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2015-16学年第一学期苏科版初二数学全等三角形复习讲义一、知识系统：二、知识点：1、定义：能够完全重合的图形叫做全等图形。（1）“完全重合”是指两个图形的形状相同、大小相等；（2）全等图形是指两个或两个以上的图形之间的关系。一个图形不能称为全等图形。特征：（1）形状相同；（2）大小相等。应用举例：（1）下列四个图形是全等图形的是（ ）（2）如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对_2、全等图形作法及分割：（1）全等图形的作法：依据图形的平移、翻折、旋转三种基本变换，作图的关键是先找出关键点，然后确定关键点经过变换后的位置，最后确定图形的位置。（2）全等图形的分割：把一个图形分割成两个或几个全等图形，一般的分割思路有：（1）利用中心对称图形性质分割图形；（2）利用图形在分割前后面积不变寻求分割方法。（3）利用全等图形设计图案：先把图形割补，在设计图案，最后无缝拼接。3、全等三角形的定义及表示（重点）两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。如图所示：ABC与DEF是全等三角形，记作ABCDEF。其中（1）顶点A和D、B和E、C和F叫做对应顶点；（2）AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；（3）A和D、B和E、C和F叫做对应角。说明：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。（4）找对应边、对应角的常用方法：（1） 全等三角形的对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2） 全等三角形的对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3） 有公共边的，公共边是对应边；（4） 有公共角的，公共角是对应角；（5） 有对顶角的，对顶角是对应角；（6） 全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。应用举例：如图，ABCABD，图中有相等的角吗？有相等的边吗？请找出来，并说明你的理由.4、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。几何语言：如果ABCDEF，则A=D，B=E，C=F，AB=DE，AC=DF，BC=EF。注意：（1）两个三角形全等是对应边和对应角相等的前提。如果没有全等三角形，就没有对应边相等，对应角相等。（2）利用全等三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，在用字母表示时，也要对应着写，两个对应角所对的边一定是对应边。（3）两个三角形全等，就是两个三角形能够完全重合。所以不仅对应边相等，对应角相等，对应角平分线、对应高线和对应中线也相等，而且它们的周长和面积也相等。（4）三角形全等具有传递性。5、三角形全等的判定条件：（重点）（1）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“SAS”。（2）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“ASA”。（3）两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；简写作：“AAS”。（4）三边分别对应相等的两个三角形全等；简写作：“SSS”。DCBAO1234（5）用“HL”证明两个直角三角形全等。应用举例：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点， 12，34求证：（1）ABCADC；（2）BODO6、三角形的稳定性：如果一个三角形三边长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。应用举例：工人师傅造门时，常用木条EF固定门框ABCD（如图所示），使其形状不变，这种做法的依据是（ ）A、两点之间线段最短 B、长方形的对称性 C、长方形四个角都是直角 D、三角形的稳定性7、尺规作角平分线和垂线：（1）角平分线的作法；（2）过直线外一点作已知直线的垂线。应用举例：已知：ABC是等边三角形（1）用直尺和圆规分别作ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）过点C画射线CFBC，垂足为C，CF交射线BE与点F求证：OCF是等边三角形；（3）若AB=2，请直接写出OCF的面积三、典型例题：1、已知，ABCDEF，ABC的周长为12cm，AB=4cm，BC=5cm，则DE= ，EF= ，DF= 2、如图，ABCAEC，B和E为对应顶点，B=40，ACB=70，求AEC各个内角的度数。3、ABC绕点A旋转得到ADE，B=28，E=95，则BAD的度数为（ ）A、75 B、57 C、55 D、774、如图，在RtABC中，ACB=90，且AC=BC=4cm。已知BCDACE。求四边形AECD面积。ABCDE5、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=ACBCDEFA6、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEFBCDEFA7、已知：BECD，BEDE，BCDA，求证：BECDEA；DFBC8、如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE说明：证明两个三角形全等时图形中常用的隐含条件：判定两个三角形全等，寻找条件时，应该注意图形中的隐含条件，常见的有：（1）公共边或公共角相等；（2）对顶角相等；（3）等边加（或减）等边，其和（或其差）仍相等；（4）等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等；（5）同角或等角的余角（或补角）相等；（6）有中线或角平分线的定义得出线段或角相等；（7）由垂直定义得出直角相等。另外，一些自然规律如：“太阳光线可以看成是平行的”，“光的反射角等于入射角”等也是常用的隐含条件。四、基础训练：1、如图，已知AB=AD，要使ABCADC，可增加条件 ，理由是 定理。2、下列说法中正确的是（ ）A、两个直角三角形全等 B、两个等腰三角形全等 C、两个等边三角形全等 D、两条直角边对应相等的直角三角形全等3、如图，ABC中，C=90，AD平分CAB交BC于点D，DEAB，垂足为E，且CD=6cm，则DE的长为（ ）A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm 4、三角形内到三条边的距离相等的点是（ ）A、三角形的三条角平分线的交点 B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点 D、三角形的三边的垂直平分线的交点5、三角形内到三个顶点的距离相等的点是（ ）A、三角形的三条角平分线的交点 B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点 D、三角形的三边的垂直平分线的交点6、在ABC中，A=70，B=40，则ABC是（ ）A、钝角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形7、如图，AE=BE，C=D，求证：ABCBAD。8、如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。AB=DE， AC=DF， ABC=DEF， BE=CF.解：我写的真命题是： 在ABC和DEF中，如果 ，那么 。（不能只填序号）证明如下：9、已知：AC ,BD相交于点O，AO=OC，再添加一个什么条件，使两个三角形全等？10、如图，在ABC和EFD中，ADFC，ABFE，当添加条件_时，就可得ABCEFD（SSS）11、如图，点E、F在AB上，且AFBE，ACBD，ACBD求证：CFDE12、如图1，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE于D，（1）求证: BCECAD；（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；EBDA图2CBECDA（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.6
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