(整理)数列第一轮复习

第一轮复习数列【考向指引】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位。从近几年的高考试题来看，数列部分的复习备课应注意以下几点：1、数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，应切实注意Sn与的关系。2、探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给予证明。探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。3、等差、等比数列的基本知识为必考内容，这类考题有容易题、中等题，也有难题。4、求和问题也是常见的试题类型，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和。5、将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点。6、有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点，今后在这方面还会体会的更突出。7、数列与新增内容(如程序框图)等综合体也应引起高度重视。第一讲数列的概念、考点解读1、数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项一次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，.，第n项，数列的一般形式可简记为iaj，其中an是数列的第n项。(1) 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成的两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。(2) 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。2、数列的分类根据数列的项数分有穷数列：项数有限的数列。无穷数列：项数无限的数列。按照数列的每一项的值随项数变化的情况分递增数列，递减数列，常数列，摆动数列3、数列与函数的关系数列可以看成以自然数集或者其有限子集为定义域的函数an=f(n),当自变量从小到大依次取值时,所对应的一列函数值。4、数列的通项公式如果数列：a.的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。(1) 并不是所有数列都能写出其通项公式。(2) 一个数列的通项公式有时是不唯一的。(3) 数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项。5、数列的二种表示形式列举法，通项公式法和图象法二、典例根据有限项抽象数列的通项公式1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)3,5,9,17,;(2)2，上，巴,3153563(3)0,1,0,1,；(4)2,-6,12,-20,30,由数列a的前n项和给出的递推式变形2、数列：an的前n项和为Sn,且Sn=32n,nN，求数列a?的通项公式。用累加、累乘法探求数列乞鳥的通项公式3、已知数列fan满足：4=1=2色屮(n2)。(1) 求数列方“匚的通项公式；1这个数列从第几项开始及其后面各项均小于?1000已知递推关系求指定项r4、已知数列an满足：a!=m(meN刁,an+=丿(冇为偶数)，若a1，则m所有可能的取值3an+1(an为奇数)为。练习13571、数列一，-一，,的一个通项公式是。248162、*已知数列也中，ai=1，an1色，则a5等于。1血3、若数列n?前n项和Sn=log3(n1)，则等于。4、若Sn是数列冇前n项和，Sn二门2，贝Ua5a6a7=。5、已知数列Can中，a1=1,an二ann,(n_2)，则此数列的通项公式为a.=。6、数列al满足a1=1,a1+2a2+(n-1)an=an(n兰2)，求数列ai的通项公式。第二讲等差数列、考点解读1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an4二d,(n亠2,nN)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。2、等差数列的通项公式：aa1(n-1)d通项公式的变形形式：an=am-(n-m)d或an=pnq(其中p,q是常数)3、计算公差的几种基本方法：an-aian-amdT-a.d-d-n1n4、等差中项：若a,A,b等等差数列，那么A叫做a,b的等差中项。5、基本性质：在等差数列中，若n=pq，则aaapaq,(,n,p,qNJn(ai+an)n(n1)d6、等差数列的前n项和公式1：Sn-。公式2：Sn二na-22-J公式3：Sn二一n2(a-一)n，当公差d=0时，是一个常数项为零的二次式。22典例等差数列求解的基本方法：还原基本量1、等差数列a中，i已知a1,a2a5=4,an=33，求n；3(1) 已知a3=9,a9=3，求a12的值。等差数列性质的运用2、已知函数f(x)=2x，等差数列aj的公差为2，若f(a2a4a6a8a104，则log2f(a1)f(a2)f心协)=。*等差数列概念的运用3、递增数列1,5,7,11,13,17,包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整数，求此数列的第100项。等差数列应用问题4、在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成，如图所示，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈。