抛物线地性质归纳及证明x

A、B、C I BF I x2 -；21 cos2p+ xz + p=sin2 ；特别地，当2p； 0)焦点F的弦两端点为A(xi , yi ), B( X2 , y2 ),倾斜角为，中点为C(x ,y ),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为0 01.求证：焦半径I AF I xi ；焦半径21 cos1 1 2 _I AFI + I BF I = p；弦长 I AB 丨=xi x =x(=90 )时，弦长IABI最短，称为通径，长为2 sin证明：根据抛物线的定义,I = IIAFADBF1BCI =xz +P2,AF l+，BF1 二F1 COS1 + cos+pI ABI =1 AF I +l BF I =xi+ x? + p如图2,过A、B引x轴的垂线 AAh BBi,垂足为i、 i,那么I 丨=丨 丨一丨 il = lA BRF AD FA AFIcos 、丨.1pAF I =I1 COS1 cosI I. = p同理，I BFI 1+cos 1+ cosSaoab = Sa oaf+ Sa obf十1 OFIIyi 丨 + +1 OFIIyi丨=丄p (1 yi 1 + 1 yi 1)2222 yiy2 = p2,则 yi y?异号，因此，I yi I + I yi I = I yi y? I2sin_PAOAB s9Avyp1= / ( i+ 2)24* y y4L=P / 爲 42 2 +44mp2 -TV1 +P 22.求证：xx1 22P ； yiy24p2 + = I AF I I BFI p当AB丄x轴时，有AFBFp,成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:代入抛物线方程:k2 x2p 2 px .化简得:2k2x2 p k 2 2pk24方程（1）Z二根为 Xl, X2,AFBBX2XIX2xiX2xi X2PXI X2 P2-rX2r-pxi X2 pp42423.求证：ACBA*FBRtZ .先证明：ZAMB= Rt Z【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图3,则AADMA ECM,A I AMI = I EMI , I ECI = I AD IA I BEI = I BCI + I CE I = I BCI + I ADI=I BF I + I AF I = I ABIABE为等腰三角形，又M是AE的中点,A BM丄AE,即Z AMB= RtZ【证法二】取AB的屮点N,连结MN,则AB为斜边，故Z AMB= RtI MNI = 2(1 ADI + I BCI) = 2(1 AFI + I BF I) = 21 ABI , A I MNI =丨 ANI =1 BNIAA ABM为直角三角形，Z .r【证法三】由已知得 C( 2,y】+ y2y _ AM2k =2y)P-P iP、D( 一2，y),由此得 M( 一2，p2 (一)卫y_P(V-yr+p2yyr+ p2x】+ 2AMBMPy2 2p+ Pyy -pA BM丄AE,即Z AMB= RtZ .【证法四】由已知得C（卫，y?）、D（2 yi+ y?2， 2 ).-PI MA = ( xi + 2，2 厂MB=(xs+2，2 )f-i p 2 p (屮一y?)( yjMA MB=(x + 2)(x+2)+42：(刃一yj=xiX2+ 2( x】+ x?) + 4 _42 2 2 2p- p yi_ 竺yi+ V22vm= 4 + 2(2p+2p) + 4 0：址疋丄二?=十 =+= 02 2 2 2,故ZRt Z MA MBAMBy22)BN1_ 卫,同理k y2yi),由此得M(2故 Z DFC =y图5y*图7【证法五】由下面证得Z DFC=90 ,连结FM,则FM=DM.又AD=AF,故厶ADM竺AFM,如图4Z 1 = Z 2,同理Z 3 = Z41AZ 2+Z 3=2X 180= 90/. Z AMB= Rt Z.接着证明：Z DFC= Rt Z【证法一】如图 5,由于I 丨=丨 I ,/AD AF AD RF 故可设Z AFD=Z ADF=Z DFR= , 同理，设z =z =z =,BFC BCF CFR而/ AFD+Z DFR + Z BFC + Z CFR= 180 2( +) = 180 ，即 +=9090p 屮+刃 【证法二】取CD的中点M,即M(二2 2 )p _由前矢 口 kAM= ， kcF_ =号yp p p y+ 2+ 2kAM=kcF, AM/ CF,同理，BM DFA Z DFC = Z AMB= 90 .I2【证法三】.DF= (p, y ) , CF =( p, y ),ff2/. DFCF = p+ yiy2二 0DF丄CF ,故Z DFC= 90 .22I DRI【证法四】 由于丨RFI = p = yiy2 = l DRI I RCI，即I RF I I RFI=| RC I，且Z DRF = Z FRC= 90 ADRFA FRCZ DFR = Z RCF,而Z RCF+Z RFC= 90Z DFR + Z RFC= 90yi Aivi2y = 2px戦辽揃公謝p y2 yiy-y】 = (一一),整理得yi 2p 2p2图8Z DFC= 904. C A、C B是抛物线的切线【证法一】am=R， 的直线方程为 一1 = 2（7 ）y y 刃 x 2py 2yiy+ yi= 0可见= （2 y ） 4y】=0, 故直线AM与抛物 线y2= px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.