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,与前面的计算结果很接近 说明底部剪力法的计算结果是可靠的。,36 结构自振周期和振型的计算 做一个建筑物的抗震设计，首先要求这个结构的自振周期，如果采用振型分解反应谱法，还要用到振型。如何求得结构的自振周期和振型。 手算方法（近似计算） 计算机算法（较精确算法） 基本周期 多个周期及振型 一、能量法(Rayleigh method),理论基础：能量守恒原理 无阻尼自由振动时 动能+变形位能 不变(常量) 结构以某频率（相应振型）振动时,位移,其中 为相应频率 的振型,速度,则 体系变形位能达到最大值,体系的动能达到最大值,（变形位能为零）,（动能为零）,能量守恒,可求得j、 j 是哪一个自振频率，看振型。 振型是未知的。实用算法，假定振型。,将质点的重量水平作用在质点上，求出相应的变形,根据此振型可求得自振频率,由于,体系最大变形位能,体系最大动能,例 求两层框架的基本周期（能量法） 如图，G1=400KN G2=300KN K1=14280KN/m K2=10720KN/m （1）求层间剪力（G1、G2 作用下） 首层剪力 二层剪力 （2）计算层位移 （3）计算基本周期,G1,K2,G2,K1,例 如图为三层框架结构，假定其横梁刚度无穷大。各层质量分别为m1=2561t, m2=2545t, m3=559t.各层刚度分别为k1=5. 43105 KN/m, k2=9.03105KN/m, k3= 8.23105KN/m。用能量法求基本周期和振型,解 （1）求重力荷载水平作用下的位移 层间剪力,各层位移,k1,k2,k3,（2）结构基本频率及振型,为提高精度，可进一步迭代。各质点的惯性力,各层位移,二、折算质量法 也是一种近似方法，也只是求基本频率 体系以第一频率（振型）振动时 动能最大值 原体系 等效体系,Meq,mi,两者相等,则 基频,单位力水平作用下顶点位移,顶点作用单位力时各质点的水平位移。,F=1,xi,等效质量法 频率相等，得,对于多个质量，有,于是，有,即Dunkeley公式。可以证明，得出的结果小于真实频率。,例 用折算质量法求自振周期（基本周期）,在顶部施加单位力， 得,能量法（瑞雷法）0.508s 非常接近。,折算质量法还适用于连续体系,将一个均匀分布的质量换算成一个集中质量来求其自振周期， 0.25为换算系数。,三、顶点位移法 也是最常用的经验方法之一（手算法），将重力荷载水平方向作用，求出顶点位移就可以近似地估算出结构的自振周期。,弯曲变形 剪切变形 弯剪变形,将重力荷载水平作用在结构上，顶点位移,四、矩阵迭代法 也是一种手算方法，可求频率和振型，Stodola法,方程的左边有 ，右边有,假定一个振型 （标准化的振型）,求出,标准化,可求得结构的第一振型,共有n个方程，任意拿出一个方程都可求得第一频率 。,也可求出振型及 ，但求得的是最高频率和振型。,另外,求出基频及振型后，还可求出高阶频率（利用振型的正交性）。以一个例子来说明,求自振频率和振型 （1）求柔度矩阵及质量矩阵,（2）求第一振型 假定 将 作为标准化的标准,（2）求第二振型,展开,假定,(3)求第三振型 利用振型的正交性，有,五、雅可比法（Jacobi） 计算机方法 求实对称矩阵的特征值和特征向量的有效方法,实数 对称,不能保证,将,令,于是，令,则,实数对称矩阵,雅可比法的原理： 已知实对称，构造一个正交矩阵,正交矩阵，s的第j 列就是第 j个特征值对应的特征向量,对角矩阵,关键问题是找到正交矩阵s,构造一个正交矩阵,P列 q列,P行 q行,中,求全部特征值和特征向量,高层,规范规定：8、9度 大跨结构，长悬臂结构、烟囱和高耸结构 9度 高层建筑 考虑竖向地震作用 如何考虑，抗震规范根据不同的结构类型采用不同的计算方法 1、高层与高耸结构 采用反应谱法 结构总的竖向地震作用标准值,i,竖向地震影响系数的最大值 取水平地震影响系数最大值的65%,结构等效重力荷载，取总重力荷载代表值的75% 。,质量和刚度分布不对称，此时，抗震规范规定应考虑水平地震作用产生的扭转影响。 仍然是三个步骤： （1）自由振动分析求出自振频率和振型 此时平移和扭转耦联。 （2）计算各振型地震作用标准值，地震作用效应 （3）各振型地震作用效应的组合 一、平移扭转耦联体系的自由振动 基本假定 （1）楼板在其自身平面内绝对刚性，平面外刚度很小，忽略不计（2）各榀抗侧力结构（框架或剪力墙等）在其自身平面内有刚度，平面外刚度忽略不计 （3）所有构件都不考虑自身的抗扭作用 （4）在计算中，将质量都集中到各层的楼板处,尽量对称，尽量使刚度、质量分布均匀、对称。