极大似然估计练习题

关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1，设总体X具有分布律232 珥1）（1_丁其中0宀：:1为未知参数。已经取得了样本值 为=1,X2二2,Xs 试求参数二的矩估计与极大似然估计。解：（i ）求矩估计量，列 矩方程（只有一个未知参数）E（X）2 2 2珥1）3 （1）2 = 3- 2 - X7矩=士上=士公_二1_5（ii ）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率LeP（XX1,XX2,XX3）二 P（X1,X2,X1）二 P（X厂 1） P（X厂 2） P（X3）2 2 珥1 J）寸2 二 2二 5（1 J）对数似然In L（T = In 2 5ln 二 ln（1 -二）dlnL一 511-8得极大似然估计为例2,某种电子元件的寿命(以h记)X服从双参数指数分布，其概率密度为f （x）二1 exp0,其他-（x -）/=, x -我其中% J 0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为 xl,x2, ,xn(1)求J 的最大似然估计量；(2)求J 的矩估计量 解：(1)似然函数，记样本的联合概率密度为nlc，“ f（x,x2,杠，f（x）iWni =11exp -化丛）/8,xi,X2，Xn X 岂0,其他1nexp（-C 人 - n1）/ - x（i） / 日i=i0/ x（i）在求极大似然估计时，Lf，J ) = 0肯定不是最大值的似然函数 值，不考虑这部分，只考虑另一部分。取另一部分的对数似然函数nIn LC ,) = -nln 二 -( Xj - n )/ =,x(1)i勻i=1门n LG) dQ:lnL(T)OP-可知关于% 的驻点不存在，但能判定单调性 由也口知汕0In LC）二 一 nln 二一（人- nJ ） / 乞 x,关于是增函数，故爲二 X（1）n瓦 Xj - n# InLp/）n j门将之代入到二0中得务 X-x（i）则？极一 x（i）， 极二x x（i） 一定能使得似然函数达到最大，故71，J的极大似然估计为(2)列矩方程组(两个未知参数)E(X)= i xexp(x-)/訂dx- XE(X2)exp(x-)dx二 C ，)2 =2解出J g - X)2.?矩丄瓦g - X)2n i =1例3,设总体X U0/ ,其中二-0为未知参数，X1, X2厂，Xn为 来自总体X的一组简单随机样本，为,，人为样本观察值，求未 知参数二的极大似然估计。解：似然函数，即样本的联合概率密度nL(J f(为,X2,iT1f(x)=，0 冷X2，x0,elseLCP 0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值, 取对数似然ln L(= ) = _ n ln r - x(n)d InLC)n只0知 In L C ) = - n In J 在，-X（n）内是单调递减的，故的极大似然估计值为X（n）二取X（n）能使得似然函数达到最大，则极二X（n），极大似然估计量为?极