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4.3等腰三角形与直角三角形,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一等腰三角形,1.(2016湖南怀化,8,4分)等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cm,答案C已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,当腰长是4cm时,三角形的三边长分别为4cm,4cm,8cm,这违背了三角形任意两边之和大于第三边的原理;当腰长是8cm时,三角形的三边长分别为8cm,8cm,4cm,符合三角形的三边关系,此时三角形的周长是20cm.故选C.,2.(2016湖南湘西,14,4分)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是()A.13cmB.14cmC.13cm或14cmD.以上都不对,答案C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,此时,等腰三角形的周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,此时,等腰三角形的周长为14cm,故选C.,思路分析分4cm为等腰三角形的腰长和5cm为等腰三角形的腰长,先判断是否符合三角形的三边关系,再求周长.,易错警示此题是等腰三角形的性质题,主要考查了等腰三角形的性质.易在两个方面出错:忽视三角形的三边关系;没有进行分类讨论.,3.(2015湖南湘西,16,3分)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分ABC,A=36,则1的度数为()A.36B.60C.72D.108,答案CAB=AC,A=36,ABC=ACB=(180-A)=72.BD平分ABC,ABD=ABC=36,1是ABD的外角,1=A+ABD=236=72,故选C.,4.(2018湖南湘潭,12,3分)如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=.,答案30,解析ABC是等边三角形,BAC=60,AB=AC.又点D是边BC的中点,BAD=BAC=30.,思路分析根据等腰三角形三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质求解.,5.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=36,将ABC中的A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE=,则BC的长是.,答案,解析AB=AC,A=36,B=ACB=72,将ABC中的A沿DE向下翻折,使点A落在点C处,AE=CE,A=ECA=36,CEB=72,BC=CE=AE=.,思路分析由折叠的性质可知AE=CE,再证明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解.,解题关键本题考查了等腰三角形的判定和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理,证明BCE是等腰三角形是解题的关键.,6.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则BCE的周长为.,答案13,解析DE垂直平分AB,AE=BE,BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,7.(2017湖南株洲,22,8分)如图所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.求证:DAEDCF.,证明四边形ABCD是正方形,EDF是等腰直角三角形,ADC=EDF=90,AD=CD,DE=DF,ADE+ADF=ADF+CDF,ADE=CDF,在ADE和CDF中,ADECDF.,1.(2018湖南衡阳,16,3分)将一副三角板如图放置,使点A落在DE上,若BCDE,则AFC的度数为.,考点二直角三角形,答案75,解析BCDE,FBC=EAB=45,AFC是AEF的外角,AFC=FAE+E=45+30=75.,2.(2018湖南湘潭,15,3分)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.,答案x2+32=(10-x)2,解析AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在RtABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.故可列方程为x2+32=(10-x)2.,3.(2017湖南益阳,10,3分)如图,ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD=.,答案6.5,解析在ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,AC2+BC2=52+122=132=AB2,ABC为直角三角形,且ACB=90,CD是AB边上的中线,CD=AB=13=6.5.,4.(2015湖南株洲,15,3分)如图是“赵爽弦图”,ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么AH等于.,答案6,解析设AH=x,则AE=x+2,BH=AE=x+2.在RtABH中,AB2=AH2+BH2,即102=x2+(x+2)2,解得x1=6,x2=-8(舍),故AH=6.,5.(2014湖南邵阳,17,3分)如图,在RtABC中,C=90,D为AB的中点,DEAC于点E.A=30,AB=8,则DE的长度是.,答案2,解析D为AB的中点,AB=8,AD=4,DEAC于点E,A=30,DE=AD=2.,B组20142018年全国中考题组,考点一等腰三角形,1.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,答案D依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5个等腰三角形.故选D.,2.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.,答案80,解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,3.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为.,解析如图,在ABC中,设AB=AC,BDAC于D.