2018年高三数学试卷(文科)

2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设全集U=xR|x0，函数f（x）=1lnx-1的定义域为A，则UA为（）A（0，eB（0，e）C（e，+）De，+）2（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，i为虚数单位，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）已知A（1，2），B（4，2），则与AB反方向的单位向量为（）A（35，45）B（35，45）C（35，45）D（35，45）4（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（）AnmpBnpmCmnpDpnm5（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A19B20C21D226（5分）已知p：xk，q：（x1）（x+2）0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A（，2）B2，+）C（1，+）D1，+）7（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051125之间抽得的编号为（）A056，080，104B054，078，102C054，079，104D056，081，1068（5分）若直线x=54和x=94是函数y=sin（x+）（0）图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为（）A34B2C3D49（5分）如果实数x，y满足约束条件&3x+y-60&x-y-20&x1，则z=y+1x+1的最大值为（）A13B12C2D310（5分）函数f（x）=&-x-1，x1&21-x，x1的图象与函数g（x）=log2（x+a）（aR）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba34Ca1或a34Da1或a34二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知直线l：x+y4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为 12（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 13（5分）在0，a（a0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2x+10的概率为12，则实数a的值为 14（5分）已知抛物线y2=2px（p0）上的一点M（1，t）（t0）到焦点的距离为5，双曲线x2a2y29=1（a0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为 15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x01，2使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是 三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知向量m=（sinx，1），n=（cosx，32），函数f（x）=（m+n）m（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移8个单位得到函数g（x）的图象，在ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A2）=66，sinB=cosA，求b的值17（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表： 物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率附：x2=n(n11n22-n21n12)2n1n2n+1n+2 P（X2k）0.1500.1000.0500.010k2.0722.7063.8416.63518（12分）在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC（1）求证：PA平面CMN；（2）求证：AM平面PBC19（12分）已知等差数列an的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，nN*（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=bn+（1）nan，记数列cn的前n项和为Tn，求Tn20（13分）已知函数f（x）=ex1axx-1，aR（1）若函数g（x）=（x1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a1时，证明：f（x）0对任意x（0，1）成立21（14分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率是32，点P（1，32）在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0xQ1，求直线l斜率k的取值范围；（3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1M2N2MnNn2018年高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设全集U=xR|x0，函数f（x）=1lnx-1的定义域为A，则UA为（）A（0，eB（0，e）C（e，+）De，+）【分析】先求出集合A，由此能求出CUA【解答】解：全集U=xR|x0，函数f（x）=1lnx-1的定义域为A，A=x|xe，UA=x|0xe=（0，e故选：A【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，i为虚数单位，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（1+i）z=2i，则z=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=i1故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知A（1，2），B（4，2），则与AB反方向的单位向量为（）A（35，45）B（35，45）C（35，45）D（35，45）【分析】与AB反方向的单位向量=AB|AB|，即可得出【解答】解：AB=（3，4）与AB反方向的单位向量=AB|AB|=(3，4)32+42=(-35，-45)故选：C【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（）AnmpBnpmCmnpDpnm【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出【解答】解：m=0.52=14，n=20.5=21，p=log20.5=1，则nmp故选：A【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A19B20C21D22【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+n210时n的最小自然数值，求出即可【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+n210时n的最小自然数值，由S=n(n+1)2210，解得n20，输出n的值为20故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题6（5分）已知p：xk，q：（x1）（x+2）0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A（，2）B2，+）C（1，+）D1，+）【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出【解答】解：q：（x1）（x+2）0，解得x1或x2又p：xk，p是q的充分不必要条件，则实数k1故选：C【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051125之间抽得的编号为（）A056，080，104B054，078，102C054，079，104D056，081，106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔60024=25个号抽到一个人，则