资源描述
1、向量与空间几何向量：向量表示 (ab);向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、a 、AB 的模分别记为 |a|、| a | 、|AB |单位向量模等于 1 的向量叫做单位向量零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或 0 零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行向量 a 与 b 平行 记作 a / b 零向量认为是与任何向量都平行向量运算 (向量积 )；1 向量的加法2. 向量的减法3向量与数的乘法设 a (ax ay az) b (bx by bz)即a axi ayj azk b bxi byj bzk则a b (axxy yzzxxyyzzb )i (a b )j (a b )k (a b a b a b )a b (a b )i (a b )j (a b )k (a b a b a b )xxyyz zxxyyzza (axi ayj azk)( ax)i ( ay)j ( az)k ( axay az)向量模的坐标表示式|r|x2 y2z2点 A 与点 B 间的距离为| AB| |AB |(x2x1)2( y2y1) 2(z2z1)2向量的方向： 向量 a 与 b 的夹角 当把两个非零向量a 与 b 的起点放到同一点时两个向量之间的不超过 的夹角称为向量 a 与 b 的夹角如果记作 (a, b) 或 (b, a)向量 a 与 b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0 与 之间任意取值类似地可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角数量积对于两个向量a 和 b 它们的模 |a|、 |b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和 b 的数量积记作 a b 即ab |a| |b| cos数量积与投影|b|cos(a b) 当 a 0 时 |b| cos(a b) 是向量由于 |b| cosb 在向量 a 的方向上的投影于是 ab |a| Prj ab同理 当 b 0 时 ab|b| Prj ba数量积的性质(1) aa |a| 2(2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a b反之 如果 a b 则 ab 0如果认为零向量与任何向量都垂直则 a bab0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a b) 则当 a 0、b 0 时 有cosa baxb x ayb y azbz|a |b|a x2 a y2 az2 bx2 b y2 bz2向量积设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出c 的模 |c| |a|b|sin其中为 a 与 bc 的方向垂直于a 与b所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积记作 a b 即ca b坐标表示ijka b ax ayaz aybzi azbx j axbyk aybxk axbz j azbyibx bybz( ay bzaz by) i( az bxax bz) j( ax byay bx) k向量的方向余弦设 r (x y z)则 x |r|cosy |r|cosz |r|coscos 、 cos、 cos称为向量 r的方向余弦c o sxcosycosz从而 (cos , cos, cos )1 r er|r |r |r |r |向量的投影向量在轴上的投影设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴任给向量 r作 OMr再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M (点 M叫作点 M 在 u 轴上的投影 )则向量 OM称为向量 r 在 u 轴上的分向量设OMe 则数 称为向量 r 在 u 轴上的投影记作 Prjur 或 (r)u按此定义向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标 xy z 就是 a 在三条坐标轴a aa上的投影 即ax Prjxa ay Prjya az Prjza投影的性质性质 1 (a)u |a|cos(即 Prjua |a|cos)其中 为向量与 u 轴的夹角性质 2 (a b)u(a)u(b)(即 Prj(a b)Prj a Prjb)uuuu性质 3 ( a)u(a)u(即 Prju( a)Prjua)空间方程：曲面方程 (旋转曲面和垂直柱面 )；(1)椭圆锥面由方程 x2y2z2 所表示的曲面称为椭圆锥面a2b2(2)椭球面由方程x2y2z21所表示的曲面称为椭球面a 2b 2c2(3)单叶双曲面由方程x2y2z21所表示的曲面称为单叶双曲面a 2b2c2(4)双叶双曲面由方程x2y2z2a222 1 所表示的曲面称为双叶双曲面bc(5)椭圆抛物面由方程(6)双曲抛物面x2y2z 所表示的曲面称为椭圆抛物面a 2b2由方程 x2y2z 所表示的曲面称为双曲抛物面a 2b2椭圆柱面双曲柱面抛物柱面x2y21a 