若三角形是锐角三角形,则A=90-36=54,此时,底角=(180-54)2=63;若三角形是钝角三角形,则BAC=36+90=126,此时,底角=(180-126)2=27.综上,该等腰三角形底角的度数是63或27.,答案63或27,评析本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理,属容易题.,4.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D.求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36,ABC=C=72.BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD.BDC=A+ABD=72,BDC=C,BD=BC,AD=BC.,5.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线,ADBC,BAD=CAD.BEAC,BEC=ADC=90.CBE=90-C,CAD=90-C.CBE=CAD.CBE=BAD.,考点二直角三角形,1.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A.2aB.2aC.3aD.a,答案BCDAB,CD=DE=a,CE=a,在ABC中,ACB=90,点E是AB的中点,AB=2CE=2a,故选B.,2.(2016湖北荆州,8,3分)如图,在RtABC中,C=90,CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为()A.1B.2C.3D.4,答案ADE垂直平分AB,DA=DB,B=DAB.AD平分CAB,CAD=DAB.C=90,3CAD=90,CAD=30.AD平分CAB,DEAB,CDAC,CD=DE=BD.BC=3,CD=DE=1.,3.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2km.故选D.,4.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.,答案3,解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.,5.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4cm,则EF的长为cm.,解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,答案(+),一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2cm,ABD=30,BD=AD=4cm,CBD=45,BC=2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,解后反思将原图形补充成梯形,利用梯形中位线的性质:梯形的中位线=(上底+下底)求解,熟记一些结论有利于快速解题.,C组教师专用题组,考点一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PCAB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.7,答案D如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形;如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形;如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形;,如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形;如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.,3.(2016湖南邵阳,8,3分)如图所示,点D是ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是()A.ACBCB.AC=BCC.AABCD.A=ABC,答案AAD=BD,A=ABD,ABC=ABD+DBC,ABCA,ACBC.,4.(2016湖南邵阳,13,3分)将等边CBA绕点C顺时针旋转得到CBA,使得B,C,A三点在同一直线上,如图所示,则的大小是.,答案120,解析CBA是等边三角形,CBA旋转到CBA,ACB=ACB=60,ACB=60.由题意可知,BCB是旋转角,=BCB=120.,5.(2017湖北武汉,21,8分)如图,ABC内接于O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=,求AC和CD的长.,解析(1)证明:连接BO.AB=AC,OB=OC,A、O在线段BC的中垂线上,AOBC.又AB=AC,AO平分BAC.(2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DKAO,交AO于点K.由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6,BH=CH=BC=3,COH=BOC,BAC=BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=sinBAC=.,CH=3,sinCOH=,CO=AO=5,OH=4,AH=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK=.在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3,tanCAH=,AC=3,由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH=.设DK=3a(a0),在RtADK中,tanDAK=,在RtDOK中,tanDOK=,OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5,a=,DO=5a=,CD=OC+DO=5+=.,一题多解(1)证明:连接OB.AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO.即AO平分BAC.(2)过点C作CEAB,交AB于点E,sinBAC=,可设AC=5m(m0),则EC=3m,AE=4m,BE=m.在RtCBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36,解得m=(舍负),AC=3.延长AO交BC于点H,则AHBC,且BH=CH=3,过点O作OFAH,交AB于点F,BOC=2BAC,BOC=2HOC,BAC=HOC,sinHOC=sinBAC=,又HC=3,OC=5,OH=4,AH=OA+OH=9,tanBAH=,OF=OA=.OFBC,=,即=,解得DC=.,6.