求递推数列通项公式的十种策略例析

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的 策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为 了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、 不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列an满足an “ =2an 3 丁，a2，求数列an的通项公式。解：an 1 =2an 3 2n两边除以2n 1，得竺二屯-，则竺一旦l二，2 n -fr 2 n 22 n ri ? n 2故数列1是以=2 =i为首，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2n21 22an2n3=1 - (n -1)，所以数列an的通项公式为2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an 3 -2n转化为 影一影=|，说明数列与 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出空=1+(n-1)-，进而求出数2 n2 门2列an的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列an满足an 1 =an 2n 1, a1 =1，求数列an的通项公式。解：由 an an 2n 1得 an 1 -an =2n 1则 an =(an -an4) - (an4 -an (a3 -a2)(a2 -aj a1二2(n -1) 1 2(n _2) 1亠亠(2 2 1) (2 1 1) 1=2(n _1) (n _2)亠 亠2 1(n _ 1) 1c (n _1)n/ 八=2(n _1) 12所以数列an的通项公式为an = n2评注：本题解题的关键是把递推关系式an d =an 2n 1转化为an _an =2n 1,进而求出(an -a*)(a*-a*/) - 一3-a2) (a2-aj a1，即得数列an的通项公式。例3已知数列an满足an an 2 3n - 1，a3，求数列a.的通项公式。解：由 an an 2 3n 1得 am -an =2 3n 1则 an - (an -an4)(and an_2)(a3 - a2 ) (a2 - a1) a1=(2 3nJL1)(23n1厂(2321)(2311)3nn _221=2(33n 冷卷32 31) (n -1) 33 _3nn所以 an =2 n 2 =3 n -11-3评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1二an 2 3n 1转化为an. -a2 -3n 1， 进而求出(an_anj)(anj -an_2)(as- a?)，(a2-aj *1，即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足an 1=3an，2 3n 1，a3，求数列an的通项公式。解：an 3an 2 3n 1两边除以3n 1，得an 1 _ a n 2.2 学 1_3n 13n33n则冇1 _勺3n 13n2 1=_ +33na n J)( an Ja nan Jan _2 )(a n _2an _33心(3n，一3nD丄丄丄3n 3n3n 1丄）13n，32）因此an3n2(n -1),2n-3n_11-33n3n关键是把递推关系式an d3an - 2 -3n 1 转an 1an3n 13n+2=+卓33n 1a11，即得数列3罰的通项公式,三、利用累乘法求通项公式例5已知数列an满足an 1 =2(n1)5n解：因为 an 1 =2(n 1)5n n，则anana nra n Ja n -2a2a n J )(a n J3n(3n_l最后再求数列0_n_2 ) . ( an_2an _3 )3n，(3心3n，an的通项公式。an， a1 =3，求数列an的通项公式。a3，所以 a. =0，则心=2(n 1)5n，ana 2 ai ai珂2(n -1 - 1)5n4 2(n 2 1)5np 2 (21) 52 2 (1 1) 51 3=2心n (n -1)3 2引书 2厂 21 3所以数列an的通项公式为an ja3an _2a2(2004年全国15题)已知数列an满足印=1,an =a1 2a23a3 亠 亠(n _ 1)(n -1)anA(n 一2),则an的通项anj, n =1 = 2时an的表达式，最后再求出数列an的an_1 an _2a2通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7已知数列an满足an 2an - 3 -5n，a1 =6，求数列an的通项公式。解：设 an卅 +x 5n+ =2(an +x 5n)将an “=2an3 -5n代入式，得2an35nx5n1 =2an 2x5n，等式两边消去2an，得 3 5n x 5n 1 =2x 5n，两边除以 5n，得 3 x 2x，贝U x= 1,代入式，得 an 1 -5n1 =2(an -5n)5*舟由 a1 -51 =6 -5 =1 工 0 及式，得 an -5n -0 ,则 an 1 n =2 ,则数列a. -5n是 an -5n以a1 -51 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 an -5n =1 2nJ，故a2nJ - 5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an -3 -5n转化为 an 1 -5n 2(an -5n)，从而可知数列a. -5n是等比数列，进而求出数列 an -5n的 通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。