左边=yi 2=2=2 =pxi 2、pp5右边=（-毕1）=- + H左边二右边，可见，过点A的切线经过点M,X图9【证法二】由抛物线方程y2= 2 px,两边对 x求导，（y2）x =(2 px) x ,得 2y y x=2,X，故抛物线2=2在点（1,J处的切线的斜率为，切p y yy pxA xykKy x 1y =yl y又yk切=k,M,即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.y1 1 11p y】+ y2【证法三】过点A( x , y )的切线方程为 y y= p( x+ x ),把M( 2，2 )代入12 yr4- yiyzi i2y + y 2px pF/. Z DAM=Z AEB = Z BAM,即AM平分Z DAB,同理BM平分Z CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线 AB的倾斜角 是直线 AM的倾斜角 的2倍即可,p w+ y2即=2 .且 M( 2：2 )y? yi yi yi2pVtan = 1ob=x2 xiy?2 yi2yi+ 屮.2p 2ptanyAM -1 1y 2yy+ P 22p卩(1 2) p(y - yi=yy+ p*卡)二2 =屮 + pyi2 tantan 21 tan2py = 2,即AM平分Z DAB,同理BM平分Z CBA.y图106.AC、AF、y轴三线共点，BC BF、y轴三线共点【证法一】如图10,设AM与DF相交于点G,由以上证明知I ADI = 1 AFI , AM平分Z DAF,故AG也是DF边上的屮线,I 1是 的中点G DF设AD与y轴交于点D, DF与y轴相交于点G,1 2易知，丨 DDi 1 = 1 OF I , DDi OF,故厶 DD.GzA FOG2I DG2丨=丨FG21 ,则G2也是DF的中点.G与G2重合（设为点G）,则AM、DF、y轴三线共同理、轴也三线共点.BMCF y2 【证法二】AM的直线方程为y yQx - 乂），y* 2p/y令x=0 得AM与y轴交于点Gi（0 ,尸2y*22 p又DF的直线方程为y= p ( x 2)，令x= 0得DF与y轴交于点G2(0 , 2 )AM、DF与y轴的相交同一点G(0 , 2),则AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.【证法一】如图OA対Xi牛y*2y?2py22p2py2 _2p=厂-rkoA= koc,则A、O、C三点共线,同理D、0、B三点也共线.【证法二】设 AC与x轴交于点O ,ADRFBCI BFI I O Fl I CB II RO I I CO II ADI = I CAI = I AB II AF I =丨 AB II RO I I O又丨 ADI = 1 AF I , I BCI = A I RO I = I O F I ，则 OI BF I , | AF I = I AF I与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、0、B三【证法三】设AC与X轴交于点OI CBI I AF I/ O F I = 1RF BC I CB II BFI I AFI丨O FABAFI AB I1 P11= 2【见证】+I AFI I BFIO与0重合，则即C、0、A三点共线，同 理D、O、B三点也共线.7. A、O、B三点共线，B、O、A三点共线.2i1OA= (x , y ),211 2呼y2=2p22pI 21呼+十=02 2pfp【证法四】oc=( 2, y)，PP yi xi y 2= yi 22OC OA,且都以O为端点A、O、C三点共线，同 B、0、D三点共 理线【推广】过定点 P( m, 0)的直线与抛物线y2= 2px ( p 0)相交于点A、B,过A、B两点分别作直线1： x=m的垂线，垂足分别为M、N,则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图:m n8.若IBF在第一家限,为宜线a/倾斜角则边m+ n【证明】如图14,过、分别作准线B1的垂线，垂足分別为，过作 丄 于，D C B BE AD E设 I AFI = mt, I AF Iy1图14I I = I 丨，1 I = I I, I I = I I - I IAD AF BC BFAE AD BC=(mn) tI I ( -)-n在 RtA ABE 中，cos Z BAE =I AB I(m+ n) t m+ n/ cos= cos Z BAE= m+ Il【例6设经过抛物线 y2= 2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且丨AF I ： I BFI =3：1,则直线AB的倾斜角的大小为【答案】60 或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相 切；A B为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15,设书是AF的中点,4方I则E的坐标为(2，2)，_p十2 Xi 1则点E到y轴的距离为d= 2= 2| AF丨故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点，作MN丄准线1于N,则1 1 1I MNI = 20 ADI + I BCI) =2(1 AF I + I BF I) =2| ABI1则圆心M到1的距离丨MNI = 21 AB I ,故以AB为直径的圆与准线相切10. MN交抛物线于点Q,则Q是MN的中点.22丄MpP【证明】设 A(2p，yO，B( 2p y，则 c( 2，y?), D( 2，pyi+ yiyi2+y22yi+ y?M( 2,2 )，N(4p2厂2p yi+y22+ 4p2yi+ yi图16设MN的屮点为Q ,则Q (一，)22Ly2i+ y22Ty】+ y2 2 2 4p-2p2+ yr+ yr2 yiy?+ yr+ y?2228p8p2p点Q在抛物线y?=2px上，即Q是MN的屮点.