(2017四川成都,27,10分)问题背景:如图1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于点D,则D为BC的中点,BAD=BAC=60,于是=;图1迁移应用:如图2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.,图2,求证:ADBAEC;请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.图3证明:CEF是等边三角形;若AE=5,CE=2,求BF的长.,解析迁移应用证明:ABC和ADE都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,又DAE=BAC=120,DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC.ADBAEC(SAS).DC=AD+BD.详解:由问题背景可知,在ADE中,有DE=AD,由可知,BD=EC,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸证明:如图所示,连接BE.,C,E关于BM对称,BE=BC,FE=FC,EBF=CBF,EFB=CFB,四边形ABCD是菱形,且ABC=120,AB=BC=BE.过B作BGAE,则AG=GE,ABG=GBE,GBF=GBE+EBF=ABC=120=60.CFB=EFB=30,即EFC=60.CEF为等边三角形.AE=5,GE=GA=,EF=CE=2,GF=GE+EF=,在RtGBF中,GFB=30,BF=3.,思路分析迁移应用:根据SAS证全等.由问题背景可知,DE=AD,由可得,EC=BD,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸:要证明CEF为等边三角形,根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只需证明EFB=30即可.在的基础上,易得GE=AE=,EF=2,则GF=GE+EF=.在RtGBF中,BF=3.,7.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC,BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABDACE,BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,8.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系;(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积;(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点,MNAC.(3分)(2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG.根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积.AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,SAFGE=AEGC=12,线段MN扫过区域的面积为12.(7分)(3)解法一:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分)ii)当MD=DN时,AD=DC,过D作DHAC交AC于H,则AH=AC=3,cosA=,AD=t=5.(11分)iii)当DN=MN=3时,AC=DC.连接MC,则CMAD.cosA=,即=,AM=,AD=t=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分),解法二:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分)ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD,ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD,在RtABC中,AB=10,t=AD=AB=5.(11分)iii)当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAB.,SACB=BCAC=ABMC,CM=.在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分),9.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC的平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1,图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD=2.(4分)(2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.DAE=60,ADE=30.,AE=AD,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD.FDH=FAE.(7分)FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等边三角形.(9分)理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,点G为AB的中点,CG=AG.又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.FGC=30,FGC=EAC.FGCEAC(SAS).(11分)CF=CE,ACE=GCF.ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60,CEF是等边三角形.(12分),10.(2014黑龙江哈尔滨,28,10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD.(1)求证:ABC为等腰三角形;(2)M是线段BD上一点,BMAB=34,点F在BA的延长线上,连接FM,BFM的平分线FN交BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连接MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH之间的数量关系,并证明你的结论.,解析,(1)证明:如图1,作BAP=DAE,AP交BD于P,图1,设CBD=,CAD=,ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD,APE=ADB,AP=AD,(1分)ACBD,PAE=DAE=,(2分),PAD=2,BAD=3,BAD=3CBD,3=3,=,(3分)ACBD,ACB=90-=90-,ABC=180-BAC-ACB=90-,ACB=ABC,(4分)AB=AC,ABC为等腰三角形.