专题（9-10）

（9）存在性的数学问题 1已知抛物线与x轴交于不同的两点和，与y轴交于点C，且是方程的两个根（） （1）求抛物线的解析式；（2）过点A作ADCB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线y=x2+x+3交x轴于点A、B两点，直线y=x2 (a0)交x轴于点Q.-1-11A1BPyxQO（1）求证：不论a取何实数（a0）抛物线与直线总有两个交点；（2）写出点A、B的坐标，并用含a的代数式表示点Q的坐标；试确定当a在什么范围内取值时，直线与抛物线在第一象限内有交点；（3）设直线与抛物线在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得APB为直角？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由.3已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D. （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标； （2）在x轴上求一点E, 使得BCE是以BC为底边的等腰三角形； （3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF/BC, 与BE、CE分别交于点F、G，将EFG沿FG翻折得到EFG. 设P（x, 0）, EFG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.4已知抛物线(a0)的顶点在直线上，且过点A(4，0)求这个抛物线的解析式；设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由； 设点C(1，3)，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使的值最大，请直接写出点D的坐标。 5.对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？B(0,4)A(6,0)EFO 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由6知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，6题图试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由1Oyx2344321-1-2-2-17在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；（3）连结，求与两角和的度数解：8已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ.当CQE的面积为3时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。CB O Q D A xEy9. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点M是直线上的一动点，BM交抛物线于N, 是否存在点N是线段BM的中点，如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由；ABCOxyABCOxy10如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CMDM的值最小时，求m的值BCADxyO11如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由12如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. 13如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点BP为线段AB上一动点，作直线PCPO，交直线x=1于点C过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N（1）当点C在第一象限时，求证：OPMPCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；xy第13题图（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，PBC能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由14如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示m，n是常数， m1，n0（1）请你确定n的值和点B的坐标；(图1) (图2) (第14题)（2）当动点P是经过点O，C的抛物线yaxbxc的顶点，且在双曲线y上时，求这时四边形OABC的面积15如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ABCOxy16如图已知二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于两点，其中点坐标为，点在轴上，直线与轴的交点为为线段上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点（1）求的值及这个二次函数的解析式；（2）设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由yxABCDPEFO17已知抛物线，且当时，（1）求抛物线的顶点坐标；（2）求k的取值范围；（3）过动点P（0，n）作直线ly轴，点O为坐标原点 当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于k的函数关系式；当直线l与抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得不论k在其取值范围内取任意值时，AOB的面积为定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由18如图，抛物线c1：yx2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点P为线段BC上一点，过点P作直线lx轴于点F，交抛物线c1点E。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值； （3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交 于点M,若直线CM把BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位 y l A O F B x P C E （第18题图） 长度可得到抛物线c2 ？ （10）阅读理解专题1我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点. 图1（1）如图2，已知平行四边形ABCD, 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1, S2, S3, S4四者之间的等量关系(S1, S2, S3, S4分别表示ABP, CBP, CDP, ADP的面积)： 如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 ； 如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是 . 图2 图3 图42在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE, 且DA=DB, EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是ABC=30,ADB=BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 图1 图2 图33对于三个数，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如：，；，解决下列问题：（1）填空： ；若，则的取值范围是 ；（2）若，那么 ；根据，你发现结论“若，那么 ”（填大小关系）；运用，填空：若，则 ；（3）在同一直角坐标系中作出函数，的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 4对于三个数，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如：，；，解决下列问题：（1）填空： ；若，则的取值范围是 ；（2）若，那么 ；根据，你发现结论“若，那么 ”（填大小关系）；运用，填空：若，则 ；（3）在同一直角坐标系中作出函数，的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 AGCFEBD图25已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，处若点，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”AGCFEBD图1（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）ACB备用图ACB备用图6请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）71.（12分）如图所示，在直角梯形ABCD中，BAD=90，E是直线AB上一点，过E作直线/BC，交直线CD于点F将直线向右平移，设平移距离BE为(t0)，直角梯形ABCD被直线扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于的函数图象如图所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4信息读取:(1)梯形上底的长AB= ；(2) 直角梯形ABCD的面积= ；图象理解:(3)写出图中射线NQ表示的实际意义；(4) 当时，求S关于的函数关系式；图图问题解决:(5)当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：38阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD, B=900,点P在BC边上，当APD=900时，易证ABPPCD,从而得到BPPC=ABCD.解答下列问题：（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当B=C=APD时，求证：BOPC=ABCD（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6, B=C=600,AOBC于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）。当APD600时，求点P的坐标；过点P作PEPD,交y轴于点E,设OP=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 y D D D A A A B P C B P C B O P C x 图1 图2 图3 ABCDEFG图49如图4，边长为的正方形ABCD和边长为的正方形BEFG排放在一起，和分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段的长为 。ABDA1CB1C1D1A2B2C2D2A3B3C3D310如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。证明：四边形A1B1C1D1是矩形；仔细探索解决以下问题：（填空）四边形A1B1C1D1的面积为_ 四边形A2B2C2D2的面积为_；四边形AnBnCnDn的面积为_（用含n的代数式表示）；四边形A5B5C5D5的周长为_。11在正方形ABCD中，E是CD边上的一动点，AE的中垂线分别交AD、AE、BC、AB延长线于F、H、G、P，当CD=DE时，直接写出结论=_，当CD=n DE (n1)时，求;当E在DC的延长线上时（0n1），请画出图形并直接写出结论=_