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北师大版九年级下册数学,3.7切线长定理,1.如何过O外一点P画出O的切线？,2.这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线.,3.如果P=50,求AOB的度数.,50,130,O,情境导入,本节目标,1.理解切线长的概念，掌握切线长定理 2.学会运用切线长定理解有关问题 3通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想,1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,4,2,x,x,【解析】设OA=xcm；,在RtOAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2，,即42+x2=(x+2)2,整理，得x=3.,所以，半径OA的长为3cm.,预习反馈,A,B,C,D,E,F,2.设ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长.,.,I,【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.,预习反馈,O,A,B,P,如何用圆规和直尺 作出这两条 切线呢？,.,思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则OAP=90, 连接OP，可知A,B 除了在O上，还在怎样的圆上?,课堂探究,O,P,A,B,O,课堂探究,过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,课堂探究,切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.,比一比： 切线与切线长,课堂探究,O,A,B,P,1,2,思考：已知O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?,折一折,课堂探究,请证明你所发现的结论.,PA=PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点， OAPA，OBPB.即OAP=OBP=90， OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP(HL) PA = PB， OPA=OPB.,证一证,课堂探究,切线长定理,PA，PB分别切O于A，B，PA=PB,OP平分APB.,过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.,几何语言:,课堂探究,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,PA =PB,OPA=OPB,课堂探究,A,P,O,B,若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点， PA=PB，OPA=OPB. PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. OP垂直平分AB.,试一试,课堂探究,A,P,O,.,B,若延长PO交O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB. 又 PC=PC. PCAPCB ，BC=AC.,C,课堂探究,.,P,B,A,O,（3）连接圆心和圆外一点,（2）连接两切点,（1）分别连接圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.,想一想,课堂探究,探究：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，直线OP交O于点D，E，交AB于点C.,B,A,P,O,C,E,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB ABOP,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,D,课堂探究,AOPBOP， AOCBOC， ACPBCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP，AOB,（3）写出图中所有的全等三角形,B,A,P,O,C,E,D,课堂探究,【例1】ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.,【解析】,设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x.,由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14，,解得x=4., AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.,典例精析,【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.,证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD， 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等,D,L,M,N,A,B,C,O,P,典例精析,切线的6个性质： （1）切线和圆只有一个公共点. （2）切线和圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于过切点的半径. （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点. （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. （6）切线长定理.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,本课小结,1（珠海中考）如图，PA,PB是 O的切线， 切点分别是A,B，如果P60,那么AOB等 于（ ）,A.60 B.90 C.120 D.150,C,随堂检测,2.（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ） A2 B3 C D,随堂检测,【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是直角三角形，且OBA=90,OAB=30,又因为内切圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么这个正三角形的边长为 .,A,B,随堂检测,3.已知：如图,PA,PB是O的切线，切点分别是A,B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求PEF的周长.,【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB., PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.,周长为24cm.,
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