高一下直线与简单的线性规划复习练习

高一下直线与简单的线性规划复习练习第42课直线的方程【考点指津】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程【知识在线】若，则直线2xcos3y1=0的倾斜角的取值范围是（） ， B ， C 0， D，2(2001年天津高考)设、是x轴上的两点，点的横坐标为，且|，若直线的方程为xy1=0，则直线的方程是（ ）xy5=0 B2xy1=0 Cx2y4=0 D2xy7=03(2000年上海春季高考)若直线的倾斜角为arctan，且过点(1，0)，则直线L的方程为 4m为任意实数时，直线（m1）x(2m1)y=m5必过定点( )5已知点A（2，3），B（3，2），若直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为 【讲练平台】例1 设直线l的方程为(a1)xy2a=0(aR)（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若L不经过第二象限，求实数a 的取值范围分析 （1）注意讨论：分直线过原点和不过原点两类；（2）注意过原点的情况解 （1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，2a=0， a=2， 方程为 3xy=0；当直线不过原点时，a2，由=a2，得a=0，方程为xy2=0，故所求的方程为3xy=0或xy2=0(2)将l的方程化为y=(a1)xa2，欲使l不经过第二象限，当且仅当（a1）0a20a1 故所求a的取值范围为a1例2 一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程(1)倾斜角是直线x4y3=0的倾斜角的2倍；(2)夹在两坐标轴间的线段被P分成1：2(3)与x轴，y轴正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小解 （1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则=2 tan= ，tan=tan2= ， 从而方程为8x15y6=0 (2)由题意，设直线交x轴于A，交y轴于B当=时，A(，0)，B(0，6)方程为=1当=时，A(9，0)，B(0，3)，方程为=1(3)设直线方程为 =1，代入P(3，2)，得=12，得ab24，从而SAOB=ab12，此时=，k=，方程为2x3y12=0 点评 求直线方程时，应从条件出发，合理选择直线方程的形式 例3 ( 1992年全国高考)在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y1=0，A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标 分析 两条相交直线确定一个交点，根据题意寻找由点A、点C确定的两条直线 解 A点既在BC 边的高线上，又在A的平分线上， x2y1=0由 得A(1，0)， y=0 kAB=1，而x 轴是角A的平分线， kAC= 1，AC边所在直线方程为y= (x1) 又kBC= 2， BC边所在直线方程为y2= 2(x1) 联立 得 C的坐标为(5，6) 点评 善于应用数形结合，确定交点，利用方程思想解决交点坐标，是处理这类问题的一般方法 例4 (2000年上海高考题) 如图所示，根据指令(r，)(r0，1800 B kcos0 C ksin0，直线axbyc=0的倾斜角为，且sin=，则直线的斜率等于 （ ）A B C D 6一直线过点A（3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程为 7直线l1，l2的方程分别为y=mx ，y=nx(m，n0)，l1的倾斜角是l2倾斜角的2倍，l1倾斜率是l2的斜率的4倍，则mn= 8已知直线l：y=ax2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l与线段AB相交时，则实数a的取值范围为 9平面上有相异两点A(cos，sin2)和B(0，1)，求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围10已知P（2，1），过P作一直线，使它夹在已知直线x2y3=0，2x5y10=0间的线段被点P平分，求直线方程11已知点P（6，4）和直线l1：y=4x，求过P的直线l，使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小 第43课 两直线的位置关系【考点指津】掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式【知识在线】1（2001上海高考）a3是直线ax2y3a0和直线3x(a1)ya7不重合而平行的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件2（1998上海高考）设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinAxayc0与bxsinBysinC0的位置关系是 （ ） A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直3（2000全国高考）已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（ ） A（0，1）B（，）C（，1）(1，)D（1，）4已知A（3，0），B（0，4），则过B且与A的距离为3的直线方程为 5已知直线l和直线m的方程分别为2xy10，3xy0，则直线m关于直线l的对称直线m的方程为 【讲练平台】例1 下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合分析 根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解 （1）三条直线交于一点时：4xy40由解得l1和l2的交点A的坐标（， ），由A在mxy0l3上可得23m=4，解之m或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4时，l1l2；当m时，l1l3；若l2l3，则需有，m2不可能综合（1）、（2）可知，m1，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是1，4 点评 善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性 例2 正方形中心在M（1，0），一条边所在的直线方程为x3y50，求其他三边的所在直线的方程分析 正方形对边平行，邻边垂直，且中心到四边的距离相等解 2xy20x1由得 xy10y0即该正方形的中心为（1，0），设所求正方形相邻两边方程为3xyP=0，和x3yq=0中心（1，0）到四边距离相等， 解得P13，P29和q15，q27所求方程为3xy30，3xy90，x3y70例3 光线从点A（3，5）射到直线l：3x4y40以后，再反射到一点B（2，15）（1） 求入射线与反射线的方程；（2） 求这条光线从A到B的长度分析 根据光的反射性质，反射光线PB的反向延长线必过A关于C的对称点A，因此求出A的坐标可得反射光线所在直线方程由于光线所经过的途径是在一定条件下的短路线，因而第二问的实质就是在l上找一点P（x0，y0），使PAPB的值为最小 解 设A点关于直线l的对称点A（x0，y0）由直线AA与已知直线垂直，且AA中点也在直线上，则有 3 4 40解得x03，y03，即A（3，3） 于是反射光线方程为， 即18xy510 同理B（14，1），入射光线方程为6x17y670 （3） 光线从A到B的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得APPBAPPBAB=5 点评 本题求解的原理是光学中的“入射角等于反射角” 例4 一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x4y80及3x4y70都相交，两交点间线段长3，求这直线方程分析 由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率 解 两平行线间的距离为3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为，则AB3sin 45，tan1，设所求直线的斜率为k，则tan|1，解得k或k7所求直线的方程为x7y190或7xy170 点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用【知能集成】 涉及直线与直线位置关系的主要内容有：两直线平行与垂直条件的运用；根据直线方程判定两直线的位置关系；求两直线的夹角，交点及点到直线的距离；点、直线关于直线对称的问题在判断两直线平行的位置关系时，要注意两直线斜率均不存在的情况；在判断两直线垂直的位置关系时，也不能忽略一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零的情况；求两条直线相交所成的角，一定要分清是“到角”还是“夹角”，同时要注意讨论直线斜率不存在及k1k21的特殊情况；求点到直线的距离，须先把直线方程化为一般式再求解；解决对称问题的常用方法是：待定系数法、轨迹法有关直线与直线位置关系的问题，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力，在综合性题型中起着重要作用【训练反馈】1 两直线axy40与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）A1a2Ba1Ca2Da1或a22 设两直线L1，L2的方程分别为xyb0，xsiny0，（a，b为常数，为第三象限角），则l1与l2 （ ）A平行 B垂直 C平行或重合 D相交但不一定垂直3 设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）Aa2k2p2(1k2) Bk Cp Dakb4 若点（1，1）到直线xcosysin2的距离为d，则d的最大值是 5 一束光线经过点A（2，1），由直线l：x3y20反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为 6 直线2xy40上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是 7在ABC中，ABAC，A120，A（0，2），BC所在直线方程为xy10，求边AB、AC所在直线方程8已知ABC中，点A（3，1），AB边上的中线所在直线的方程为6x10y590，B的平分线所在直线的方程为x4y100，求BC边所在直线的方程ClBDA甲乙9如图，足球比赛场地宽为a米，球门宽b米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l（贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？（注：图中AB表示乙方所守球门；AB所在直线为乙方底线；l表示甲方边锋前进的直线） 第44课 简单的线性规划【考点指津】理解并掌握二元一次不等式表示的平面区域问题；理解线性规划的各类概念，掌握利用约束条件，求目标函数最值的方法，提高解决实际问题的能力【知识在线】1在直角坐标系中，满足不等式x2y20的点（x，y）的集合的阴影部分是（ ）2若x0，y0，且xy1，则z=xy的最大值是 （ ）A1 B1 C2 D23在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)， 目标函数z=xay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为（ ） A3 B3 C1 D14已知函数f(x)=ax2 c满足4f(1)1， 1f(2)5， 则f(3)的取值范围为 5已知xR，f(x)是4x， x2， 2x4三者中的最小值，则f(x)的最大值是 【讲练平台】例1 已知线性约束条件xy30，xy502xy40， x0，y0(1)求目标函数z=x2y的最大值解 