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一、 导数与函数的交汇例1（2006年山东卷）设函数,其中,求的单调区间.解析：由已知得函数的定义域为，且 （）（1）当时，函数在上单调递减.（2）当时，由，解得.、.随的变化情况如下表:极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述:当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减, 函数在上单调递增.【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新.主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围.二、导数与数列的交汇例2（2006年江苏卷）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 解析：曲线在处的切线的斜率为又因为切点为，所以切线方程为，令得,令.数列的前项和为【评注】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点.否则容易出错.三、导数与三角的交汇例3（2005年湖北）若，则与的大小关系 （ ）A B C D与的取值有关解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关。故答案应选D.例4（2005年全国1）设函数，图象的一条对称轴是直线（1）求;（2）求函数的单调区间（3）证明直线与函数的图象不相切.解析：（1）是函数的图象的对称轴,（2）由（1）知因此由题意可得.所以函数的单调增区间为（3）证明:曲线的切线斜率的取值范围为.而直线的斜率为, 直线与函数的图象不相切.【评注】（1）例3若直接比较与的大小关系,则比较麻烦.而采用构造函数,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效. （2）例4.的第3小题利用导数的几何意义来证明直线与函数的图象不相切.起到化繁为简的作用.四、导数与向量、方程的交汇例5（2001年天津高考模拟试题）已知平面向量，（1）证明（2）若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式（3）据（2）的结论，议论关于的方程的解的情况。解析：（1）（2）即整理得上式化为（3）讨论方程的解的情况，可以看作曲线与直线的交点个数。于是，令解得，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值当时，有极大值，极大值为当时，有极小值，极小值为而时，得所以的图象大致如图所示：于是当或时，直线与曲线仅有一个交点，则方程有一解；当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当时，直线与曲线有三个交点，但不同时为零，故此时方程也有两解；当或时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解；【评注】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和方程有关知识，同时又运用了转化化归思想，逻辑性强，是一道典型的融向量、导数、函数、方程为一体的综合性题目，符合高考在知识交汇处设计试题的原则。五、导数与不等式的交汇例6.（2006年四川）已知函数 ,的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:（1）当时,（2）当时,解析:（1）略.（2）证法一:由,得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立,即证成立.设 ,则令，得，列表如下：极大值对任意两个不相等的正数,当时,证法二:由,得是两个不相等的正数设 ，则，列表：极大值即对任意两个不相等的正数,当时,【评注】本题是利用导数求函数的极值及运用比较法、放缩法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。六、导数与解析几何的交汇例7（2004年福建高考模拟试题）设函数分别在、处取得极小值和极大值，平面上点、的坐标分别为，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。（1）求点、的坐标；（2）求动点的轨迹。解析：（1）令得或当时，；当时，；当时，.函数在处取得极小值，在处取得极大值；故当时，点、坐标分别为（2）设则 又 又的中点在上， 由、消去，得，其中动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。【评注】本题以函数的导数与极值为载体，利用向量设计点的轨迹，借助对称建立相关点间的联系，是典型的解析几何中求轨迹的问题。七、导数与立体几何的交汇例8（2005年全国3）用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器高为 cm，容器的容积为 cm，则 求的导数，令，得（舍去）当时，那么为增函数；当时，那么为减函数；因此，在定义域内，函数只有当时取得最大值，其最大值为（m）答：当容器的高为10 cm时，容器的容积最大, 最大容积是19600 m.【评注】本题是利用导数知识判断容积函数的单调性及最值问题来解决以立体几何中的翻折问题为背景的长方体容积最值问题。这种利用导数知识解决立体几何问题，体现高考在知识网络交汇点设计创新型能力题的命题新趋势。共7页 第7页
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