有时需要立面复杂，,37 建筑结构的扭转地震效应,一、刚心和质心 图示一房屋的平面图 刚度中心,抗侧力构件,还有一个质量中心 ，如果刚度中心、质量中心不重合，即存在偏心矩,二、单层偏心结构的振动,取质量中心为坐标原点，质心在x方向、y方向的位移及绕质心的转角分别为ux uy和 （以逆时针旋转为正）则 x方向第i榀抗侧力构件沿x方向位移,同理, y方向第j榀抗侧力构件沿y方向位移,根据达朗贝尔原理,的运动方程:,写成矩阵形式,得,集中于屋盖的总质量 屋盖绕z轴的转动惯量 屋盖在x方向的平移刚度 屋盖在y方向的平移刚度 屋盖的抗扭刚度,由于坐标原点在质量中心，于是有 则,注：=1时x方向弹性恢复力的合力。 Rxi=kxixi= kxi yi=kxixi,于是，振动方程为,体系的自由振动方程,自振频率和振型,以一简单情形为例，即只存在y方向偏心,振动方程为,o,X,Y,令,代入到振动方程，得,令,将上式展开，得,解得,得第一振型,得第二振型,结构在平移扭转振动中，每个楼层有三个自由度（两个平移和一个转角）。坐标原点设在每层楼板的质量中心，由于各层的的质心不在同一直线上，所以坐标轴为一折线（见图328） 自由振动方程 其中 为质量矩阵 阶对角阵,三、多层偏心结构的地震作用,刚度矩阵,共 榀,x,y,j,榀,其中：,方向平移 方向平移 楼板转角,平行于 x轴方向的各榀结构的刚度矩阵之和,平行于x 轴第j 榀结构的刚度矩阵,平行于y轴的各榀结构的刚度矩阵之和,平行于 y轴第 i榀结构的刚度矩阵,平行于 x轴的第j榀结构的l层的y方向坐标,平行于 y轴的第 j榀结构的 l层的x方向的坐标,令,代入自由振动方程，利用前面讲过的方法可求得自振周期和振型,平移-扭转的振型参与系数 当仅考虑 x方向地震时,当仅考虑 y方向地震时,第 j振型 i层质心在 x、y方向的水平相对位移 j振型 i层的扭转角 j层转动半径,考虑扭转影响的水平地震作用 于是可求得 j振型的地震作用 第 i层的地震作用,第 j振型的水平地震影响系数，由 在反应谱上求得。,第 j振型地震作用效应也就求出来了。 三、振型组合 前面讲过地震作用效应的组合方法 SRSS(the square root of the sum of the squares) 方法 各振型独立振动，互不相关，且各频率相差比较大。 事实上，各个振型有一定的耦连，特别是比较接近的频率，对应的振型之间有一定的耦联作用。现行规范考虑了这种耦联作用，采用如下的组合方法。 CQC(complete quadratic combination)法 j振型、k振型的耦联系数,j、k为j、k振型的阻尼比。 组合一般取 915个振型,如果阻尼比采用0.05，则,当考虑双向水平地震作用的扭转效应时，根据强震记录分析结果，两个方向的水平地震加速度不相等，大约1：0.85，且不在同一时间发生。因此，须按平方和开平方的方法确定，即,sx、sy分别为x、y方向的水平地震作用效应。取以上两式中的较大者。对于规则结构，当不按扭转计算时，考虑到施工、使用等偶然偏心以及地面运动扭转分量，规范规定：对于平行于地震作用方向的两个边榀的地震作用效应短边乘以增大系数1.15,长边乘以增大系数1.05。,当各振型的自振周期相差较大时，这种组合方法与前面的组合方法给出非常接近的结果。 38 地基与上部结构相互作用的影响 在确定结构的地震作用时，总是假定地基 是刚性的，事实上地基总是有变形的。 以自由场的地震记录作为地震输入， 这样做并不合理。,刚性地基,自由地基,如果发生地震 结构对场地的地面运动有影响,刚性,一般地基,内力 地基的变形对结构的 变形 反应有影响,由于结构物的存在，地面的运动发生了变化，由于地基的非刚性，结构的反应发生了变化，这就是地基与上部结构的相互作用。 抗震规范规定：抗震验算时，一般可不考虑地基与结构的相互作用，但对于、类场地 采用刚性较大的基础（箱、筏基）的高层建筑时，且设防烈度为8度和9度时，可将刚性假定所得的计算结果予以折减。规范规定对于高宽比小于3的结构，各楼层的地震剪力折减系数,按刚性地基假定计算时结构的基本周期 计入地基与结构动力相互作用的附加周期，按下表采用,表3-7,高宽比大于3的结构,考虑高振型的影响,顶部的地震力不折减，底部按上式计算，中间层，用内插法确定。,39 结构竖向地震作用 震害表明，高烈度区烟囱出现掉头破坏，顶部出现环形裂缝。 唐山地震 唐山市路南区 度 砖烟囱全部掉头、破坏倒塌 这是由于竖向地震作用造成的。 有的时候，竖向地震作用不能忽视,竖向地震荷载产生的内力 自重产生的内力,烟囱 可能超过1 电视塔 可达138%,高层,规范规定：8、9度 大跨结构，长悬臂结构、烟囱和高耸结构 9度 高层建筑 考虑竖向地震作用 如何考虑，抗震规范根据不同的结构类型采用不同的计算方法 1、高层与高耸结构 采用反应谱法 结构总的竖向地震作用标准值,i,竖向地震影响系数的最大值 取水平地震影响系数最大值的65%,结构等效重力荷载，取总重力荷载代表值的75%。,