2b2x2y21a2b2x2ay直线方程 (参数方程和投影方程 )空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面1 和2 的交线如果两个相交平面1 和2的方程分别为 A11110和x B y C z DA2x B2y C2z D2 0 那么直线 L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程即应满足方程组A1x B1y C1z D1 0A2x B2 y C2 z D2 0空间直线的对称式方程与参数方程方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线 L 上一点 M 0(x0 y0 x0)和它的一方向向量s(m np)为已知时直线 L 的位置就完全确定了直线方程的确定已知直线L 通过点 M0 (x0y0x0)且直线的方向向量为s (m n p) 求直线 L 的方程设 M (x y z)在直线 L 上的任一点那么(x x0 y y0 z z0)/s从而有xx0yy0zz0mnp这就是直线L 的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程x x0 mt y y0 nt z z0 pt直线 L1 和 L2 的夹角可由|m1m2 n1n2 p1 p2 |cos |cos(s1 , s2)|n2p2m2n2p2m2111222直线与平面的夹角设直线的方向向量 s (mn p) 平面的法线向量为 n (A B C)直线与平面的夹角为那么 |因此 sin按两向量夹角余弦的坐标表示式(s , n)|cos(s , n) |2有sin|Am Bn Cp |A2 B2 C2m2 n 2p2平面方程 ：点法式 (法向量 )、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示Ax By Cz D 0其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即n (A B C)提示D 0平面过原点n (0B C)法线向量垂直于 x 轴 平面平行于 x 轴n (A 0 C)法线向量垂直于 y 轴 平面平行于 y 轴n (A B 0)法线向量垂直于 z 轴 平面平行于 z 轴n (0 0 C)法线向量垂直于 x 轴和 y 轴 平面平行于 xOy 平面n (A 0 0)法线向量垂直于 y 轴和 z 轴 平面平行于 yOz 平面n (0B 0)法线向量垂直于 x 轴和 z 轴 平面平行于 zOx 平面截距式；平面夹角和距离两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角 )称为两平面的夹角设平面1和 2 的法线向量分别为 n1(A1面1 和2的夹角应是 (n1 , n2 ) 和 ( n1, n2 )cos|cos(n1 , n2) |按两向量夹角余弦的坐标表示式B1 C1)和 n2 (A2 B2 C2)那么平(n1 , n2) 两者中的锐角因此平面1和2 的夹角可由|A1A2 B1B2 C1C2 |c o s |c o sn1( , n2) |A12 B12 C12 A22 B22 C22来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1 和2 垂直相当于 A1 A2 B1B2C1C2 0平面1 和2 平行或重合相当于 A1B1C1A2B2C2空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线设F(x y z) 0 和 G(x y z) 0是两个曲面方程 它们的交线为 C 因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程 所以应满足方程组F ( x, y, z)0G(x, y, z)0空间曲线的参数方程（33）空间曲线 C 的方程除了一般方程之外 也可以用参数形式表示 只要将 C 上动点的坐标 x、y、z 表示为参数 t 的函数xx(t)yy(t)zz(t)当给定 t t1时 就得到 C 上的一个点 (x1 11随着t的变动便得曲线C上yz )的全部点方程组 (2)叫做空间曲线的参数方程切平面和切线：切线与法平面 ；设空间曲线 的参数方程为x(t), y(t ), z(t ),曲线在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为xx0 = y y0zz0 .(t 0 )(t0 )(t0 )向量 T (t 0 ), (t0 ), (t 0 ) 就是曲线 在点 M 处的一个切向量法平面的方程 为 ( t0 )( xx0 ) (t0 )( yy0 )(t0 )(zz0 )0切平面与法线隐式给出曲面方程( F ( x, y, z)0)法向量为：n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ),切平面的方程是Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )F y ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )法线方程是x x0y y0z z0.Fx (x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )z(x, y) 