问：(1) 第9圈共有多少块石板？(2) 不包括天心石，9圈共有多少块石板？等差数列前n项和运用5、设等差数列玄的前n项和Sn，若a=5a3，贝U=。S5等差数列的概念的运用6、在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2,并求这些数的和。等差数列前n项和的最值问题7、已知数列是一个等差数列，且a2=1,a5-5。(1) 求a匚的通项an；(2) 求a谕n项和Sn的最大值。等差数列综合问题8、设ai,d为实数，首项为ai，公差为d的等差数列玄的前n项和Sn，满足S5S615=0。(1) 若S5=5，求S6及a1；(2) 求d的取值范围。练习1、已知数列：an/前n项和Sn=3n2-2n-1，则此数列(A、是等差数列，an=6n-5B、是等比数列,C、非等差数列，an0(n=1)6n_5(n启2)D、非等比数列,an0(n=1)Qn(n2)数列Bn，是等差数列,2af(x1),a3=0,a二f(x-1),其中f(x)2=x-4x2，则此数列的通项公式为(A、an=2n-4B、an-2n4C、an=2n-4或an-2n4D、an=2n或a*-2n在等差数列玄坤，若a1-a4-a&-aai5=2，则a8等于(C、-2A、-64、设x=y，且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,b2,b3,y,b4均为等差数列，那么卫4一色的值是（）a?84-23A、B、C、D、一33385、成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40，则这四个数是。6、在等差数列4/中,a4+a6+a8+aio+ai2=120，贝U2a9-aio=。7、等差数列an/中，a1a3a5-12,a1a3a80，求此数列的通项。8、一个等差数列共n项，其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数门为（）A、14B、16C、18D、209、等差数列a的前n项和为Sn,且6S5-5S5，则a4=。10、在等差数列乩/中,a-15,d=3，则此数列前n项和为Sn的最小值为。11、一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d。第三讲等比数列、考点解读1、等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，即：旦二q（q=0）。and2、等比数列的通项公式：an=aiqn(aiq=0),an=amqne(aiq=0)。3、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。24、等比中项：G为a与b的等比中项。即G2二ab(ab.0)。5、等比数列的性质：若mn=pq，则amaapaq,(m,n,p,qN)。6、等比数列的递增性：当q1,ai0或0：q:1,a：0时，：a-是递增数列；当q1,a1:0或0:q:1,a10时，?an是递减数列。ajl-qn),a-anq7、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn1或Sn1-1-q1-q当q=1时，Sn=na1典例等比数列基本公式的运用1、已知等比数列n1前三项的和为3,如果将第三项减去9则这三项又分别是一个等差数列的第一项、第四项和第七项，求数列an的通项公式。构造辅助数列解题2、数列玄的各项均为正值，a1=1，对任意的n，N，an,-4an(an1)都成立，求数列玄的通项公式。等差数列与等比数列的关系12113、已知数列乳？是等差数列，bn=()an，已知db2b3,bb2b3.288(1) 求证数列：bn是等比数列；(2) 求数列汎!的通项公式。等比数列综合问题24、已知3=2，点(an,an1)在函数f(x)二x2x的图象上，其中n=1,2,3,(1) 证明数列归(1-an)?是等比数列；(2) 设Tn=(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列的通项。等比数列基本运算5、在等比数列：an冲已知a3,a6=96，求q和Se的值;1(1) 已知q,S5=11,求a1和a5的值。等比数列性质的运用6、已知等比数列也中(1) ai-a*=662&丄=128,Sn=126，求项数n和公比q。(2) S10=8,S20=32，求S40的值。等比数列应用问题7、已知某市2008年底人口数为100万，人均住房面积40平方米，如果该市每年人口增长率为2%，每年平均新建住房面积20万平方米，试求导2012年底人均住房面积。(精确到1平方米，参考数据：3451.021.06,1.021.08,1.02:1.10)等比综合问题8、已知数列an为等差数列，公差d0，其中ak1,ak2,.,akn恰为等比数列，若&=髭k2=5,k3=17，求k1k2.kn的值。练习1、等比数列a冲，Tn表示前n项的积，若T5=1，贝U()A、1B、831C、841D、8512、已知数列a满足an1=3an(nN)，则下列结论正确的是()A、数列江是等差数列B、数列an是等比数列c、数列江1可能是常数列d、数列不可能是常数列3、等差数列乩/中,a1=2,d=0,且a1,a3,an成等比，那么该等比数列公比的值为。4、已知等比数列a满足an0,且a4a6=2，则log2a1log2a3.log2a9等于。5、设等比数列乩的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn.2成等差数列，则q的值是。