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，故选：D【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题8（5分）若直线x=54和x=94是函数y=sin（x+）（0）图象的两条相邻对称轴，则的一个可能取值为（）A34B2C3D4【分析】根据直线x=54和x=94是函数y=sin（x+）（0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=54时，函数y取得最大值，即可求出的取值【解答】解：由题意，函数y的周期T=2(94-54)=2函数y=sin（x+）当x=54时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（54+）=1，可得：54+=2+k=k-34，kZ当k=1时，可得=4故选：D【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题9（5分）如果实数x，y满足约束条件&3x+y-60&x-y-20&x1，则z=y+1x+1的最大值为（）A13B12C2D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点（1，1）的斜率，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出约束条件&3x+y-60&x-y-20&x1所对应的可行域（如图阴影），z=y+1x+1的几何意义是区域内的点到定点P（1，1）的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，由&x=1&3x+y-6=0，得A（1，3），则z=3+11+1=2，即z的最大值为2，故选：C【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题10（5分）函数f（x）=&-x-1，x1&21-x，x1的图象与函数g（x）=log2（x+a）（aR）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba34Ca1或a34Da1或a34【分析】作出f（x）的图象和g（x）的图象，它们恰有一个交点，求出g（x）的恒过定点坐标，数形结合可得答案【解答】解：函数f（x）=&-x-1，x1&21-x，x1与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，2），而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1a，0）从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，2），它们恰有一个交点，当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点当g（x）过（1，2）时，可得a=-34，恒过定点坐标为（74，0），往右走图象只有一个交点a1或a34故选：D【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用数形结合的思想属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知直线l：x+y4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x2）2+（y2）2=8【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案【解答】解：根据题意，直线l：x+y4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点，即A、B的坐标为（4，0）、（0，4），经过O、A、B三点的圆，即AOB的外接圆，而AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r=|AB|=42，即r=22，圆心坐标为（2，2），其该圆的标准方程为（x2）2+（y2）2=8，故答案为：（x2）2+（y2）2=8【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质12（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为163【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥该几何体的体积V=23-13222=163故答案为：163【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（5分）在0，a（a0）上随机抽取一个实数x，若x满足x-2x+10的概率为12，则实数a的值为4【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案【解答】解：由x-2x+10，得1x2又x0，0x2满足0x2的概率为2a=12，得a=4故答案为：4【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题14（5分）已知抛物线y2=2px（p0）上的一点M（1，t）（t0）到焦点的距离为5，双曲线x2a2y29=1（a0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为2【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则41+a=3a，解得实数a的值【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，则丨MF丨=d=1+p2=5，则p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为A（a，0），渐近线为y=3a，直线AM的斜率k=4-01+a=41+a，由41+a=3a，解得a=3a的值为3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题15（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x01，2使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是-154，-32【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x2x，则t0，通过变形可得a=t+2t，讨论出右边在x1，2的最大值，可以得出实数a的取值范围【解答】解：解：g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x），又由f（x）+g（x）=2x，结合f（x）+g（x）=f（x）g（x）=2x，f（x）=12（2x+2x），g（x）=12（2x2x）等式af（x）+g（2x）=0，化简为a2（2x+2x）+12（22x22x）=0a=2x2xx1，2，322x2x154， 则实数a的取值范围是154，32，故答案为：154，32【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知向量m=（sinx，1），n=（cosx，32），函数f（x）=（m+n）m（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移8个单位得到函数g（x）的图象，在ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（A2）=66，sinB=cosA，求b的值【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值【解答】解：（1）向量m=（sinx，1），n=（cosx，32），函数f（x）=（m+n）m=（sinx+cosx，12）（sinx，1）=sin2x+sinxcosx12=12sin2x12（12sin2x）=12sin2x12cos2x=22sin（2x4），由2k22x42k+2，kZ，可得k8xk+38，kZ，即有函数f（x）的单调递增区间为k8，k+38，kZ；（2）由题意可得g（x）=22sin（2（x+8）4）=22sin2x，g（A2）=22sinA=66，即sinA=33，cosA=1-13=63，在ABC中，sinB=cosA0，可得sinB=63，由正弦定理asinA=bsinB，可得b=asinBsinA=36333=32【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题17（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表： 