(5分)(2)2MH=FM+CD.(6分)证明:如图2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=,ABPACD,ABE=ACD,(7分)ACBD,GDN=90-,GN=GD,GND=GDN=90-,AGF=NGD=2,AFG=BAD-AGF=3-2=,FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分)H为BF中点,BF=2MH,在FB上截取FR=FM,连接RM,图2FRM=FMR=90-,ABC=90-,FRM=ABC,RMBC,CBD=RMB,CAD=CBD=,RMB=CAD.(9分)又RBM=ACD,RMBDAC,=,FB-FM=BR=CD.2MH=FM+CD.(10分),评析本题是一道综合题,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的判定等知识,所探究的线段之间的数量关系较复杂,综合性较强,属难题.,考点二直角三角形,1.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()A.B.C.D.,答案A过F作FGAB于点G,AF平分CAB,ACB=90,FC=FG.易证ACFAGF,AC=AG.5+6=90,B+6=90,5=B.3=1+5,4=2+B,1=2,3=4,CE=CF.AC=3,AB=5,BC=4.在RtBFG中,设CF=x(x0),则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.,2.(2014湖南张家界,7,3分)如图,在RtABC中,ACB=60,DE是斜边AC的中垂线,分别交AB、AC于D、E两点,若BD=2,则AC的长是()A.4B.4C.8D.8,答案BACB=60,B=90,A=30,DE是AC的中垂线,AD=CD,ECD=A=30.BCD=ECD=30,又B=DEC=90,CD=CD,CEDCBD,ED=BD=2,CE=2,AC=2CE=4,故选B.,3.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为.,答案4或4,思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,5.(2015山东聊城,15,3分)如图,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是.,答案,解析C=90,A=30,AB=6,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=ABC=30,点D到AB的距离等于DC,在RtBDC中,DC=tanDBCBC=3=,点D到AB的距离等于.,6.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为.,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.(2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合,此时BM=BM=BC=.综上所述,BM的长为1或.,答案或1,7.(2015辽宁辽阳,15,3分)如图,在ABC中,BDAC于D,点E为AB的中点,AD=6,DE=5,则线段BD的长等于.,答案8,解析BDAC于D,点E为AB的中点,DE=5,AB=2DE=25=10,在RtABD中,BD=8.,8.(2018浙江杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.(1)若A=28,求ACD的度数;(2)设BC=a,AC=b.线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由;若AD=EC,求的值.,解析(1)ACB=90,A=28,B=62,由题意知BD=BC,BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31.(2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下:由勾股定理得AB=,AD=-a,解方程x2+2ax-b2=0,得x=-a,线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.AD=AE,AD=EC,AE=EC=,由勾股定理得a2+b2=,整理得=.,思路分析(1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据ACD为BCD的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解方程,比较即可;根据勾股定理及等量关系列出等式,化简、整理即可.,方法总结本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟练应用勾股定理是解题的关键.,9.(2015广西柳州,21,6分)如图,在ABC中,D为AC边的中点,且DBBC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在ABC中,求BC边上高的长.,解析(1)DBBC,BC=4,CD=5,BD=3.(2)过点A作AECB,交CB的延长线于点E,DBBC,AEBC,AEDB,D为AC边的中点,BD=AE,AE=6,即BC边上高的长为6.,思路分析(1)直接利用勾股定理得出BD的长;(2)作BC边上的高线AE,利用三角形中位线定理得BD=AE,即可得到结论.,A组20162018年模拟基础题组考点一等腰三角形,三年模拟,1.