241函数的单调性

3.63.6 函数的单调性函数的单调性yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W（1）增函数和减函数）增函数和减函数.如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 x1，x2，当当 x1 f(x2)，那么就说那么就说 f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.定义：设函数定义：设函数 f(x)的定义域为的定义域为 I:如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个内某个区间上的任意两个自变量的值自变量的值 x1，x2，当当 x1 x2 时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，那么就说那么就说 f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数；复复 习习 回回 顾顾（2）单调性和单调区间）单调性和单调区间.定义定义：如果函数如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有在这一区间具有（严格的）（严格的）单调性单调性，这一区间，叫做这一区间，叫做 y=f(x)的的单单调区间调区间.（3）导数的几何意义：）导数的几何意义：函数函数 y=f(x)在点在点 x0 处的导数的几何意义，就处的导数的几何意义，就是曲线是曲线 y=f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.)()(000 xxxfyy 曲线曲线 y=f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线的方处的切线的方程为程为.)(0 xf 也就是说，曲线也就是说，曲线 y=f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的处的切线的斜率是切线的斜率是 函数的单调性：函数的单调性：1.问题的引入：问题的引入：我们知道，如果函数我们知道，如果函数 f(x)在某个区间是增函数或在某个区间是增函数或减函数，那么就说减函数，那么就说 f(x)在这一区间具有单调性在这一区间具有单调性.那么那么怎样判断函数的单调性呢？怎样判断函数的单调性呢？如果用定义判断函数的单调性如果用定义判断函数的单调性.在假设在假设 x1 x2 的的前提下，比较前提下，比较 f(x1)与与 f(x2)的大小，在函数的大小，在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较比较复杂的情况下，比较 f(x1)与与 f(x2)的大小并不很的大小并不很容易容易.下面我们利用导数来判断函数的单调性下面我们利用导数来判断函数的单调性.新新 课课 教教 学学2.利用导数判断函数的单调性：利用导数判断函数的单调性：以函数以函数 y=f(x)=x2-4x+3 为例为例.因为曲线因为曲线 y=f(x)的切线的的切线的斜率就是函数斜率就是函数 y=f(x)的导数的导数.由函数的图象可以看出，在由函数的图象可以看出，在区间区间(2，+)内，切线的斜率为内，切线的斜率为正，即正，即 f(x)为增函数；为增函数；,)(0 xf 在区间在区间(-，2)内，切线的内，切线的斜率为负，即斜率为负，即 f(x)为为减函数减函数.,)(0 xf y=x2-4x+3 利用导数判断函数单调性的结论利用导数判断函数单调性的结论：.)(,)(.)(,)()(,)()(常常数数为为则则如如果果在在某某个个区区间间内内恒恒有有在在这这个个区区间间内内为为减减函函数数则则函函数数区区间间内内为为增增函函数数；如如果果在在这这个个在在这这个个区区间间内内则则函函数数个个区区间间内内果果在在这这在在某某个个区区间间内内可可导导，如如设设函函数数xfyxfxfyxfxfyxfxfy000用导数求函数单调区间的步骤：用导数求函数单调区间的步骤：求函数求函数f(x)的导数的导数f(x).令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范围就是递增区间的范围就是递增区间.令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范围，就是递减区间的范围，就是递减区间.例例 1 确定函数确定函数 f(x)=x 2 2x+4 在哪个区间内是增函在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数数，哪个区间内是减函数.y=x2 2x+4函数图象如图函数图象如图.解：解：f(x)=(x2-2x+4)=2x-2.令令2x-20，解得，解得x1.当当x(1，+)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.令令2x-20，解得，解得x1.当当x(-，1)时，时，f(x)0，f(x)是减函数是减函数.例例 题题 解解 析析例例 2 确定函数确定函数 f(x)=2x 3 6x 2+7 在哪个区间内是增在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数函数，哪个区间内是减函数.y=2x3-6x2+7函数图象如图函数图象如图.解解：f(x)=(2x3-6x2+7)=6x2-12x令令6x2-12x0，解得，解得x2或或x0当当x(-，0)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.当当x(2，+)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.令令6x2-12x0，解得，解得0 x2.当当x(0，2)时，时，f(x)0，f(x)是减函数是减函数.例例3、求函数求函数y=x2(1x)3的单调区间的单调区间.解：解：y=x2(1-x)3=2x(1-x)3+x23(1-x)2(-1)=x(1-x)22(1-x)-3x=x(1-x)2(2-5x)52 令令x(1x)2(25x)0，解得，解得0 x52 y=x2(1x)3的单调增区间是的单调增区间是(0，)52令令x(1x)2(25x)0，解得，解得x0或或x 且且x1.52（x=1为拐点，为拐点，)y=x2(1x)3的单调减区间是的单调减区间是(-，0)，(，+)?1?2?5?f?x?=?x?2?1-x?3?x?O?y注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.1确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间 (1)y=x39x2+24x (2)y=xx3 练练 习习（1）y=x39x2+24x的单调增区间是的单调增区间是(4，+)和和(-，2)，单调减区间是单调减区间是(2，4)3333 （2）y=xx3的单调增区间是的单调增区间是(-，)3333 单调减区间是单调减区间是(-，-)和和(，+)ab2解解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b,令令2ax+b0，解得，解得xab2 y=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是的单调增区间是(，+)ab2令令2ax+b0，解得，解得x2.讨论二次函数讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间的单调区间.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是的单调减区间是(，)ab2?f(x)在某区间内可导，可以根据在某区间内可导，可以根据f(x)0或或f(x)0求函数的单调区间，或判断函数的单调求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式性，或证明不等式.当在某个区间上当在某个区间上f(x)=0，那么，那么f(x)在这个区在这个区间上是常数函数间上是常数函数 小小 结结