线性代数必须知识结论

1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系:4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，将D顺时针或逆时针旋转90，M ij ( 1)i jAijAij ( 1)j Mij所得行列式为所得行列式为DiD2则Di，则D2n(n i)(厂D n(n i)(厂D 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ；5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积;n（n 1）2 、副对角行列式：副对角元素的乘积（0； 、上、下三角行列式（1、丨4丨）：主对角元素的乘积;n （n 1） 、匚和丄:副对角元素的乘积（1） 2 ；、拉普拉斯展开式:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;n一A 一E A n （ 1）kSk n k6. 对于n阶行列式A，恒有：k1，其中Sk为k阶主子式;7. 证明A 0的方法：、A A; 、反证法； 、构造齐次方程组Ax 0 ,证明其有非零解； 、利用秩，证明r（A） n ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A 0 (是非奇异矩阵)；r(A)n (是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解；b Rn， Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0 ;AA是正定矩阵；A的行(列)向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : A A A AE无条件恒成立；3. (A、*(A*)(A 1)T(AT) 1(A*)T(AT)*TT T*111(AB)B A(AB)B A(AB)B A4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：AO若As，贝S ：I、AA1 A2L As ；A111A1A2OII、As1.A1OA 1O、OBOB1 ;(主对角分块)O1AOB1、BOA 1O ；(副对角分块)A1CA1A 1CB 1、OBO1B;(拉普拉斯)A1OA 1O、CBB1ca1 b1 ;（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定Er O的： m n ；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标 准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若（A）r（B） A:B ；2行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1 ； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0 ;3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r 、若（A，E）：（E，X），则 a 可逆，且 X A1 ； 、对矩阵（A，B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：c（A,B） （E,A 1B）；r 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b，如果（A,b）：（E，x）， 则A可逆，且x A1b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩 阵、右乘为初等列矩阵；、各列元素；On，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，、对调两行或两列，符号E（i,j），且E（ij） E（i，j），例如:倍乘某行或某列，符号E（i（k），且E（i（k）1E(i如：1(k 0)k1 ；加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)k(k 0)1 .E(ij( k)5. 矩阵秩的基本性质： 、0 r(Am n) min(m, n)； 、r(AT) r(A)； 、若 A: B ,则 r(A) r(B)； 、若p、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ)r(pAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的 秩) 、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B)；(探) 、r(A B) r(A) r(B);(探) 、r(AB) min(r(A),r(B)；(探) 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB 0，则：(丿I、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解(转置运算后的结论)；TT、 r(A) r(B) n、若A、B均为n阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n ;6.三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵( 的形式，再采用结合律；1 a c01 b 、型如001的矩阵：利用二项展开式；m n m.Cn a b向量)行矩阵(向量)nOn1 n 1.1.(a b)CnaCna b L二项展开式：注：I、(a b)展开后有n 1项；灯 n(n 1)L L (n m 1) n!Cn1g2g3g_ gmm!(n m)!Cn0Cn m. mn 11. n 1Cn a bnn. nm m. n mCnbCn a bm 0皿、7伴随矩阵:cmCm Cn m组合的性质：利用特征值和相似对角化:cmCnm1cn 2nrr 1rCn nCn 1nr(A) nr(A*)1r (A) n 1、伴随矩阵的秩:0r (A) n 1 .随矩特征值：|A|(AXX, A* A A 1、伴阵的、*AA A1、*A|An1A*X 织)8. 关于A矩阵秩的描述：1阶子式全部为0;(两句话)、r(A) n , A中有n阶子式不为、r（A） n , A中有n阶子式全部为0 ；、（A） n , a中有n阶子式不为0 ;9. 线性方程组：Ax b,其中A为m n矩阵，贝y ： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程;10. 