(2018湖南邵阳模拟,8)下列命题正确的有()以40角为内角的两个等腰三角形必相似;若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为75;一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;一个等腰直角三角形的三边长分别是a、b、c(ab=c),那么a2b2c2=211;若ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则此三角形为等腰直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个,答案A以40角为内角两个等腰三角形有2种情况,一是顶角为40的等腰三角形,二是底角为40的等腰三角形,那么这两个三角形不相似,所以此命题不正确;高在三角形内部时,顶角为30度,底角为75度;高在三角形外部时,顶角的补角为30度,底角为15度,所以有2种情况,所以此命题不正确;一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是梯形,所以此命题不正确;一个等腰直角三角形的三边长分别是a、b、c(ab=c),a为等腰直角三角形的斜边,a2=2b2=2c2,a2b2c2=211,此命题正确;a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13.52+122=132,512,ABC是直角三角形,而不是等腰直角三角形.此命题不正确.因此命题正确的有1个.故选A.,评析此题主要考查三角形内角和定理,平行四边形的判定,相似三角形的判定,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质,配方法的应用等知识点,属于难题.,2.(2017湖南株洲三模,6)等腰三角形顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()A.42B.60C.36D.46,答案A如图,ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.A=84,且AB=AC,ABC=C=(180-84)2=48.在RtBDC中,BDC=90,C=48,DBC=90-48=42.故选A.,3.(2017湖南湘潭四模,10)如图,过边长为3的等边ABC的边AB上一点P,作PEAC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为()A.1B.C.2D.不能确定,答案B如图,过P作PFBC交AC于点F,PFBC,ABC是等边三角形,PFD=QCD,APF=B=60,AFP=ACB=60,A=60,APF是等边三角形,AP=PF=AF.PEAC,AE=EF,AP=PF,AP=CQ,PF=CQ,在PFD和QCD中,PFDQCD,FD=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=3,DE=.故选B.,4.(2016湖南娄底新化一模,16)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长是.,答案7,解析x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1.当三角形的腰为3,底为1时,三角形的周长为3+3+1=7;当三角形的腰为1,底为3时不符合三角形三边的关系,舍去.故该三角形的周长为7.,考点二直角三角形,1.(2018湖南益阳模拟,8)直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角度数为()A.150B.135C.120D.120或135,答案B直角三角形中,两锐角的度数和为90,则两锐角的各一半的度数和为45,根据三角形内角和为180,可得钝角度数为135,故选B.,2.(2018湖南长沙周南中学模拟,8)如图,MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,则运动过程中,点D到点O的最大距离为()A.+1B.C.D.,答案A如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,ODOE+DE,当O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大,此时,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,OE=AE=AB=1,DE=,OD的最大值为+1.故选A.,解题关键取AB的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长,再根据勾股定理求出DE的长,两者相加即可得解.,评析本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系,矩形的性质,勾股定理,根据三角形的三边关系判断出O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大是解题的关键.,3.(2017辽宁沈阳一模,9)如图,折叠直角三角形ABC纸片,使两锐角顶点A、C重合,设折痕为DE.若AB=4,BC=3,则BD的长是()A.B.1C.D.,答案A由题意知AD=DC,设DB=x,则AD=4-x,故DC=4-x,DBC=90,DB2+BC2=DC2,即x2+32=(4-x)2,解得x=,BD=.故选A.,4.(2018湖南株洲模拟,16)如图,在ABC中,C=90,BAC=60,D为BC上一点,过点D作DEAB,垂足为E,连接AD,若CD=DE=1,则AB的长为.,答案2,解析在ABC中,C=90,DEAB,CD=DE=1,BAC=60,CAD=BAD=BAC=30,在ADE中,AED=90,EAD=30,AD=2DE=2,在ADC中,C=90,AC=,在ABC中,C=90,B=90-BAC=30,AB=2AC=2.,5.(2018湖南永州模拟,15)如图,已知ABC中,AB=AC,C=30,ABAD,AD=4,则BC=.,答案12,解析AB=AC,C=30,B=30,又ABAD,ADB=60,DAC=30,AD=DC=4,在RtABD中,B=30,AD=4,BD=8,BC=BD+DC=8+4=12.,一、选择题(每小题3分,共3分),B组20162018年模拟提升题组(时间:15分钟分值:25分),1.(2017湖南长沙周南中学联考,10)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为()A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2,答案A如图,由题可知,AB=a,且CAB=CBA=45,AC=BC=a,SABC=aa=,又正八边形中间是边长为a的正方形,阴影部分的面积为a2+4a2=2a2,故选A.,二、填空题(每小题4分,共4分),2.(2017湖南邵阳五模,15)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点.若ABE=EBC,AB=2,则平行四边形ABCD的周长是.,答案12,解析ADBC,AEB=EBC,ABE=EBC,ABE=AEB,AB=AE,E是AD边上的中点,AD=2AB,AB=2,AD=4,平行四边形ABCD的周长=2(4+2)=12.,3.(2018湖南新化模拟,25)已知:如图所示,ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为vp=2cm/s,vQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts.