华师大八年级上《第14章勾股定理》单元测试(二)含答案解析

第14章 勾股定理一、选择题（共13小题）1如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A48B60C76D802如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割B垂径定理C勾股定理D正弦定理3如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A10B11C12D134下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=55下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，6一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为（）A5BCD5或7设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A1.5B2C2.5D38如图，若A=60，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m9如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN若四边形MBND是菱形，则等于（）ABCD10如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）A2B4CD11如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A只有1个B可以有2个C有2个以上，但有限D有无数个12在等腰ABC中，ACB=90，且AC=1过点C作直线lAB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是（）A1B1或C1或D或13如图，四边形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD的面积是（）ABC2D 二、填空题（共15小题）14如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，0）、（0，8）以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为15在RtABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tanCAD=，则BD的长为16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=17如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于18如图，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则AE=19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是20在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为21如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为cm22如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为第14章 勾股定理参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A48B60C76D80【考点】勾股定理；正方形的性质【分析】由已知得ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCDSABE求面积【解答】解：AEB=90，AE=6，BE=8，在RtABE中，AB2=AE2+BE2=100，S阴影部分=S正方形ABCDSABE，=AB2AEBE=10068=76故选：C【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质关键是判断ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解2如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割B垂径定理C勾股定理D正弦定理【考点】勾股定理的证明【专题】几何图形问题【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理故选：C【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明3如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A10B11C12D13【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长【解答】解：BEAC，AEB是直角三角形，D为AB中点，DE=10，AB=20，AE=16，BE=12，故选C【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大4下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=5【考点】勾股定理的逆定理【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、12+22=532，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、22+32=1342，不能构成直角三角形，故本选项错误；C、22+42=2052，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项正确故选D【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键5下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，【考点】勾股定理的逆定理【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可【解答】解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故错误；B、22+3242，不能组成直角三角形，故错误；C、42+5262，不能组成直角三角形，故错误；D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确故选D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断6一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为（）A5BCD5或【考点】勾股定理【专题】分类讨论【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析7（2013德宏州）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（）A1.5B2C2.5D3【考点】勾股定理【专题】压轴题【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值【解答】解：三角形的周长为6，斜边长为2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的两条直角边，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故选D【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用8如图，若A=60，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形【分析】首先计算出B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可【解答】解：A=60，C=90，B=30，AB=2AC，AC=20m，AB=40m，BC=2034.6（m），故选：B【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方9如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN若四边形MBND是菱形，则等于（）ABCD【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角ABM中三边的关系【解答】解：四边形MBND是菱形，MD=MB四边形ABCD是矩形，A=90设AB=x，AM=y，则MB=2xy，（x、y均为正数）在RtABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2xy）2，解得x=y，MD=MB=2xy=y，=故选：C【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用10如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）A2B4CD【考点】勾股定理【分析】连接AE，求出正六边形的F=120，再求出AEF=EAF=30，然后求出AEP=90并求出AE的长，再求出PE的长，最后在RtAEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解【解答】解：如图，连接AE，在正六边形中，F=（62）180=120，AF=EF，AEF=EAF=（180120）=30，AEP=12030=90，AE=22cos30=22=2，点P是ED的中点，EP=2=1，在RtAEP中，AP=故选：C【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键11如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A只有1个B可以有2个C有2个以上，但有限D有无数个【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质【专题】分类讨论【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得x=5；第二种是，解得x=所以可以有2个故选：B【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题12在等腰ABC中，ACB=90，且AC=1过点C作直线lAB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是（）A1B1或C1或D或【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形【专题】压轴题【分析】如图，延长AC，做PDBC交点为D，PEAC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰RtABC中，C=90，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=，又AB=AP；所以，在直角AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离【解答】解：如图，延长AC，做PDBC交点为D，PEAC，交点为E，CPAB，PCD=CBA=45，四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，在等腰直角ABC中，AC=BC=1，AB=AP，AB=，AP=；在直角AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2（1+DP）2+DP2=（）2，解得，DP=；如图，延长BC，作PDBC，交点为D，延长CA，作PECA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角AEP中，（EC1）2+EP2=AP2，（PD1）2+PD2=（）2，解得，PD=；故选D【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力13如图，四边形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD的面积是（）ABC2D 【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形【专题】计算题【分析】如图，过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可【解答】解：如图，过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F设AB=AD=x又ADBC，四边形AEFD是矩形，AD=EF=x在RtABE中，ABC=60，则BAE=30，BE=AB=x，DF=AE=x，在RtCDF中，FCD=30，则CF=DFcot30=x又BC=6，BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2ACD的面积是： ADDF=xx=22=，故选：A【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度二、填空题（共15小题）14如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（6，0）、（0，8）以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（4，0）【考点】勾股定理；坐标与图形性质【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=ACAO，所以OC求出，继而求出点C的坐标【解答】解：点A，B的坐标分别为（6，0）、（0，8），AO=6，BO=8，AB=10，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，AB=AC=10，OC=ACAO=4，交x正半轴于点C，点C的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长15在RtABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tanCAD=，则BD的长为6【考点】勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在RtACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BCCD，代入数据计算即可求解【解答】解：如图，在RtABC中，CA=CB，AB=9，CA2+CB2=AB2，CA=CB=9，在RtACD中，tanCAD=，CD=3，BD=BCCD=93=6故答案为：6【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大16我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=12【考点】勾股定理的证明【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KFNF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12【解答】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，CG=KG，CF=DG=KF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2，S3=（KFNF）2=KF2+NF22KFNF，S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF2=12，故答案是：12【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点17如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于6【考点】勾股定理的证明【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用ab=2，解得a，b的值代入即可【解答】解：AB=10，EF=2，大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为1004=96，设AE为a，DE为b，即4ab=96，2ab=96，a2+b2=100，（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，a+b=14，ab=2，解得：a=8，b=6，AE=8，DE=6，AH=82=6故答案为：6【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值18如图，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，则AE=3【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长【解答】解：在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AD=BE=4，AB=5，AE=3，故答案为：3【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单19如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是10【考点】勾股定理【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10故答案是：10【点评】本题考查了勾股定理的应用能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积20在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为2【考点】勾股定理【专题】计算题【分析】根据勾股定理列式计算即可得解【解答】解：C=90，AB=7，BC=5，AC=2故答案为：2【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观21如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为4cm【考点】勾股定理；矩形的性质【分析】设AB=x，则可得BC=10x，BE=BC=，在RtABE中，利用勾股定理可得出x的值，即求出了AB的长【解答】解：设AB=x，则可得BC=10x，E是BC的中点，BE=BC=，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（）2=52，解得：x=4即AB的长为4cm故答案为：4【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程22如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为【考点】勾股定理的证明【专题】计算题【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则易求b：a【解答】解：小正方形与大正方形的面积之比为1：13，设大正方形的面积是13，边长为c，c2=13，a2+b2=c2=13，直角三角形的面积是=3，又直角三角形的面积是ab=3，ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+26=13+12=25，a+b=5小正方形的面积为（ba）2=1，b=3，a=2，=故答案是：【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键