湖北省荆州市高三质量检查III数学理试题

荆州市2018届高三年级质量检查（）数学（理工农医类）第卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集，集合，则（ ）A B C D2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）A B C D3.下列命题正确的是（ ）A命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；B命题“若，则”的逆否命题为真命题；C“”是“”成立的必要不充分条件；D命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注：，.A6038 B6587 C7028 D75395.已知数列满足，且，则（ ）A-3 B3 C D6.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）A B C D17.偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则（ ）A16 B14 C12 D108.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A14 B15 C16 D179.已知，若，则（ ）A-5 B-20 C15 D3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A B C D1211.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D12.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A B C D第卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量，若向量与共线，则 14.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 15.已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 16.设数列满足，若使得，则正整数 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知向量，若，且函数的图象关于直线对称.（）求函数的解析式，并求的单调递减区间；（）在中，角、的对边分别为、，若，且，求外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱中，点为棱的中点，点为线段上一动点.（）求证：当点为线段的中点时，平面；（）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.19.手机中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：步数性别男02472女13731（）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数学期望；（）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：.0.100.050.0250.012.7063.8415.0246.63520.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（）求抛物线的方程；（）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.21.已知函数.（）讨论的单调性；（）若，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.（）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与圆交于、两点，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为.（）求集合；（）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.荆州市2018届高三年级质量检查（）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（），函数的图象关于直线对称，又，.函数的单调递减区间为，.令，.的单调递减区间为，.（），.，.在中，由余弦定理得，.由正弦定理得，.18.（）证明：法1：连接、，显然、三点共线.点、分别为和的中点，；在直三棱柱中，平面，又，四边形为正方形，、平面，平面，而，平面.法2：（用向量法同等给分）.（）解：以为原点，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接、，设，.当点在线段上运动时，平面的法向量即为平面的法向量，设平面的法向量为，由得，令得，设平面的法向量为，由得，令得，取，或.19.解：（）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为.可能取值分别为0，1，2，3，积极型消极型总计男9615女41115总计131730的分布列为0123则.（）完成列联表的观测值.据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.20.解：（）由题意可设直线的方程为，令，.联立得，根据抛物线的定义得，又，又，.则此抛物线的方程为.（）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则.由于直线与的倾斜角互余，则，则直线的斜率为.于是直线的方程为，即，联立得，则，同理将换成得：，.则直线的方程为，即，显然当，.所以直线经过定点.21.解：（），在上恒成立，即在上单调递减.当时，由，得；由，得；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（）令，则，由于，设，由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减.（因为），从而.则在上单调递减；在上单调递增，设，在上递减，；，故.说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：由得到，设，当时，；当时，.从而在上递减，在上递增. .当时，即.22.解：（）法一：在极坐标系中，令，在中，为直径，消去参数得直线的普通方程为：.法二：在直角坐标系中，圆的圆心为，则方程为.即，即.（）法一：直线过圆内一定点，当时，有最小值，.法二：点到直线的距离，.当时，有最小值.23.解：（）由已知，令，由得.（）将不等式整理成，令，要使，则，.