(1)当t何值时,PBQ为等边三角形?(2)当t何值时,PBQ为直角三角形?,三、解答题(共18分),解析由题意可知AP=2tcm,BQ=tcm,则BP=AB-AP=(6-2t)cm,其中0t3.(1)当PBQ为等边三角形时,有BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,经检验,符合题意.当t=2s时,PBQ为等边三角形.(2)当PQBQ时,PBQ为直角三角形.B=60,BPQ=30,在RtPBQ中,BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5,经检验,符合题意.当PQBP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4,经检验,符合题意.综上可知当t为1.5s或2.4s时,PBQ为直角三角形.,解题关键本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质,利用t表示出BP和BQ,化“动”为“静”是解题的关键.,4.(2018湖南新晃模拟,26)ABC的边BC在直线l上,点D、E是直线l上的两点,且BA=BD,CA=CE.(1)如图1,若AB=AC,BAC=90,求DAE的度数;(2)如图2,若BAC=90,求DAE的度数;(3)如图3,设BAC=,DAE=,请写出,之间的数量关系,并说明理由.,解析(1)BA=BD,CA=CE,ADB=DAB,AEC=CAE,AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,ACB=AEC+CAE=2AEC,ABC=ADB+DAB=2ADB,AEC=ADB=45=22.5,DAE=180-AEC-ADB=135.(2)BAC=90,ACB+ABC=90,AB=BD,BAD=BDA,CA=CE,AEC=CAE,ACD=2CAE,ADB=ACD+DAC,BAD+DAC=90,2CAE+DAC+DAC=90,CAE+DAC=45,DAE=45.,BAD=BDA=,AC=CE,AEC=CAE=,BAC+DAE=+=BAD+CAE=,+=90.,(3)BAC=,ABC+ACB=180-,AB=BD,解题关键本题考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握三角形的性质是解题的关键.,思路分析(1)由等腰三角形的性质得到ADB=DAB,AEC=CAE,易知ABC=ACB=45,根据三角形的外角的性质即可求得AEC=ADB=22.5,然后根据三角形内角和定理得到结论;(2)由直角三角形的性质得到ACB+ABC=90,根据等腰三角形的性质得到BAD=BDA,AEC=CAE,于是得到ACD=2CAE,求得ADB=ACD+DAC,由于BAD+DAC=90,于是得到2CAE+DAC+DAC=90,进而求出CAE+DAC=45;(3)根据三角形的内角和得到ABC+ACB=180-,根据等腰三角形的性质得到BAD=BDA=,AEC=CAE=,由于BAC+DAE=+=BAD+CAE=,于是得到结果.,5.(2018湖南湘西保靖模拟,23)已知,在ABC中,AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.(1)当BAC=MBN=90时,如图a,当=45时,ANC的度数为;如图b,当45时,中的结论是否发生变化?说明理由;(2)如图c,当BAC=MBN90时,请直接写出ANC与BAC之间的数量关系,不必证明.,解析(1)BAC=90,=45,APBC,BP=CP(等腰三角形三线合一),AP=BP(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),又MBN=90,BM=BN,AP=PN(等腰三角形三线合一),AP=PN=BP=PC,且ANBC,四边形ABNC是正方形,ANC=45;连接CN,当45时,中的结论不发生变化.理由如下:BAC=MBN=90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=45,又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,ANC=ABC=45.(2)ANC=90-BAC.理由如下:BAC=MBN90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=(180-BAC),又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,ANC=ABC,在ABC中,ABC=(180-BAC)=90-BAC.,ANC=90-BAC.,评析本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质.(1)与(2)中,先根据两角对应相等,两三角形相似求出两边对应成比例,再根据两边对应成比例,夹角相等得到另两个相似三角形是解题的关键.,6.(2017湖南衡阳三模,26)如图甲,在ABC中,ACB=90,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0t4),解答下列问题:(1)设APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?(2)如图乙,连接PC,将PQC沿QC翻折,得到四边形PQPC,当四边形PQPC为菱形时,求t的值;(3)当t为何值时,APQ是等腰三角形?,解析(1)如图,过点P作PHAC于H,ACB=90,ACBC,PHBC,APHABC,=,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,=,PH=cm,AQP的面积S=AQPH=t=-+,又0t4,当t=时,S取得最大值,且最大值为cm2.(2)如图,连接PP,设PP交QC于E,当四边形PQPC为菱形时,PE垂直平分QC,即PEAC,QE=EC,易证APEABC,=,AE=-t+4,QE=AE-AQ=-t+4-t=-t+4,又QE=QC=(4-t)=-t+2,-t+4=-t+2,解得t=,04,当四边形PQPC为菱形时,t的值是.(3)由(1)易知,PE=-t+3,与(2)同理得,QE=AE-AQ=-t+4,PQ=,在AQP中,当AQ=AP,即t=5-t时,解得t1=;当PQ=AQ,即=t时,解得t2=,t3=5;当PQ=AP,即=5-t时,解得t4=0,t5=;0t4,t=5,t=0不合题意,舍去,当t为或或时,APQ是等腰三角形.,解题关键利用含t的代数式表示各线段的长是解决本题的关键,注意分类讨论思想的应用.,
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