例8已知数列an满足an13an- 5 2n -4,a1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1 - y =3(an x 2n y)将an , =3an 5 2n 4代入式，得3an 5 2n -4 -x -2“ 一y = 3(an x 2n -y)整理得(5 2x) 2n 4 y =3x 2n - 3y。人 +2x =3xx =5 八、於亠 / 口令，则，代入式，得4 +y =3y$ =2an 1 5 -2n 1 2 =3(an 5 2n 2)由a1 5 21 2 =1 12 =13严0及式，a . 5 2n 1得 an 5 -2n 2 =0，则 一 =3 ,an 5 2n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 =1 *12=13为首项，以3为公比的等比数列， 因止匕 an +5 2n +2 =13 3n A，贝y a“ =13 3n一5，2n 2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 3an 5 2n 4转化为 an 1 5 2n 1 3(an 5 2n - 2),从而可知数列an 5 2n - 2是等比数列，进而求出 数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例9已知数列an满足an2an 3 n24n 5,a1=1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 - x(n 1)2 y(n 1) z=2(an xn2 yn z) 将an 1 =2an 3 n2 4n - 5代入式，得2an 3 n2 4n 5 x(n 1)2 y(n 1) z2=2(an xn yn z)，贝U2an (3 x)n (2x y 4)n、(x y z：；5)2= 2an2xn 2yn 2z等式两边消去 2an，得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) =2xn2 2yn 2z ,|3 亠 x = 2x| x =3则得方程组丿2x +y+4=2y ，则=10，代入式，得x +y +z +5 =2z z =18an 13(n 1)2 10( n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 ar +3 12 +10 1 +18 =1 + 31 = 32 式0 及式，得2an 3n210n 18 尸0nrt an* +3(n +1)2 +10(n +1) +18 小 ” 昨 c 2“、贝U22 ，故数列an 3n2 10n18为以an +3 n2 +10 n +18a13 1210 111332为首项，以2为公比的等比数列，因此an3n210n18=322n，贝yan=2n 4 -3n2-10n -18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an d =2an 3 -n2 4n 5转化为 an 1 3(n 1)2 10( n 1) 18 =2(an 3n2 10 n 18), 从而可知数 列 an 3n2 10n 18是等比数列，进而求出数列an 3n2 70n 18的通项公式，最后再 求出数列an的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列an满足an =2 3na5, a1 =7，求数列an的通项公式。解：因为an= 2 -3na5， a 7，所以an 0, an 0。在an 2 3n afj式两边取常用对数得 lg an d =5lgann lg 3 lg 2设 lgan 1 x(n 1) y =5(lgan xn y)将式代入O 11式，得5lg an u n lg 3 lg 2 x(n 1)囂y =5(lg an u xn y)，两边消去 5lgan 并整理，得(lg3 x)n x y lg2 =5xn 5y，则lg3 x =5xx + y +Ig2 =5ylg3x =4lg3 lg2 y =16代入O式，得lgan 1聖(n 1)4.ig3 . lg2164= 5(lgan 罟4n聖16lg 2由 lgai空聖，lg7埋1空竺1644164及式,得 lganlg an 1则 lgan164lg3lg 3 lg 2(n 1)所以数列lgan等比数列旦範毕是以lg7必朋4164416.lg 3 n lg 3 lg 24则 lg an164弋7也为首项，以 5 4lg3 . Ig3 lg 2416为公比的lgan =(lg 7 罟4.必 Jg2)5n4164lg3 lg21=(lg 7 lg 341lg361lg 2;)5nJn-lg 3* 4 -lg316 -lg24 二lg(7 34 316 24)5nJ -lg(34n-lg(34115n 4-n5n 亠45n 丄 J3石 24)=lg(75n4 3 -3 2)=lg(75nJl5n -4n 45n x43 162。124)= lg(7 34 3165n4n45n43 162 4 )127)5nJ评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 1 = 2 -3nan转化为lg an 1 lg3(n 1)也=5(lg an n 也,从而可知数列41644164Ig an 聖n 聖-是等比数列，进而求出数列4164器晋的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11已知数列an满足an =a3(n 1)2, a, =5，求数列an的通项公式。解：因为a. i =a：(n 1)2，所以an =a3嘖亠3(n 二)2n - 3n2n -= an_2_ 32(n 二)n 2(n 亠(n -a n _23(n _2)2n 3 32(n 二)n 2(n 刃(n 1= an J3_ 33(n _2)(n)n 2(n 习(n 0(n。