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导数的概念,2.1 导数的概念,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y= f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切 线方程的基本步骤 : 先利 用切线斜率的定义求出切 线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,2.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss(t)(表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0,在时刻t0 +t 的位置是s(t0+ t)=OA1,则从t0 到 t0 +t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内，物体的平均速度为:,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+t这段时间内，当 t0 时平均速度:,例2:物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s, g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度,这里t取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.,3.导数的概念,从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数 学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数.,是函数f (x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0-x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数yf (x)在区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数yf (x)在区间(a ,b)内可导.这时,对每一个x (a ,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f (x)在区间(a ,b)内的导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例1:判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f (x)的图象上的点列P1,P2,P3,Pn, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数.,答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f (x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题.,(2)若物体的运动规律是S=f (t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于,答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题.,(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要 函数在x0处连续,则 就必存在.,5.例题选讲,答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但 它在x=0处的导数不存在.,(4)设 是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3 三点处的导数均存在.若 ,则必有,答: ,由于f (x)的导函 数 未必是单调增函数.因此, 不一定成立,例如f (x)=x3,则 显然有 故是假命题.,说明:要正确判断命题的真假,需真正理解:曲线在点P处 切线的斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要 把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证, 而要给出否定的结论,举一个反例就足够了.,例2:设函数f (x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f (x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,例3:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f (x),则有f (-x)=f (x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用.,练习1:设函数f (x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f (x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.,从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.,注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.,练习3:函数f (x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有, 求出来,若没有,说明理由.,故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果函数yf (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导, 就说函数yf (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数 ，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新的函数，称作f (x)的导函数。,（4）函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,d.函数f (x)在点x0处有导数，则在该点处函数f (x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率;但函数f (x) 的曲线在点x0处有切线，而函数f (x)在该点处不一定 可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,e.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。,
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