广义积分敛散性的判别课件

1第四节第四节*2一、无穷限积分敛散性的判别一、无穷限积分敛散性的判别 对对于于级级数数 1nnu，在在无无穷穷区区间间),1 上上定定义义函函数数 nuxf)(，)1,nnx，Nn，则级数的部分和可表示为则级数的部分和可表示为 1121d)(nnnxxfuuuS3定理定理(比较判别法比较判别法)设设函函数数)(xf和和)(xg在在),a上上连连续续，且且有有)()(0 xgxcf ，),ax，则当无穷限积分则当无穷限积分 axxgd)(收敛时，收敛时，axxfd)(也收敛；也收敛；证略证略.)()(0 xgxcf ，),ax，其其中中 c为为正正的的常常数数，4定理定理(极限判别法极限判别法)设设函函数数)(xf在在),a上上连连续续，(其其中中0 a)，且且0)(xf，如如果果 则则当当1 p时时，无无穷穷限限积积分分 axxfd)(收收敛敛；证略证略.Axfxpx )(lim5例例1 1解解由罗必塔法则，由罗必塔法则，xpxxx elim2xpxx elim2 0 6例例2 2解解由于由于 所所以以，当当1 时时，该该广广义义积积分分收收敛敛；xxxx 1arctanlimxxxxarctan1lim ,2 7定理定理证略证略.如果广义如果广义 （此此时时称称 axxfd)(绝绝对对收收敛敛）例例3 3解解由于由于,e|sine|xpxpxxx ),0 x由由例例 1 知知 1dexxxp 收收敛敛，8二、瑕积分敛散性的判别二、瑕积分敛散性的判别 定理定理(比较判别法比较判别法)设设函函数数)(xf和和)(xg在在,(ba上上连连续续，)()(0 xgxcf ，其其中中 c 为为正正的的常常数数，则则当当瑕瑕积积分分 baxxgd)(收收敛敛时时，baxxfd)(也也收收敛敛；证略证略.)(limxfax，)(limxgax，且且恒恒有有 9定理定理(极限判别法极限判别法)设函数设函数)(xf在在,(ba上连续，且上连续，且 )(limxfax，如果如果 则则当当10 p时时，瑕瑕积积分分 baxxfd)(收收敛敛；证略证略.Axfaxpax )()(lim10例例4 4解解易知易知0 x为瑕点，为瑕点，取取121 p，)(lim210 xfxx,111lim20 xx11例例5 5解解易易知知1 x为为瑕瑕点点，由于由于)()1(lim21)1(xfxx ,61)4)(1(1lim2)1(xxx)()1(lim211xfxx ,61)4)(1(1lim21 xxx12例例6 6解解显然，当显然，当1 p且且1 q时，是常义积分；时，是常义积分；因因此此，当当0 p且且0 q时时，该该广广义义积积分分收收敛敛；若若1 p，则则0 x是是瑕瑕点点，)(lim10 xfxpx ,1)1(lim10 qxx,11 p;0 p若若1 q，则则1 x是是瑕瑕点点，)(lim10 xfxqx ,1)1(lim10 pxx,11 q;0 q13练习：练习：P251 习题七习题七