6、等差数列沈公差不为0，且a5,a8,a13是等比数列%，的相邻三项，若b2=15，求数列的通项公式。7、一个等比数列前n项的和为Sn=48，前2n项之和S?.=60，贝USs.等于。8、已知等比数列3的前n项和Sn=2n-1，则a12-a22-.-an2等于。9、在等比数列曰“，中，a7Q11-6,a414=5，贝U等于。a10j11a+a10、各项都是正数的等比数列方n*的公比q=1，且a2,a3,a1成等差数列，则4的值为?2aa511、已知等比数列a的公比为q，前n项的和为Sn，且S3,S9,S6成等差数列。(1) 求q3；求证：a2,a8,a5成等差数列。第四讲数列求和问题、考点解读数列求和是数列部分的一个重要内容，常见的数列求和方法有如下几种：1、公式求和法直接运用等差或等比数列的求和公式求和，运用等比求和公式时注意对于公比是否等于1的讨论，另外还有两条公式偶尔也会用到：222133312212.nn(n1)(2n1)，12nn(n1)642、分组求和法将原数列中的每一项分拆成两项或多项，或者将原数列中的多项合并为一项，而将原数列转化成为多个或一个可以求和的数列。3、倒序相加求和法4、错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。5、裂项相消求和法如果一个数列的各项均能化为两项之差，而前面项的减数恰好与后面项的被减数相同，一减一加，中间项被消去，那么求原数列的各项之和就可以达到化简的目的。、典例运用公式求和1、设y=f(x)是一次函数，f(8)=15,f(2),f(5),f(4)成等比数列，求f(1)f(2)f(n),(nN)的值。特殊公式和分组求和2、求和：142536.n(n3)倒序法求和4x113、已知函数f(x)-，其图象经过点(一，一)。4x+a22(1) 求实数a的值并证明f(x)f(1-x)=1；(2) 若数列Sn冲，an=f(n)，记其前n项和为Sn，求S2010的值。2010错位法求和4、已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4.(1) 求数列Qn匚的通项公式；(2) 设bn=(4-an)q2(q=0,nN)，求数列匕匚的前n项和Sn。裂项法求和5、已知等差数列耳满足：a3=7,a5a7=26,an/的前n项和为Sn。求an及Sn；1(1) 令bn二一N，求数列b的前n项和Tn。an一1练习1设等比数列3n紺勺前n项和为Sn，若S=3，则包=S3S6()A、3B、28c、一37D、一32等差数列址/中,&=-36,3=T04，等比数列呪中，b5=5,6=a7，则b6等于()A、4、2B、-42C、一4、2D、无法确定3求和：1002-992982-97222-12=。4.数列：an的通项为an=-2n-(T)n，前n项的和为Sn，则S10=。5设等差数列的前n项的和为Sn，若S9=72，求32*4*9的值。n*6在数列乩/中,印=1忌=2，且an.2-an(),nN)，求此数列前100项的和务0。第五讲数列综合问题、考点解读通常我们所遇到的数列问题往往不是单纯的等差或等比，很多时候需要将两个数列综合考虑，比如某些数列可以既是等差又是等比，又或者某个等比数列的某些项可以成为等差数列的项。数列作为一种特殊的函数往往能够和其他的数学知识结合在一起，比如数列与函数、不等式等章节的结合，以及周期数列的有关问题。、典例等差等比的简单综合1、已知公差大于0的等差数列丿丄满足a?a4+a4a6+a6a2=1，又a2,a4,a8依次成等比数列，求数列n?的通项公式。三角形中的等差等比问题2、已知厶ABC中，三内角A,B,C的度数依次成等差数列，三边a,b,c依次成等比数列。求证：ABC是等边三角形。存在性问题与分类讨论思想3、是否存在互不相等的三个实数a,b,c，使它们同时满足以下三个条件:a,b,c成等差数列;将a,b,c适当排列后成等比数列。函数中的数列问题4、设一次函数f(x)=axb,(a=0)，数列玄冲，aa2=1，点-1,0申n1),(nN)在函数f(x)的图象上。(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列匕bn引，求数列bj的前n项和Sn。(n+1)!数列与不等式x15、已知函数f(x)=ab的图象过点A(4，-)，B(5,1)4(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 记anlog2f(n)，n是正整数，Sn是数列的前n项和，解关于n的不等式a.Sn乞0。探索性问题6、首项为ai，公差为d的整数等差数列也1满足下列两个条件：a3a5a93；满足anioo的n的最小值是15。试求公差d和首项a1的值。练习1111、若a,b,c成等差数列，b,c，d成等比数列，一,成等差数列，则a,c,e成（）cdeA、等差数列B、等比数列C、既是等差又是等比数列D、以上答案都不是2、a1,a2,.,an为各项都大于零的等比数列，公比q=1，则（）A、a1a8a4a5b、a1-a8:a4a5C、a1a8=a4a5D、a1-a8与a4-a5的大小不确定3、已知数列乳是公差不为0的等差数列，a1=1且a1,a3,ag成等比数列。（1）求数列Sn的通项；（2）求数列2an*的前n项和Sn。4、5、设曲线y=xn1（nN）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，求a1a2-.-a99的值。7、已知函数f(x)=Iog2(xm)，且f(0),f(2),f(6)成等差数列。(1)求实数m的值；若a,b,c是互不相等的正数，且a,b,c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论。第六讲数列应用问题二、考点解读三、四、典例五、练习