线性方程组Ax b的求解： 、 对 增 广 矩 阵 B 进 行 初 等 行 变 换 （ 只 能 使 用 初 等 行 变 换 ）； 、 齐次解为对应齐次方程组的解 ； 、 特解： 自由变量赋初值后求得 ；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、am1x1 am2 x2Lanm xnbn ；a11a12La1nx1b1a21a22La2nx2b22Ax bMMOMMM、am1am 2Lamnxmbm（向量方程，A为m n矩阵，m个方程a11 x1a12 x2La1n xna21 x1a22 x2La2n xnb2LLLLLLLLLLLn个未知数）x1b1x2a1 a2 LanMb2M、xn（ 全部按列 分块，其 中bn ）；、a1x1 a2x2 L anxn（ 线性表出 ）、有解的 充要条件： r（A） r（A, ） n（ n为未知数的 个数或维数）4、 向量组的 线性相 关性1. m个n维列向量所组成的向量组A :1，2，L，m构成n m矩阵A （ 1，2，L，m）；T、线性相关0；、, 线性 相 关, 坐标成比例 或共线（ 平行）；、, , 线性 相关, , 共 面 ；4. r（A A） r（A） ；（ pioi 例帖）5. n维向量线性相关的几何意义:线 性 相 关与无关 的 两套定理:若1, 2，L，s线性相关，则1,2，L，s，si必线性相关；6.若1，2，L，S线性无关，则1，2，L，S 1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n r个分量，构成n维向量组B : 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；向 量组的 维 数加 加 减 减）简言之：无 关 组延长后仍无关 ， 反 之， 不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A线性无 关，则s（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ； （ P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示AX B 有 解 ； r（A） r（A,B） （ P85 定理 2）向量组A能由向量组B等价r（A） r（B） r（A，B）（ %定理2推论）8. 方阵A可逆 存在有限个初等矩阵p1，p2丄，P,使A PP2LR；r 、矩阵行等价：ABPA B （左乘，P可逆） Ax 0与Bx 0同解c 、矩阵列等价：abaq B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：AB PAQ B（ P、Q可逆）；9. 对 于 矩 阵 Am n 与 Bl n ： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则A 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列向 量组具有相同的线性相关性； 、 矩阵的 初 等 变换不改变矩阵的 秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若 Am sBs n Cm n， 则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）11. 齐次方 程 组 Bx 0的 解一定是 ABx 0的 解， 考试中 可以直接作为 定理 使 用， 而无 需证明； 、 ABx 0 只有 零解 Bx 0只有 零解 ；、Bx 0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解；12. 设向量组Bn r :bl，b丄，br可由向量组An s .ai，a2丄，as线性表示为：(Pl10题19 结论)AK)(bi,b2,L ,br) (ai,a2,L ,as)K其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K) r ； ( B与K的列向 量组具有相同线性相关性)(必要性：Qr r(B) r(AK)r(K),r(K)，(K) r ；充分性：反证法)注：当r s时，13. 、对矩阵 (P87)、对矩阵Am n14.K为方阵，可当作定理使用；An，存在Qnm， AQ Emr(A) m、Q的列向量线性无关；Pn mPA En，存在1, 2,L , s线性相关存在一组不全为0的数k1,k2丄，kr(A) n、P的行向量线性无关；，使得k1 1 k2 2 L ks s 0成立；(定义)1122- ,xs sX2(1, 2,L, s) M 0 Xs 有非零解，即Ax 0有非零解；r(1, 2,L,s) S，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设mn的矩阵A的秩为r ,则n元齐次线性方程组Ax 0的解集S的秩 为：r(S) n r ；16. 若”为Ax b的一个解，1, 2,L , n r为Ax 0的一个基础解系，则 ,1, 2,L , n r线性无关；(R11题33结论)5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵 ATA E或A1 At(定义)，性质：t 1i jai a；(i, j 1,2丄 n) 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即 0i j 、若A为正交矩阵，则A1 AT也为正交阵，且A 1 ； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：(a1,a2丄，ar)b a1b2 a2b ,a2gL L L br arb,aj 亠b2,aj.bri-ar9P|92 Lgr 1b,bb2,b2br 1,br 13.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、A与B等价 A经过初等变换得到B ;PAQ B， p、Q 可逆； r(A) r(B)， a、B 同型； 、A与B合同 CtAC b，其中可逆；xT Ax与xtBx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似 P 1AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CtAC B A: B ,(合同、相似的约束条件不同，相 似的更严格)；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n元二次型xTAx为正定：A的正惯性指数为n ；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CtAC E ；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0 ；aii 0，A 0 ；(必要条件)1T2Mm个n维行向量所组成的向量组B :2丄，m构成m n矩阵含有有限个向 量的有序向 量组与矩阵一一对应；2. 、 向 量组的 线性相关、 无关 Ax 0有 、 无非零解；（齐次线 性 方 程 组） 、向量的线性表出Ax b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示AX B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵Amn与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax 0和 Bx 0 同解；（R。1 2 例 14）