物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率附：x2=n(n11n22-n21n12)2n1n2n+1n+2 P（X2k）0.1500.1000.0500.010k2.0722.7063.8416.635【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；（2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值【解答】解：（1）根据表中数据，计算X2=72(2820-168)244283636=648778.4166.635，因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）选取的数学及格的人数为7825=2人，选取的数学不及格的人数为72028=5人，设数学及格的学生为A、B，不及格的学生为c、d、e、f、g，则基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，故所求的概率为P=1121【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题18（12分）在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC（1）求证：PA平面CMN；（2）求证：AM平面PBC【分析】（1）推导出MNAD，PCAD，ADAC，从而AD平面PAC，进而ADPA，MNPA，再由CNPA，能证明PA平面CMN（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQPC，从而MQ平面PBC，再求出AQ平面，从而平面AMQ平面PCB，由此能证明AM平面PBC【解答】证明：（1）M，N分别为PD、PA的中点，MN为PAD的中位线，MNAD，PC底面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面PAC，ADPA，MNPA，又PC=AC，N为PA的中点，CNPA，MNCN=N，MN平面CMN，CM平面CMN，PA平面CMN解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，MQ是PCD的中位线，MQPC，又PC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC，ADAC，ACD=60，ADC=30DAQ=ADC=30，QAC=ACQ=60，ACB=60，AQBC，AQ平面PBC，BC平面PBC，AQ平面PBC，MQAQ=Q，平面AMQ平面PCB，AM平面AMQ，AM平面PBC【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题19（12分）已知等差数列an的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，nN*（1）求数列an和bn的通项公式；（2）数列cn满足cn=bn+（1）nan，记数列cn的前n项和为Tn，求Tn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，nN*可得2+d=q2，32+322d=6q，联立解得d，q即可得出（2）cn=bn+（1）nan=2n1+（1）n2n可得数列cn的前n项和为Tn=1+2+22+2n1+2+46+8+（1）n2n=2n1+2+46+8+（1）n2n对n分类讨论即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为qa1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，nN*2+d=q2，32+322d=6q，联立解得d=q=2an=2+2（n1）=2n，bn=2n1（2）cn=bn+（1）nan=2n1+（1）n2n数列cn的前n项和为Tn=1+2+22+2n1+2+46+8+（1）n2n=2n-12-1+2+46+8+（1）n2n=2n1+2+46+8+（1）n2nn为偶数时，Tn=2n1+（2+4）+（6+8）+（2n+2+2n）=2n1+nn为奇数时，Tn=2n1+2n-122n=2n2nTn=&2n-1-n，n为偶数&2n-2-n，n为奇数【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）已知函数f（x）=ex1axx-1，aR（1）若函数g（x）=（x1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a1时，证明：f（x）0对任意x（0，1）成立【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；（2）问题可转换为（x1）（ex1）ax0恒成立，构造函数G（x）=（x1）（ex1）ax，通过二次求导，得出结论【解答】解：（1）g（x）=（x1）（ex1）ax，g（x）=xexa1，g（x）=ex（x+1）0，f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，g（0）=a10，g（1）=ea10，aae1；（2）当a1时，f（x）0，（x1）（ex1）ax0恒成立，令G（x）=（x1）（ex1）ax，G（x）=xexa1，G（x）=ex（x+1）0，G（x）在（0，1）单调递增，G（x）G（0）=a10，G（x）在（0，1）单调递增，G（x）G（0）=0，（x1）（ex1）ax0，当a1时，f（x）0对任意x（0，1）成立【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导21（14分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率是32，点P（1，32）在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（xQ，yQ）（点Q异于点P），若0xQ1，求直线l斜率k的取值范围；（3）若以点P为圆心作n个圆Pi（i=1，2，n），设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni（Mi、Ni皆异于点P），证明：M1N1M2N2MnNn【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得xQ，由0xQ1，即可求得k的取值范围；（3）由题意可知：故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得xi，xi，根据直线的斜率公式，即可求得yi-yixi-xi=36，kM1N1=kM2N2=kMnNn，则M1N1M2N2MnNn【解答】解：（1）由椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=32，则a2=4b2，将P（1，32）代入椭圆方程：14b2+34b2=1，解得：b2=1，则a2=4，椭圆的标准方程：x24+y2=1；（2）设直线l的方程y32=k（x1），则&y-32=k(x-1)&x24+y2=1，消去y，整理得：（1+4k2）x2+（43k8k2）x+（4k243k1）=0，由x01=4k2-43k-11+4k2，由0x01，则04k2-43k-11+4k21，解得：36k3-22，或k3+22，经验证，满足题意，直线l斜率k的取值范围（36，3-22）（3+22，+）；（3）动圆P的半径为PAi，PBi，故PAi=PBi，PAiBi为等腰三角形，故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，设PAi的斜率ki，则直线PBi的斜率为ki，设直线PAi的方程：y32=ki（x1），则直线PBi的方程：y32=ki（x1），&y-32=ki(x-1)&x24+y2=1，消去y，整理得：（1+4ki2）x2+（43ki8ki2）x+（4ki243ki1）=0，设Mi（xi，yi），Ni（xi，yi），则xi1=4ki2-43ki-11+4ki2，则xi=4ki2-43ki-11+4ki2，将ki代替ki，则xi=4ki2+43ki-11+4ki2，则xi+xi=8ki2-21+4ki2，xixi=83ki1+4ki2，yiyi=ki（xi1）+32+ki（xi1）32=ki（xi+xi）2ki，=ki8ki2-21+4ki22ki，=-4ki1+4ki2，则yi-yixi-xi=-4ki1+4ki2-83ki1+4ki2=36，故kM1N1=kM2N2=kMnNn，M1N1M2N2MnNn【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题