九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定例题精讲与同步练习素材新版北师大版

菱形的性质与判定例题精讲与同步练习【重点、难点】重点：1.菱形的概念。有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。2.菱形的性质：1菱形的四条边相等；2菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；3菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。3.菱形的判定定理：1四条边相等的四边形是菱形；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。【讲一讲】几何：例1:已知：在菱形ABCD中,E、F分别为BC CD的中点，求证：AE=AF分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CRE、F分别为中点，则BE=DF另有/B=ZD,这样通过全等三角形可以求证AE=AF证明：ABCD为菱形，AB=ADBC=CD/B=/D/E、F分别为BC CD的中点BE=DF在ABE与厶ADF中2AB二ADB=.DBE二DFABEAADF AE=AF例2:已知：矩形ABCD勺对角线AC的垂直平分线与边AD BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。分析：由EF为AC的垂直平分线有AE=EC AF=FC若证AFCE为菱形，只须证AE=FC通过已知ABCD为矩形，利用矩形的性质可以证明AOE与ACOF全等。从而得到AE=CF证明：ABCD为矩形，AD/BC/仁/2。/EF为AC的垂直平分线AO=CO在AAOE与ACOF中1-/2A0二CO3 4AOEACOFAE=FC ABCD为矩形，AD/BC即AE/FC四边形AFCE为平行四边形/EF是AC的垂直平分线3EF丄AC AFCE为菱形。例3:已知：如图在RtABC中，/BAC=90，/ABC的角平分线交AC于D,AHLBC于H,交BD于E，DF丄BC于F。求证：AEFD为菱形。分析：利用角平分线的性质可以证明AD=DF由角平分线可得/ADBdBEH从而得到/仁/ADE即AE=AD又可证明AE/DF,所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。证明：在RtABC中，/BAC=90,/ADBkABD=90/AHL BC于H/2+Z DBF=90/1=/2/1+Z DBF=90/BD平分/ABC/ABDdDBF/ADBM1AE=AD/BD平分/ABC/BAC=90DF丄BC于FAD=FDAE=FD/AHL BC于H,DF丄BC于F4AH/DF,即AE/FD AEFD为平行四边形 AE=ADAEFD为菱形【同步达纲练习】1.已知：平行四边形ABCD中,AC和BD交于0,EF过0点交AD于E,交BC于F,HG过0点交AB于H,交CD于G如果EF平分/AOD HG平分/A0B求证：EHFG为菱形2.已知菱形ABCD的对角线AC长为16,BD长为12求它的面积。边长AB及高。3.已知菱形对角线BD=4/BAD/ADC=1 2,求：菱形面积及对角线AC的长。4.如图，已知0是矩形ABCD的对角线的交点，DE/AC CE/DB DE与CE相交于E求证：四边形0CED菱形。55求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形6求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。6【同步达纲练习】11.T0E平分/AOD.AOE AOD21/0H平分/AOB.AOHAOB2/AOD：+AOB=1801ZAOE E AOH 180=90即HGL EF。2/ABCD为平行四边形OA=OC BO=ODAD/BC AB/CD/DAOMBCO/ABOMODCAOEAOCFBHOAODGOE=OF OH=OGHFGE为菱形。2.vABCD为菱形，ACLBD OA=OC OD=OB又AC=16 BD=12OD=6 AO=8-AD二OD2AO2=36 64=10AB=1011SABCDAC BD 16 12=9622SABCD=AB h103.TABCD为菱形AB/CDMBADMADC=180 BADMADC=1 2MBAD=60MADC=120/ACLBD OA=OC OB=OD BD=4OB=2又/BAOMDAO=30参考答案SABCD96=9.6AB7 OA=2 3AB=4 AC=20A=4.、311l-SABCDAC BD4.3 4=8、3224,vDE/ACDE/OC同理CE/ODOCED为平行四边形/ABCD为矩形AC、BD相交于OOA=OC OD=OB且AC=BDOD=OCOCED菱形。5.证明：连结AC BD相交于O11EH/AC FG一AC22EH/FGEF/BD又ABCD为菱形ACLBDEFLGFEFGH为矩形。6.8证明：连结AC BD/ABCD为矩形，AC=BD/E、F、G H分别为AD AB BC CD中点,1 EF/-BD21GH/BD21FG/AC21EH/AC2EF=FG=GH=EHEFGH为菱形。