在点 ( x0 , y0 )如果用 、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角 是一锐角，则法向量的方向余弦为f x, c o sf y,c o s1 f x2f y21 f x2f y21.c o s1 f x2f y22、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解偏微分全微分：如果三元函数u( x, y, z) 可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，du = u dx+u dy u dzxyz第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分f ( x, y )d我们用几何观点来讨论二重积分D的计算问题。讨论中 , 我们假定f (x, y)0；假定积分区域 D 可用不等式 axb1 (x)y2 ( x) 表示 ,其中1 (x) ,2( x) 在 a,b 上连续。f ( x, y) d据二重积分的几何意义可知, D的值等于以D 为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体 的体积。在区间 a, b 上任意取定一个点x0 , 作平行于 yoz面的平面 x x0 , 这平面 截 曲 顶 柱 体 所 得 截 面 是 一 个 以 区 间 1( x0 ),2 (x0 ) 为 底 ,曲 线z f ( x0, y) 为曲边的曲边梯形 , 其面积为2 ( x 0 )A ( x 0 )f ( x 0 , y ) dy1 ( x 0 )一般地 , 过区间 a,b 上任一点 x 且平行于 yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为2 ( x )A( x )f ( x, y) dy1( x )利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法, 该曲顶柱体的体积为Vbb2 ( x)A( x)dxf ( x, y)dy dxaa1( x )从而有b2 ( x)f (x, y)df ( x, y)dy dxDa(1)1( x)上述积分叫做 先对 Y, 后对 X的二次积分 , 即先把 x 看作常数 , f ( x, y) 只看作 y 的函数 , 对 f ( x, y) 计算从 1 ( x) 到 2 ( x) 的定积分 , 然后把所得的结果 ( 它是x 的函数 ) 再对 x 从 a 到 b 计算定积分。这个先对 y , 后对 x 的二次积分也常记作b2 ( x )f ( x, y )ddxf ( x, y )dyDa1( x )重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于 I 型( 或 II型 ) 区域 ,用平行于 y 轴( x 轴 ) 的直线穿过区域内部 , 直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时 , 可对区域进行剖分 , 化归为 I 型 ( 或 II 型)区域的并集。2、积分限的确定二重积分化二次积分 , 确定两个定积分的限是关键。这里 , 我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法。f ( x, y)dxdyD极坐标 ：xr cosy r sindxdy rdrdf (r cos , r sin) rdrdD极坐标系中的二重积分 ,同样可以化归为二次积分来计算。【情形一 】积分区域 D 可表示成下述形式1( )r2 ( )其中函数 1( ) ,2( )在, 上连续。2 ()f ( r cos , r sin )rdrddf ( r cos , r sin )rdr则 D1()【情形二 】积分区域 D 为下述形式显然 , 这只是情形一的特殊形式1()0 ( 即极点在积分区域的边界上 ) 。()f ( r cos, r sin) rdrddf ( r cos, r sin) rdr故D0【情形三】积分区域 D 为下述形式显然 , 这类区域又是情形二的一种变形 (极点包围在积分区域 D 的内部 ),D 可剖分成 D1与 D2 , 而D1:0, 0 r() D2:2 , 0 r( )故 D:02 , 0r( )2()f ( r cos, r sin)rdrd0df ( r cos , r sin)rdr则 D0由上面的讨论不难发现 , 将二重积分化为极坐标形式进行计算 , 其关键之处在于 : 将积分区域 D 用极坐标变量 r , 表示成如下形式,1 ()r2 ( )三重积分：f x, y, z dxdydzV直角坐标：若平面区域Dxy 可以用不等式axb, y1xyy2x表示，则bxz2 x, yf x, y, z dVy2dxdyf x, y, z dz y1xz1 x, ya这个公式也将三重积分化为了三次积分柱坐标f x, y, z dVf r cos , r sin, z rdrddzVV0rxr sincos球坐标；02yr sinsin0zr cosf x, y, z dVf r sincos, r sinsin,r cosr 2 sindrd dVV重积分的应用：曲面面积；z 22Az1dxdyD xyxy
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