=a n .3_ 3丄 2 3(n_2)(n)n21*+(flq+n2+l-L! =ai丄n!2n (n J)又a5，所以数列an的通项公式为an =53斗!2 2评注：本题还可综合利用 累乘法和对数变换法求 数列的通项公式，即先 将等式an 1 二an(n 1)2两边取常用对数得Igan d =3(n1) 2nlgan，即 朋口 =3(n 1) 2n，再由Igan累乘法可推知Ig an业ygazIgan:|ga3Iga2Ig a2Ig a1n(n J)3n -1 n! 22IgaIg5! ，从而七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列an满足an厂an理2，a1 =8，求数列an的通项公(2n +1)2(2 n+3)29式。解：由 心（2n 丫（2； 3）2 及 a9，得8(1 1)(2 11)2(2 13)28 8 224=+=9 9 2525a a + 8(”)(2 .2+1)2(2 2+3)224 8348=+=25 254949a a .8(3 1)a4 _a322(2 3 1)2(2 3 3)248 8 480+49 49 8181由此可猜测a(2n11 r1，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n +1)2(1)当 n=1 时，a1(2 1 1)2 -1 8= 2(2 11)9所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即ak(2k1)2 -1 2(2k1)2，则当n二k 1时,a k 1 =ak8(k +1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2 -18(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2 1(2k3)28(k1)(2k +1)2 (2k +3)2(2k1)2(2k3)2 -(2k3)28(k 1)2 2(2k1)2(2k3)22 2 2(2k1)2(2k3)2 (2k1)2(2k +1)2(2k +3)2(2k 3)2 1 2(k 1) 12 1(2k3)22(k1) 12由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据(1)( 2)可知，等式对任何 n N*评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13已知数列an满足an .1 -(1 4a . 1 24an )，a, =1，求数列an的通项公16式。 1 2解：令 bn =二1 - 24an，则 an =24(b： -1)1 1 故an 1(b2 1 -1)，代入 an 1(1 4a . 1 24a*)得2416、1 2 1 1 2方(b：1 -1*亦口 4 24(b2 -1)bn即 4b： 1 =(bn 3)2因为 bn 1 24an _0，故 bn 1=1 - 24an .1 _01 3则 2bn 1 =bn 3，即 bn 1bn2 21可化为 bn 十 3 = 2(bn 3)， 1所以bn -3是以b1. 1 24a 1 -3 = -1 241 -3 = 2为首项，以？为公比的等比数1 1 1 , 1列，因此 bn -3=2，则 bn =()2 +3，即.1 24an =()2 3，得2 / 1 n +/ 1 n + 1an()()3 423评注：本题解题的关键是通过将.1 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化1 3bn 1bn 形式，从而可知数列bn - 3为等比数列，进而求出数列bn - 3的通项公2 2式，最后再求出数列an的通项公式。九、利用不动点法求通项公式21a 24a1 =4，求数列an的通项公式。例14 已知数列an满足an an 一 ，4an +121x _24解：令 x，得 4x2 _20x 24 =0，4x +121x _24则X1 =2, X2 =3是函数f(x)的4x十121an -242两个不动点。因为an 1 2 经1an41 3 21an 24 34an +12何-24-2血 1)13an-2613 。921an - 24 - 3(4an 1)9an -27anan 3，所以数列ei是以2心132为首项，以13为公比的等比数列，故a1 -34 -39n Aan 2a* -3则an2”1评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)空 24的不动点，即方程 x =空 24的4x 14x 1两个根x1 =2，x2 =3，进而可推出 亠1an卅13 a 2a 213，从而可知数列为等比数-39an-3an - 3-2a -2列，再求出数列的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an 3例157a 2已知数列an满足an 1二 一，2an +3a1 =2，求数列an的通项公式。解：令7x 2，得2x2-4x2=0,则x=1是函数f(x)二竺的不动点。4x +7因为an 1712an 35an 5所以2a n1an 1 一12an 325an -5 一 5ana* -12=(15亠)亠an _1an _11an是以 -11212 1=1为首项，以2为公差的等差数列，则5an 一12=1 (n -1)，故5an2n 82n 3。评注：本题解题的关键是先求出函数3x 17x 2f（x）二厂的不动点，即方程的根x =1，进而可推出12=-，从而可知数列an - 151丄为等差数列，再求出数列a n - 11的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an -1十、利用特征根法求通项公式例16 已知数列an满足an 1 =3an -an（n _2），aa2 =1，求数列an的通项公式。解：an 3an -an d（ n _2）的相应特征方程为2_3， 1 =0，解之求特征根是5，所以a.C23 .5由初始值a1 =a2=1，得方程组1 =5(3、5）11=5(235)2 C2(35、2求得C255 2、5从而an5 -2一5 3 5 n5 2、53- -5 n5(。C1，C2，从而可得数评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 列an的通项公式。416_5lg3lg3 lg2-n 41645 -2.5