=12是原分式方程的根.故口袋中白球可能有12个,选D.,二、填空题(每小题4分,共16分),5.(2018揭阳惠来模拟,12)从-3,-2,2,3,4这5个数中随机抽取一个作为反比例函数y=(k0)的k 的值,则使得反比例函数在每个象限内y的值随x的增大而增大的概率为.,答案,解析要使反比例函数y=(k0)在每个象限内y的值随x的增大而增大,必须k0,所以所求概 率为.,6.(2017中山三模,13)如果m是从0,1,2,3四个数中任意取的一个数,n是从0,1,2三个数中任意取的一个数,那么关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率为.,答案,解析m,n的所有取值情况共12种. 由方程有实数根可得,(-2m)2-4n20, m0,n0,mn. 使方程有实数根的情况为m=0,n=0;m=1,n=0;m=1,n=1;m=2,n=0;m=2,n=1;m=2,n=2;m=3,n=0;m=3,n=1;m=3,n=2,共9种情况,所以所求概率为=.,7.(2017海丰三模,14)对于平面内凸四边形ABCD,现从以下四个关系:AB=CD;AD=BC;ABCD;A=C中任意取两个作为条件,能够得出四边形ABCD是平行四边形的概率为.,答案,解析从四个关系中任意取两个作为条件,共有6种取法,即,其中可判断四边形ABCD为平行四边形的有3种取法,即,所以所求概率为.,8.(2016肇庆三模,14)同时投掷三枚质地均匀的硬币一次,三枚硬币朝上的面相同的概率为.,答案,解析设三枚硬币分别为a,b,c,同时投掷三枚硬币的所有可能情况为(a正,b正,c正),(a正,b正,c反),(a正,b反c正),(a正,b反,c反),(a反,b正,c正),(a反,b正,c反),(a反,b反,c正),(a反,b反,c反),共有八种可能,朝上的面相同的有两种,所以概率为=.,三、解答题(共57分),9.(2018深圳突破模拟,18)某电视台的一档娱乐性节目中,在游戏PK环节,为了随机分选游戏双方的组员,主持人设计了以下游戏:用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1,只露出它们的头和尾(如图所示),由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳,并拉出,若两人选中同一根细绳,则两人同队,否则互为反方队员. (1)若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出,求他恰好抽出细绳AA1的概率; (2)请用画树状图法或列表法求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率.,解析(1)共有三根细绳,且抽出每根细绳的可能性相同, 甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出,恰好抽出细绳AA1的概率是. (2)根据题意,画树状图得: 共有9种等可能的结果,其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有3种情况, 所以P(甲、乙两位嘉宾能分为同队)=.,10.(2018惠州英华学校模拟,21)甲、乙、丙三人之间相互传球,球从一个人手中随机传到另一个人手中,共传球三次. (1)若开始时球在甲手中,求经过三次传球后,球传回到甲手中的概率是多少? (2)若丙想使球经过三次传递后,球落在自己手中的概率最大,丙会让球开始时在谁手中?请说明理由.,解析(1)由题意,画树状图如图1: 图1 由图1可知,三次传球有8种等可能的结果,其中传回到甲手中的有2种情况,即甲乙丙甲,甲丙乙甲, 经过三次传球后,球传回到甲手中的概率为=. (2)同(1)可分别画开始时在乙和丙手中情况的树状图如图2和图3:,由树状图可知,从甲开始传球,传球三次后传到丙手中的概率为,从乙开始传球,传球三次后传 到丙手中的概率为,从丙开始传球,传球三次后传到丙手中
展开阅读全文