南华大学2010年数学竞赛试题

南华大学2010年数学竞赛试题学院 专业 学号 姓名 题号12345678910111213141516总分得分阅卷人1.（4分）求极限.2. （6分）设是定义在上的函数，.且证明：在上可导，且.3. （8分）已知A、B为三阶方阵，且，其中E为三阶单位矩阵。(1) 证明：矩阵可逆；(2) 若，试求矩阵A.4. （6分） 设函数在x=0附近有界,且满足方程,求.5.（4分）计算行列式.6（6分）已知一个母鸡生k个蛋的概率为 （0），而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，求一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率。7. （5分）设, 求.8. （4分）设三次函数有极值点，试用表示9.（8分）设线性方程组 已知是该方程组的一个解，试求：（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；（2） 该方程组满足的解。10（7分）将函数展开成的幂级数，并求级数的和.11. （6分） 设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.12（6分）已知1 ，2 n 是取自均匀分布(0 ,)上的母体的一个子样,试证=max1 ，2 , , n是的一致估计量.13. （8分）设函数f(u)在内具有二阶导数,且满足等式, (1)验证: ;(2)若,求函数的表达式. 14. （6分）设函数在a,b上连续,在(a,b)可导,又在a,b上是凸的(即在(a,b)上是减函数) (1)求证: ,必有 (2)若设, 求证: .15（8分）设二维连续型随机变量的联合概率密度为： （1） 求随机变量和的边缘概率密度；（2） 求和；（3） 和是否独立？求和的相关系数，并说明和是否相关？（4） 求。6. （8分）设二阶可导,且,求.