安徽省历中考数学试题三角形

2007-2013年安徽省中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1. （2007安徽省4分）如图，已知ABCD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=【 】A B C D 【答案】A。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】ABCD，APBDPC。 AB=4，CD=7，AD=10，DP=， ，解得AP=。故选A。2. （2008安徽省4分）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于【 】A. B. C. D. 【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】如图，连接AMAB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，AMCM，AM=BM=3。AM=。AMMC=ACMN，。故选C。3. （2009安徽省4分）ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是【 】A120 B125 C135 D150二、填空题1. （2009安徽省5分）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m。【答案】。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由题意知：平滑前梯高为，平滑后高为，梯子的顶端沿墙面升高了m。2. （2009安徽省5分）如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是 。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD【答案】。【考点】等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】当BAD=ACD时，得不到AB=AC。当BAD=CAD时，AD是BAC的平分线，且AD是BC边上的高，BAC是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC，连接AE、AF。AB+BD=CD+AC，DE=DF。又ADBC；AEF是等腰三角形。E=F。AB=BE，ABC=2E。同理，得ACB=2FABC=ACB。AB=AC，即ABC是等腰三角形。ABC中，ADBC，根据勾股定理，得：AB2BD2=AC2CD2，即（AB+BD）（ABBD）=（AC+CD）（ACCD）。ABBD=ACCD，AB+BD=AC+CD。两式相加得，2AB=2AC， AB=AC，即ABC是等腰三角形。故能推出ABC是等腰三角形的是。三、解答题1. （2007安徽省10分）如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45和60，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度。（取 1.73，计算结果保留整数）【答案】解：AB=8，BE=15，AE=23。在RtAED中，DAE=45，DE=AE=23。在RtBEC中，CBE=60，CE=BEtan60=15。CD=CEDE=15232.953。这块广告牌的高度约为3米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分析图形：根据题意构造直角三角形，利用其公共边构造三角关系，从而可求出答案。2. （2007安徽省10分）如图，DE分别是ABC的边BC和AB上的点，ABD与ACD的周长相等，CAE与CBE的周长相等。设BC=a，AC=b，AB=c。（1）求AE和BD的长；（2）若BAC=90，ABC的面积为S，求证：S=AEBD。【答案】解：（1）ABD与ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，ABBD=ACCD=。BD=。同理AE=。（2）证明：BAC=90，c2b2=a2，S=bc。由（1）知AEBD=。S=AEBD。【考点】勾股定理，代数式变换。【分析】（1）根据，ABD与ACD的周长相等，可得：ABBD=ACCD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，即 ，由AB，AC的值，即可求出BD和AE的长。 （2）根据（1）中求出的AE，BD的值，先求出AEBD是多少，在化简过程中，可以利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同。3. （2008安徽省8分）小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得CBD=60，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算结果精确到0.1米，)【答案】解：在RtBCD中，CD=BCsin60=20。又DE=AB=1.5，CE=CDDE=CDAB=(米)。此时风筝离地面高度不18.8米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答。4. （2008安徽省12分）已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；（2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC；（3）若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示。【答案】解：（1）证明：过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC（HL）。BC，ABAC。（2）过点O分别作OEAB，OFAC，EF分别是垂足，由题意知，OEOF。在RtOEB和RtOFC中，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFE（HL）。OBEOCF.又由OBOC知OBCOCB，ABCACD。ABAC。（3）不一定成立。如图，当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC；否则，ABAC。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）先利用斜边直角边定理证明OEC和OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到B=C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC。（2）过O作OEAB，OFAC，与（1）的证明思路基本相同。（3）当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC；否则，ABAC。5. （2009安徽省12分）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长6. （2009安徽省8分）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据： 1.7）【答案】解：如图，过点B作BC垂直于河岸，垂足为C。 在RtACB中，BC=900，BAC=60，。（分）。船从A处到B处约需3.4分。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】要求出AB的长，可过B作河对岸的垂线，在构建的直角三角形中，根据河岸的宽度即AB与河岸的夹角，通过解直角三角形求出AB的长，进而根据时间=路程速度得出结果。7. （2009安徽省14分）如图，已知ABCA1B1C1，相似比为k（k1），且ABC的三边长分别为a、b、c（abc），A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在ABC和A1B1C1使得k=2？请说明理由。【答案】解：（1）证明：ABCA1B1C1，且相似比为k（k1），a=ka1。又c=a1，a=kc。（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2，此时，ABCA1B1C1且c=a1。（3）不存在这样的ABC和A1B1C1。理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1。又b=a1，c=b1，a=2a1=2b=4b1=4c。b=2c。b+c=2c+c4c，4c=a，而b+ca。故不存在这样的ABC和A1B1C1，使得k=2。【考点】相似三角形的性质，三角形三边关系。【分析】（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论。（2）此题是开放题，可先选取ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可。（3）根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立。8. （2011安徽省10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60和45求隧道AB的长(1.73)【答案】解：在ACO中，ACO=900DCA=900600=300， 。 又BCO=900DCB=900450=450， OB=OC=1500。 AB=15005001500865=635(m)。 答：隧道AB的长约为635m.【考点】解直角三角形。【分析】在ACO和BCO两个直角三角形中求解即可。9. （2012安徽省10分）如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=，求AB的长，【答案】解：过点C作CDAB于D,在RtACD中，A=30，AC，CD=ACsinA=，AD=ACcosA=。在RtBCD中，B=45，则BD=CD=，AB=AD+BD=3+。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C作CDAB于D，利用构造的两个直角三角形来解答。10. （2012安徽省12分）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分EDF;（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.【答案】解：（1）D、C、F分别是ABC三边中点，DEAB，DFAC。又BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，BG=AC+AG。BG=ABAG，BG=。（2）证明：BG=，FG=BGBF=，FG=DF。FDG=FGD。又DEAB，EDG=FGD。FDG=EDG。DG平分EDF。（3）在DFG中，FDG=FGD，DFG是等腰三角形。BDG与DFG相似，BDG是等腰三角形。B=BGD。BD=DG。CD= BD=DG。B、G、C三点共圆。BGC=90。BGCG。【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。【分析】（1）由BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=ABAG即可得BG=。（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DEAB，即可求得FDG=EDG。（3）由BDG与DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BGC。