画出可行域(如图阴影部分，即五边形ABCD)由z=x2y得y=xz，其图象是斜率k=的一组平行直线，y轴截距b=z，从图上可知，当直线l过点C(1，4)时，y轴截距b最大，即z最大当x=1，y=4时，zmax=124=9 例2 点（x，y）是区域|x|y|1内的动点，求axy(a0)的最大值及最小值解 区域|x|y|1为四条直线xy=1，xy=1，xy=1，xy=1所围成的区域，如图1和图2中的阴影部分图 1图 2 设z=axy(a0)，当a1时，设直线l0：axy=0，并作一组平行于l0的直线axy=t，当直线位于l1位置时，即l1过点（1，0）时，t取最小值当0a1时，设直线l0：axy=0，作一组平行于l0的直线axy=t，当直线位于l1的位置时，即l1的位置时，即l1过点（0，1）时，取最小值1 当直线位于l2的位置时，即过点l2(0，1)时，t取最大值1 综上所述，当a1时，axy的最大值为a，最小值为a，当0a0)取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为 ( )A； B C4 D 2xy204已知平面区域 x2y40， 函数z=x2y2，则z的最大值是 最小值 3xy305三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数有 个Oxy812Bl06某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需方木料01 m3，五合板2 m2；生产每个书橱需方木料02 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元怎样安排生产，可使获利最大?7预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的15倍，问桌、椅各买多少才合适？8有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于配套，问怎样截最合理？ 参考答案第42课直线的方程【知识在线】.B 2A 3x+2y1=0 4(9,4). 5k 或k2 . 【训练反馈】1.C 2A 3B 4D 5B 64xy+16=0或x+3y9=0 7 2 8a2 9由题意得 cos0.AB斜率存在，kAB=cos, 设直线倾斜角为，tan=cos.1cos1且cos0 1tan1且tan0又0.倾斜角的范围为（0，,). 10设l3与l1,l2交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)由=2，=2，得x1=4x2,y1=2y2， Al1, Bl2， 所求直线方程为3y+x5=0. 11设l与l1的交点为Q（x1,4x1）,( x10),则l：y4=(x6),令y=0,得x=, l与x轴的交点R（，0）SOQR=yQOR=4x1=(其中x11)令S=，则10x12sx1+s=0， x1R，=s24os0又S0, s40,当s=40时，x1=2当x1=2时，OQR的面积最大，其值为40，此时l1：y4=(x6),即x+y10=0.第43课 两直线的位置关系【知识在线】1C 2C 3C 47x+24y960或x0 513x9y+140.【训练反馈】1A 2B 3A 42 529x22y+230 6（5，6）7由题意得BC30，设AB边斜率的夹角公式得|，从而得k = 又AB斜率不存在时也适合题意，AB边所在直线方程为yx+2和x0. 8设B（a,b），则AB边中点为（, ）在AB边中线上，6+10590，又点B在B的平分线上，a4b+100由得 a10 ，b5由题意得，k从而BC边所在直线方程为2x+9y650. 9以l与直线AB的交点D为原点，l为x轴， DA为y轴，建立直角坐标系 设AB中点为M，则DADMMA+ DBDMBM故定点A、B坐标分别为（0，），（0，）（显然ab0），设动点C（边锋起脚处）坐标为（x，0）（x0）tanACBtan（ACOBCO）tan（）， 其中=ACO，=BCD且、（0，） tan（）x+2 tanACB由正切函数在（0，）是增函数，知ACBarctan，当且仅当x时，ACB达最大角，即x，C（，0）即该边锋在距乙方底线米时起脚射门，可命中角最大第44课 简单的线性规划【知识在线】1B 2B 3A 4.1f(3) 20 . 5 【训练反馈】Bx+2y=9002x+y=600oyx1C 2A 3B 413， 536 6.设生产书桌x张,书橱y个. 0.1x+0.2y90, 则线性约束条件为 2x+1y600, x0,y0. 画出可行域(如图阴影部分,即四边形ABCD).利润z=80x+120y,即y=x+z,从图上可知,当直线l过点B时,y轴截距b最大,即z最大. 解 x+2y=900, 得点B(100,400).2x+y=600, 当x=100,y=400时,zmax=80100+120400=56000(元). 答:应生产书桌100张,书橱400个,获利56000元最大.7. 0xy,解：设桌椅分别买x,y张，依题意有 y1.5x, 50x+20y=2000.X=y, x=, 由 解得50x+20y=2000, y= 所以点A（，）. y=1.5x, x=25由 解得50x+20y=2000, y=.满足以上不等式组所表示的区域如图所示,即以A(,)， B(25, ),O(0,0)为顶点的AOB及其内部. 对AOB内的点P(x,y),设x+y=z,即y=x+z,这是斜率为1,在y轴的截距为z的平行直线系.要使z最大,只有点P与点B重合时,即取x=25,y=,因为yz,所以y=37. 所以买桌子25张、椅子37张时，是最优选择Oxy812Bl08 解：设截500mm的x根，60mm的y根，根据题意，得 5x+6y40y0y0 且x,yz.作出可行域，如图中阴影部分目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)的直线，这时x+y=8x,y为正整数，(8,0)不是最优解在可行域内找整点，使x+y=7可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解答：每根钢管截500mm的两根，600mm的五根，或截500mm的三根，600mm的四根或500mm的四根，600mm的三根或截500mm的五根，600mm的二根或500mm的六根，600mm的一根最合理